Quelltext der Seite Jacobi-Matrix

{{Dieser Artikel|beschäftigt sich mit Jacobi-Matrizen in der Analysis; zu Jacobi-Matrizen in der Operatortheorie siehe [[Jacobi-Operator]].}}
Die '''Jacobi-Matrix''' (benannt nach [[Carl Gustav Jacob Jacobi]]; auch '''Funktionalmatrix''', '''Ableitungsmatrix''' oder '''Jacobische''' genannt) einer [[Differentialrechnung|differenzierbaren]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f\colon {\mathbb{R}^n}  \to {\mathbb{R}^m} \,\!</math> ist die <math>m \times n</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrix]] sämtlicher erster [[Partielle Ableitung|partieller Ableitungen]].
Im Falle der [[Totale Differenzierbarkeit|totalen Differenzierbarkeit]] bildet sie die [[Darstellungsmatrix|Matrix-Darstellung]] der als [[lineare Abbildung]] aufgefassten ersten Ableitung der Funktion <math>f</math> bezüglich der [[Standardbasis|Standardbasen]] des <math>\R^n</math> und des <math>\R^m</math>. 

Genutzt wird die Jacobi-Matrix zum Beispiel zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] in der [[Mathematik]].

== Definition ==
Sei <math>f\colon U \subset \R^n \to \R^m</math> eine Funktion, deren Komponentenfunktionen mit <math>f_1 , \ldots, f_m</math> bezeichnet seien und deren [[Partielle Ableitung|partielle Ableitungen]] alle existieren sollen. Für einen [[Raumpunkt]] <math>x</math> im [[Urbild (Mathematik)|Urbildraum]] <math>\R^n</math> seien <math>x_1, \dots, x_n</math> die jeweils zugehörigen Koordinaten. 

Dann ist für <math>a \in U</math> die Jacobi-Matrix im Punkt <math>a</math> definiert durch
:<math>J_f(a) := \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\right)_{i=1,\ldots,m;\ j=1,\ldots,n} =  \begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(a) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(a) & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} (a)
\end{pmatrix}</math>.

In den Zeilen der Jacobi-Matrix stehen also gerade die (transponierten) [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] der Komponentenfunktionen <math>f_1, \dots, f_m</math> von <math>f</math>.

Andere übliche Schreibweisen für die Jacobi-Matrix <math>J_f(a)</math> von <math>f</math> an der Stelle <math>a</math> sind <math>Df(a)</math>, <math>\frac{\partial f}{\partial x}(a)</math> und <math>\textstyle\frac{\partial(f_1, \ldots, f_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}(a)</math>.

== Beispiel ==
Die Funktion
<math>
 f\colon \R^3 \to \R^2
</math>
sei gegeben durch
:<math>
 f(x,y,z) = \binom{x^2 + y^2 + z \cdot \sin x}{z^2 + z \cdot \sin y}
</math>

Dann ist
:<math>\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z)
&= \binom{2x + z \cdot \cos x}{0} \\

\frac{\partial}{\partial y} f(x,y,z)
&= \binom{2y}{z \cdot \cos y} \\

\frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z)
&=  \binom{\sin x}{2z + \sin y}
\end{align}</math>

und damit die Jacobi-Matrix

:<math>
J_f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{ccc}
         2x + z \cdot \cos x & 2y  & \sin x \\
         0 & z \cdot \cos y \, & 2z + \sin y
\end{array} \right )
</math>

== Anwendungen ==
* Ist die Funktion <math>f \colon U \subset \R^n \to \R^m</math> [[Totale Differenzierbarkeit|total differenzierbar]], dann ist ihr [[totales Differential]] <math>Df_a</math> an der Stelle <math>a = (a_1, \dots, a_n) \in U</math> die lineare Abbildung
:: <math>Df_a \colon \R^n \to \R^m, \quad Df_a(h) = J_f(a) \cdot h</math>.
:Die Jacobi-Matrix an der Stelle <math>a</math> ist also die [[Abbildungsmatrix]] von <math>Df_a</math>.

* Für <math>m = 1</math> entspricht die Jacobi-Matrix dem [[Transponierte Matrix|transponierten]] [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] von <math>f</math>. Manchmal wird der Gradient auch als Zeilenvektor definiert. In diesem Fall sind Gradient und Jacobi-Matrix gleich.

* Die Jacobi-Matrix kann, wenn man sie für eine Stelle <math>a = (a_1,\dots,a_n)</math> ausrechnet, zur Näherung der [[Funktionswert]]e von <math>f</math> in der Nähe von <math>a</math> verwendet werden:
::<math style="margin-left:2em">
  f(x) \approx f(a) + J_f(a) \cdot (x - a).
</math>
:Diese [[affine Abbildung]] entspricht der [[Taylor-Formel|Taylor-Approximation]] erster Ordnung ([[Linearisierung]]).

* Die [[Fehlerfortpflanzung|Fortpflanzung von Messfehlern]] in Form einer [[Kovarianzmatrix]] geschieht durch die Jacobi-Matrix: <math>V_f = J\cdot V_x\cdot J^{\text{T}}</math>

== Determinante der Jacobi-Matrix ==
{{Hauptartikel|Jacobi-Determinante}}

Sei <math>m=n</math>, es wird also eine differenzierbare Funktion <math>f \colon U \subset \R^n \to \R^n</math> betrachtet. Dann ist deren Jacobi-Matrix <math>J_f(a)</math> am Punkt <math>a \in U</math> eine quadratische <math>n \times n</math>-Matrix. In diesem Fall kann man die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] der Jacobi-Matrix <math>\det(J_f(a))</math> bestimmen. Die Determinante der Jacobi-Matrix wird [[Funktionaldeterminante|Jacobi-Determinante]] oder Funktionaldeterminante genannt. Ist die Jacobi-Determinante im Punkt <math>a</math> ungleich null, so ist die Funktion <math>f</math> in einer [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>a</math> [[Umkehrfunktion|invertierbar]]. Dies besagt der [[Satz von der Umkehrabbildung]]. Außerdem spielt die Jacobi-Determinante eine wichtige Rolle beim [[Transformationssatz|Transformationssatz für Integrale]]. Ist <math>m \neq n</math>, so kann man definitionsgemäß keine Determinante der <math>m \times n</math>-Jacobi-Matrix bilden. Jedoch gibt es in diesem Fall ein ähnliches Konzept. Dieses wird [[Gramsche Determinante]] genannt.

== Jacobi-Matrix einer holomorphen Funktion ==
Neben Funktionen <math>f\colon U \subset \R^n \to \R^m</math> kann man auch Funktionen <math>h\colon V \subset \Complex^n \to \Complex^m</math> auf (komplexe) Differenzierbarkeit untersuchen. Funktionen, die komplex differenzierbar sind, werden [[Holomorphe Funktion|holomorph]] genannt, denn sie haben andere Eigenschaften als die (reell) differenzierbaren Funktionen. Auch für die holomorphe Funktion <math>h := (h_1, \ldots , h_m)\colon V \subset \Complex^n \to \Complex^m</math> kann man Jacobi-Matrizen bestimmen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Varianten. Zum einen eine <math>m \times n</math> mit komplexwertigen Einträgen und zum anderen eine <math>2m \times 2n </math>-Matrix mit reellwertigen Einträgen. Die <math>m \times n</math>-Jacobi-Matrix <math>J_h^\Complex(z)</math> am Punkt <math>z := (z_1, \ldots , z_n) \in V \subset \Complex^n</math> ist durch
:<math>J_h^\Complex(z) := \begin{pmatrix}
\frac{\partial h_1(z)}{\partial z_1} & \cdots & \frac{\partial h_1(z)}{\partial z_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial h_m(z)}{\partial z_1} & \cdots & \frac{\partial h_m(z)}{\partial z_n}
\end{pmatrix}</math>
definiert.

Jede [[komplexwertige Funktion]] kann in zwei reellwertige Funktionen aufgespalten werden. Das heißt, es existieren Funktionen <math>u,v \colon \Complex^n \to \R^m</math>, sodass <math>h = u + i v</math> gilt. Die Funktionen <math>u</math> und <math>v</math> kann man nun wieder gewöhnlich partiell differenzieren und in einer Matrix anordnen. Seien <math>z := (z_1, \ldots , z_n)</math> die Koordinaten in <math>\Complex^n</math> und setze <math>z_j := x_j + i y_j</math> für alle <math>j</math>. Die <math>2m \times 2n </math>-Jacobi-Matrix <math>J_h^\R(z)</math> der holomorphen Funktion <math>h</math>
am Punkt <math>z \in V</math> ist dann definiert durch
:<math>J_h^\R(z) := \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1 (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial u_1 (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial u_1 (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial u_1(z)}{\partial y_n}\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial u_m (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial u_m (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial u_m (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial u_m(z)}{\partial y_n}\\
\frac{\partial v_1 (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial v_1 (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial v_1 (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial v_1(z)}{\partial y_n}\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial v_m (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial v_m (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial v_m (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial v_m(z)}{\partial y_n}
\end{pmatrix}</math>.

Gilt bei den Jacobi-Matrizen für holomorphe Funktionen <math>m = n</math>, so kann man natürlich die Determinanten der beiden Matrizen betrachten. Diese beiden Determinanten stehen in Beziehung zueinander. Es gilt nämlich
:<math>\det\left(J_h^\R(z)\right) = \left|\det(J_h^\Complex(z))\right|^2</math>.

== Siehe auch ==
* [[Mehrdimensionale Kettenregel]]
* [[Hesse-Matrix]]
*[[Gradient (Mathematik)]]

== Literatur ==
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2.'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8. (für Jacobi-Matrizen reeller Funktionen).
* Klaus Fritzsche, [[Hans Grauert]]: ''From Holomorphic Functions to Complex Manifolds''. Springer-Verlag, ISBN 0-387-95395-7. (S. 30–31; für Jacobi-Matrizen holomorpher Funktionen).

{{SORTIERUNG:Jacobimatrix}}
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Carl Gustav Jacob Jacobi als Namensgeber]]