Quelltext der Seite Integralkurve

Eine '''Integralkurve''' bezeichnet in der [[Mathematik]] im Bereich der [[Differentialtopologie]] eine auf einer [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbaren Mannigfaltigkeit]] definierte [[Kurve (Mathematik)|Kurve]], die in enger Beziehung zu einem gegebenen [[Glatte Funktion|glatten]] [[Vektorfeld]] auf dieser Mannigfaltigkeit steht. So stellen beispielsweise elektrische [[Feldlinie|Feldlinien]] Integralkurven des zugehörigen [[Elektrisches Feld|elektrischen Vektorfeldes]] dar. Anschaulich bewegt sich ein kleiner Styroporball im Idealfall auf Integralkurven des Vektorfeldes, das etwa von der Strömung eines Flusses vorgegeben wird.

== Definition ==
[[Datei:Killing-vector-s2.png|mini|Integralkurven eines Vektorfeldes auf der zweidimensionalen Einheitssphäre]]
Sei <math>X</math> ein glattes [[Vektorfeld]] auf einer [[Mannigfaltigkeit]] <math>M</math> der Dimension <math>n</math> und <math>p \in M</math> ein beliebiger Punkt. Dann heißt eine glatte Kurve <math>\gamma \colon I \to M</math> auf einem offenen Intervall <math>I\subset \mathbb R</math> mit <math>t_0 \in I</math> ''Integralkurve'' von <math>X</math> durch <math>p</math>, wenn
: <math> \gamma(t_0) = p; </math>
: <math> \gamma'(t) = X(\gamma(t)) \quad \forall t\in I.</math>
Oder mit anderen Worten: Der [[Tangentialvektor]] von <math>\gamma</math> ist an jeder Stelle identisch mit dem durch <math>X</math> gegebenen Vektor an dieser Stelle.

== Existenz ==
In lokalen Koordinaten reduziert sich das Problem auf ein System [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlicher Differentialgleichungen]]:
: <math> (\gamma^i)'(t) = X^i(\gamma^1(t),...,\gamma^n(t)) </math>
wobei <math>i=1,...,n</math> und die <math>X^i</math> glatte Funktionen auf <math>M</math> sind. Zusammen mit der Randbedingung <math>\gamma(t_0) = p</math> handelt es sich also um ein klassisches [[Anfangswertproblem]] und der [[Satz von Picard-Lindelöf]] garantiert somit eine eindeutige Lösung in einer Umgebung von <math>t_0</math>. Da man Lösungen von Differentialgleichungen auch oft 'Integrale' nennt, liegt hier der Begriff 'Integralkurve' nahe.

== Lokaler Fluss ==
Zu jedem glatten Vektorfeld <math>X \colon M\to TM</math> gibt es einen eindeutig bestimmten maximalen [[Fluss (Mathematik)|lokalen Fluss]]

: <math>\varphi \colon A\to M,\quad (t,p) \mapsto \gamma_p(t)</math>

mit dem [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]]
: <math>A=\bigcup\nolimits_{p\in M}I_p\times\{p\}\subseteq\R\times M</math>.

Dabei ist <math>\gamma_p \colon I_p\to M</math> die eindeutig bestimmte maximale Integralkurve mit <math>\gamma_p(0)=p</math> und <math>\gamma_p'(t)=X(\gamma_p(t))</math> für alle <math>t\in I_p</math>.<ref>R. Abraham, [[Jerrold Marsden|Jerrold E. Marsden]], T. Ratiu: ''Manifolds, tensor analysis, and applications'' (= ''Applied mathematical sciences'' 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u.&nbsp;a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 249.</ref>
Ist die Mannigfaltigkeit <math>M</math> [[Kompakter Raum|kompakt]], dann ist der Fluss global, das heißt, es gilt <math>I_p=\R</math> für alle <math>p\in M</math> und <math>A=\R\times M</math>.

== Literatur ==
* {{BibISBN|3540064613|Kapitel=§&nbsp;8. Dynamische Systeme}}
* {{Literatur
   |Autor=John M. Lee
   |Titel=Introduction to Smooth Manifolds
   |Reihe=Graduate Texts in Mathematics
   |NummerReihe=218
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=New York NY u.&nbsp;a.
   |Datum=2002
   |ISBN=0-387-95448-1}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Differentialtopologie]]