Quelltext der Seite Integralgleichung

Eine [[Gleichung]] wird in der [[Mathematik]] '''Integralgleichung''' genannt, wenn die gesuchte [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] unter einem [[Integralrechnung|Integral]] vorkommt. Integralgleichungen können in [[Naturwissenschaft]] und [[Technik]] zur Beschreibung verschiedener [[Phänomen]]e verwendet werden.

Integralgleichungen wurden zuerst zu Beginn des 19. Jahrhunderts von [[Niels Henrik Abel]] intensiver untersucht. Auf ihn geht auch die [[Abelsche Integralgleichung]] zurück, die zu den ersten untersuchten Integralgleichungen zählt. Fortschritte in diesem Thema wurden zu Beginn des 20. Jahrhunderts insbesondere durch [[Erik Ivar Fredholm]], [[David Hilbert]] und [[Erhard Schmidt (Mathematiker)|Erhard Schmidt]] erzielt. Hilbert und Schmidt entwickelten dabei die Theorie der [[Hilbert-Schmidt-Operator]]en. Das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Theorie der Integralgleichungen beschäftigt, ist die [[Funktionalanalysis]].<ref name=Walz_Integralgleichung>{{Literatur |Titel=Integralgleichung |Autor= |Hrsg=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>

== Definition ==
=== Lineare Integralgleichung ===
Eine [[Linearität (Mathematik)|linear]]e Integralgleichung ist eine Gleichung für eine unbekannte Funktion <math>u</math> und hat für <math>x\in\Omega</math> die Form

:<math>\lambda(x) u(x) + \int_\Omega k(x,y) u(y)\, \mathrm{d}y = f(x),</math>

wobei <math>\lambda</math>, <math>f</math>, <math>k</math> gegebene Funktionen und <math>\Omega\subseteq\mathbb{R}^n</math> [[Kompakter Raum | kompakt]] sind.
Die Funktion <math>k</math> wird [[Integralkern|Kern]] genannt.

=== Nichtlineare Integralgleichung ===
Eine nichtlineare Integralgleichung hat die Gestalt
:<math>\int_\Omega K(y,x,u(y)) \mathrm{d} y = f(x)</math>
mit einem geeigneten Definitionsbereich der Kernfunktion <math>K</math> und einem geeigneten Integrationsbereich <math>\Omega \subset \R^n</math>. Dabei geht die gesuchte Funktion <math>u(y)</math> nun nichtlinear in die Kernfunktion ein.

== Klassifikation linearer Integralgleichungen ==
Lineare Integralgleichungen kann man in
* [[Integralgleichung 1. Art|Integralgleichungen 1. Art]], wenn <math>\lambda(x)\equiv 0</math>,
* [[Integralgleichung 2. Art|Integralgleichungen 2. Art]], wenn <math>\lambda(x)\equiv\lambda\in\mathbb{C}\setminus\{ 0\}</math>, und
* [[Integralgleichung 3. Art|Integralgleichungen 3. Art]], für alle anderen <math>\lambda</math>,<ref>[[Eberhard Schock]]: ''Integral Equations of the Third Kind.'' Studia Mathematica, Band 81, 1985, S. 1–11</ref>
einteilen.<ref name=Walz_Integralgleichung />

Bei Integralgleichungen 1. Art tritt die gesuchte unbekannte Funktion <math>u(x)</math> nur im Integral auf, bei solchen 2. Art auch außerhalb.

Diese Einteilung erscheint willkürlich, ist aber aufgrund der unterschiedlichen analytischen Eigenschaften der jeweiligen Arten von Integralgleichungen notwendig. So sind beispielsweise Integralgleichungen 2. Art (unter schwachen Voraussetzungen an den Kern) für fast alle Werte von <math>\lambda</math> eindeutig lösbar, und die Lösung hängt stetig von <math>f</math> ab. Dies gilt für Integralgleichungen 1. Art (unter denselben Voraussetzungen an den Kern) im Allgemeinen nicht. Integralgleichungen 1. Art sind wie z.&nbsp;B. die [[Laplace-Transformation]] fast immer [[Korrekt gestelltes Problem|inkorrekt gestellte Probleme]]. Die [[Fourier-Transformation]] bildet eine der wenigen Ausnahmen. Auch Integralgleichungen 3. Art sind in der Regel inkorrekt gestellte Probleme.

Ist die in einer Integralgleichung vorkommende bekannte Funktion <math>f\equiv 0</math>, so ist die Gleichung ''homogen'', andernfalls ''inhomogen''. Bei homogenen linearen Gleichungen ist mit <math>u(x)</math> auch die skalierte Funktion <math>\alpha \cdot u(x)</math> eine Lösung.

Außerdem kann man Integralgleichungen nach ihren Integrationsgrenzen klassifizieren. Sind alle Grenzen konstant, so spricht man von ''[[Erik Ivar Fredholm|Fredholm]]-Integralgleichungen'', ist eine der Grenzen variabel, so nennt man die Gleichung eine ''[[Vito Volterra|Volterra]]-Integralgleichung''.

Eine weitere Einteilung beruht auf Eigenschaften des Kerns. Hier gibt es ''schwach singuläre'' und ''stark singuläre'' Integralgleichungen.

== Beispiele ==
* (lineare) Fredholmsche Integralgleichung 1. Art, inhomogener Fall:
*:<math> \int_a^b k(s,t)u(t) \mathrm dt = f(s)  </math>
* (lineare) Fredholmsche Integralgleichung 2. Art, inhomogener Fall:
*:<math> \lambda \cdot \int_a^b k(s,t)u(t) \mathrm dt + f(s) = u(s)  </math>
:Dabei spielt der Parameter <math>\lambda</math> eine ähnliche Rolle wie ein Eigenwert in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]].
* (lineare) Fredholmsche Integralgleichung 2. Art, homogener Fall:
*:<math>  \int_a^b k(s,t)u(t) \mathrm dt = u(s)  </math>
* (lineare) Volterrasche Integralgleichung 1. Art, inhomogener Fall:
*:<math> \int_a^s k(s,t)u(t) \mathrm dt = f(s) </math>
* (lineare) Volterrasche Integralgleichung 2. Art, inhomogener Fall:
:<math> \lambda \cdot \int_a^s k(s,t)u(t) \mathrm dt + f(s) = u(s) </math>
* nichtlineare Volterrasche Integralgleichung 2. Art, inhomogener Fall:
:<math>  \lambda \cdot \int_a^s k(s,t) F(s, t, u(t)) \mathrm dt + f(s) = u(s) </math>
:mit einer vorgegebenen nichtlinearen Funktion <math>F(s,t,u(t))</math>

== Operatortheoretischer Zugang ==
{{Hauptartikel|Integraloperator}}

Mit
:<math>(K u)(x) = \int_\Omega k(x,y) u(y)\, \mathrm{d}y</math>
wird für einen hinreichend integrierbaren Kern <math>k(x,y)</math> ein [[linearer Operator]] <math>K</math> definiert.
Wesentlich für die Theorie der (nicht stark singulären) Integralgleichungen ist die Theorie der [[Kompakter Operator|kompakten Operatoren]]. Diese Theorie ähnelt in gewisser Weise der von linearen Gleichungen im Endlichdimensionalen. Kompakte Operatoren haben nämlich im Wesentlichen pure [[Eigenwertproblem|Eigenwertspektren]]. Genauer heißt das: Das Spektrum besteht (evtl. von der Null abgesehen) nur aus Eigenwerten und diese häufen sich in höchstens einem Punkt, der Null. Alle Eigenräume (evtl. von dem der Null abgesehen) sind endlichdimensional.

Auch historisch wurde die Theorie der Integralgleichungen Anfang des 20. Jahrhunderts als kontinuierlicher Grenzwertübergang zum Beispiel von Eigenwertgleichungen der linearen Algebra entwickelt, wobei Eigenvektoren nun Eigenfunktionen entsprachen und der Matrix eine Kernfunktion.

== Dualität von Integral- und Differentialgleichungen ==
Integraloperatoren treten oft (aber nicht ausschließlich) bei der Lösung von [[Differentialgleichung]]en auf, zum Beispiel bei [[Sturm-Liouville-Problem]]en, oder bei [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichung]]en in Form der [[Greensche Funktion|Greenschen Funktion]].

== Integro-Differentialgleichung ==
Eine Integro-Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der sowohl die Ableitung der zu bestimmenden Funktion als auch ein Integral vorkommt, in dessen Integrand diese gesuchte Funktion auftritt.

Solche Gleichungen können genauso wie Integral- beziehungsweise Differenzialgleichungen linear oder nichtlinear sein. Treten nur gewöhnliche Ableitungen der gesuchten Funktion auf, spricht man von einer gewöhnlichen Integro-Differentialgleichung, treten
partielle Ableitungen auf, dann spricht man von einer partiellen Integro-Differentialgleichung.<ref>{{Literatur |Titel=Integro-Differentialgleichung |Autor= |Herausgeber=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Jahr=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>

Ein Beispiel hierfür ist die aus der [[Kinetische Gastheorie|kinetischen Gastheorie]] stammende [[Boltzmann-Gleichung]].

== Wiener-Hopf-Gleichung und Wiener-Hopf-Methode ==
Die Wiener-Hopf-Gleichung<ref>[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Wiener-Hopf_equation V. I. Dmitriev: Wiener-Hopf equation], Encyclopedia of Mathematics, Springer</ref> ist eine Integralgleichung, die auf der positiven reellen Halbachse definiert ist und bei der der Kern <math> k(x)</math> von der Differenz der Argumente abhängt:

:<math>\lambda \cdot u(x) +\int_0^\infty k (x-s) u(s)\mathrm ds=f(x)</math>

für <math> 0 \leq x < \infty</math>. Dabei ist <math>f(x)</math> eine vorgegebene Funktion (bei der homogenen Gleichung ist <math>f (x)=0</math>) und <math>u(x)</math> die gesuchte Funktion. <math>\lambda</math> ist wie oben ein Parameter. Der Kern ist translationsinvariant.

Wesentlich ist, dass einer der Ränder im Unendlichen liegt und einer im Endlichen.

Sie ist nach [[Eberhard Hopf]] und [[Norbert Wiener]] benannt,<ref>Wiener, Hopf, Über eine Klasse singulärer Integralgleichungen, Sitzungsberichte Preuß. Akademie Wiss. Berlin, 1931, S.  696–706</ref> die für sie eine Lösungsmethode (Wiener-Hopf-Methode) entwickelten, und findet zum Beispiel beim Problem des Strahlungstransports in der Astrophysik Anwendung (Milne-Gleichung, sie ist vom Typ einer Wiener-Hopf-Gleichung).

Die Wiener-Hopf-Methode (auch Faktorisierungsmethode)<ref>[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Wiener%E2%80%93Hopf_method Wiener-Hopf method], Encyclopedia of Mathematics, Springer</ref><ref>[https://mathworld.wolfram.com/Wiener-HopfMethod.html Wiener-Hopf Method], Mathworld</ref><ref>B. Noble: Methods based on the Wiener-Hopf technique for the solution of partial differential equations, Pergamon 1959</ref><ref>Morse, Feshbach: Methods of theoretical physics, McGraw Hill 1953,  Band 1, S. 978ff</ref><ref>Michio Masujima: Applied mathematical methods in theoretical physics, Wiley 2009</ref> ist eine allgemeine Methode zur Lösung von bestimmten Integralgleichungen und Randwertproblemen von bestimmten  [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] (wie der [[Wellengleichung]] oder Laplacegleichung zum Beispiel in Optik oder Elektromagnetismus),<ref>L. A. Weinstein: The theory of diffraction and the factorization method, Golem Press, Boulder 1969</ref><ref>Vito Daniele, Rodolfo Zilch: The Wiener-Hopf method in electromagnetics, Scitech Publ. 2014</ref> wobei typischerweise Ränder auftreten, die sich ins Unendliche erstrecken wie bei der Halbebene. Dabei werden die [[Fouriertransformation]] (oder auch die [[Laplacetransformation]] oder [[Mellintransformation]]) der gesuchten Funktionen betrachtet und deren komplex-analytische Eigenschaften ausgenutzt. Die Funktion und ihre Transformierte wird in zwei Teile <math>\Phi_{\pm}</math> zerlegt, die jeweils in der oberen und unteren komplexen Halbebene als analytische Funktionen definiert sind (wobei diese nur polynomiales Wachstumsverhalten haben sollten), aber einen Abschnitt der reellen Achse im Definitionsbereich gemein haben.

== Literatur ==
* [[David Hilbert]]: ''[https://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ACU8916.0003.001 Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen].'' B. G. Teubner, Leipzig, Berlin 1912.
* [[Adolf Kneser]]: ''[https://archive.org/details/DieIntegralgleichungen Die Integralgleichungen und ihre Anwendungen in der mathematischen Physik].'' Friedr. Vieweg &amp; Sohn, Braunschweig 1922.
* [[Richard Courant]], David Hilbert: ''[https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN380672502 Methoden der mathematischen Physik Band 1].'' Julius Springer, Berlin 1924. (Drittes Kapitel)
* [[Heinz W. Engl]]: ''Integralgleichungen'', Springer Verlag Wien, 1997.

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Theorie der Differentialgleichungen]]