Quelltext der Seite Isomorphiesatz

Die '''Isomorphiesätze''' sind zwei [[Mathematik|mathematische]] Sätze, die Aussagen über [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] machen. Sie lassen sich auch auf komplexere [[algebraische Struktur]]en übertragen und sind somit ein wichtiges Resultat der [[universelle Algebra|universellen Algebra]]. Die Isomorphiesätze sind eine direkte Folgerung aus dem [[Homomorphiesatz]] der entsprechenden [[algebraische Struktur|algebraischen Struktur]].

Manchmal wird der [[Homomorphiesatz]] als erster Isomorphiesatz bezeichnet. Die unten angegebenen Sätze heißen dann dementsprechend ''zweiter'' bzw. ''dritter Isomorphiesatz''.

== Geschichte ==
Die Isomorphiesätze wurden zunächst in allgemeiner Form für [[Modulhomomorphismus|Modulhomomorphismen]] von [[Emmy Noether]] in ihrer Arbeit ''Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern'', welche 1927 in [[Mathematische Annalen]] veröffentlicht wurde.<ref>{{Literatur |Autor=Emmy Noether |Titel=Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern |Sammelwerk=Mathematische Annalen |Band=96 |Nummer=1 |Datum=1927-12 |ISSN=0025-5831 |DOI=10.1007/BF01209152 |Seiten=26–61 |Online=http://link.springer.com/10.1007/BF01209152 |Abruf=2024-05-13}}</ref> Weniger allgemeine Resultate dieser Sätze lassen sich auch in vorangegangenen Arbeiten von [[Richard Dedekind]] und Emmy Noether finden.

== Gruppentheorie ==
=== Erster Isomorphiesatz ===

Es seien <math>G</math> eine Gruppe, <math>N</math> ein [[Normalteiler]] in <math>G</math> und <math>H</math> eine [[Untergruppe]] von <math>G</math>. Dann ist auch das [[Komplexprodukt]] <math>HN:=\{hn\mid h\in H, n\in N\}</math> eine Untergruppe von <math>G</math>, <math>N</math> ist ein Normalteiler in <math>HN</math> und die Gruppe <math>H\cap N</math> ist ein Normalteiler in <math>H</math>. Es gilt:
: <math>H/(H\cap N)\cong HN/N.</math>
Dabei bezeichnet <math>\cong</math> die [[Isomorphismus|Isomorphie]] von Gruppen.

Der Isomorphismus, der dabei üblicherweise gemeint ist, wird als ''kanonischer'' Isomorphismus bezeichnet. Er wird gemäß dem [[Homomorphiesatz]] von der surjektiven Abbildung
: <math>f\colon H\to HN/N,\quad h\mapsto hN,</math>
induziert, denn es gilt offenbar
:<math>\operatorname{kern}\left(f\right)=\left\{a\in H\mid aN=N\right\}=\left\{a\in H\mid a\in N\right\}=H\cap N</math>.

Aus dem ersten Isomorphiesatz erhält man als Spezialfall die anschauliche Aussage, dass man genau dann mit <math>N</math> „erweitern“ darf, wenn <math>H\cap N=\{0\}</math>.

=== Zweiter Isomorphiesatz ===

Es seien <math>G</math> eine Gruppe, <math>H</math> ein Normalteiler in <math>G</math> und <math>N</math> eine Untergruppe von <math>H</math>, die Normalteiler in <math>G</math> ist. Dann gilt:
: <math>(G/N)/(H/N)\cong G/H.</math>

In diesem Fall kann man kanonische Isomorphismen in beide Richtungen angeben, einerseits induziert durch
: <math>G/N\to G/H,\quad gN\mapsto gH,</math>
andererseits durch
: <math>G\to(G/N)/(H/N),\quad g\mapsto gN(H/N).</math>

Anschaulich ausgedrückt besagt der zweite Isomorphiesatz, dass man <math>N</math> „kürzen“ darf.

== Ringe ==

In angepasster Form gelten die Isomorphiesätze auch für Ringe:

=== Erster Isomorphiesatz ===

Es seien <math>R</math> ein Ring, <math>\mathfrak{a}</math> ein Ideal von <math>R</math> und <math>S</math> ein Unterring von <math>R</math>. Dann ist die Summe <math>S + \mathfrak{a} = \{ s + a \mid s \in S, a \in \mathfrak{a} \}</math> ein Unterring von <math>R</math> und der Schnitt <math>S \cap \mathfrak{a}</math> ein Ideal von <math>S</math>. Es gilt:
: <math>S / (S \cap \mathfrak{a}) \cong (S + \mathfrak{a}) / \mathfrak{a}</math>.
Dabei bezeichnet <math>\cong</math> die Isomorphie von Ringen.

=== Zweiter Isomorphiesatz ===

Es seien <math>R</math> ein Ring, <math>\mathfrak{b} \subseteq \mathfrak{a}</math> zwei Ideale von <math>R</math>. Dann ist <math>\mathfrak{a} / \mathfrak{b} = \{ a + \mathfrak{b} \mid a \in \mathfrak{a} \}</math> ein Ideal von <math>R / \mathfrak{b}</math>. Es gilt:
: <math>(R / \mathfrak{b}) / (\mathfrak{a} / \mathfrak{b}) \cong R / \mathfrak{a}</math>.

== Vektorräume, abelsche Gruppen oder Objekte einer beliebigen abelschen Kategorie ==

Es seien <math>M,N\subseteq Q\subseteq P</math>
* [[Vektorraum|Vektorräume]] über einem [[Körpertheorie|Körper]]
* oder [[abelsche Gruppe]]n
* oder allgemeiner [[Modul (Mathematik)|Moduln]] über einem [[Ring (Algebra)|Ring]]
* oder ganz allgemein Objekte einer [[abelsche Kategorie|abelschen Kategorie]].
Dann gilt:
* <math>M/(M\cap N)\cong (M+N)/N</math>
* <math>(P/N)/(Q/N)\cong P/Q</math>
Auch hier steht das Symbol <math>\cong</math> für die Isomorphie der entsprechenden [[algebraische Struktur|algebraischen Strukturen]] bzw. Objekte in der jeweiligen Kategorie.

Die kanonischen Isomorphismen sind eindeutig dadurch bestimmt, dass sie mit den beiden kanonischen Pfeilen von <math>M</math> bzw. <math>P</math> kompatibel sind.

Eine weitreichende Verallgemeinerung der Isomorphiesätze liefert das [[Schlangenlemma]].

== Literatur ==
* [[Siegfried Bosch]]: ''Algebra.'' 8. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, Kapitel 1.2.
* Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: ''Algebra.'' 3. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-8274-3011-3, Kapitel 4.6.

== Weblinks ==
* [[Matroids Matheplanet|matheplanet.com]]: ''[https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=668 Gruppenzwang IV.]'' – Ausführliche Erklärungen und Beweise der Isomorphiesätze

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]