Quelltext der Seite Hyperholomorphie

'''Hyperholomorphie''' ist eine mögliche Verallgemeinerung des Begriffs der [[Holomorphie]] von den [[Komplexe Zahl|Komplexen Zahlen]] auf allgemeinere [[Clifford-Algebra|Clifford-Algebren]], ausgehend vom Begriff der [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]].

== Definition ==
Es bezeichne <math>Cl_{p,q}</math> eine Clifford-Algebra mit der algebraischen Basis
<math>1;\,e_1, \dots ,e_n;\,e_1e_2, \dots e_{n-1}e_n; \dots ;\,e_1e_2 \dots e_n</math>. Das System <math>\{e_1,\dots,e_n\}</math> ist eine Basis in 

:<math>\R^{p,q}</math>mit <math>e_i^2=-1,\,i=1, \dots ,q; \,e_i^2=1,\;i=p+1, \dots ,p+q=n</math>. 

Der Operator

:<math>D=\sum_{i=1}^ne_i\partial_i</math>, 

der im Raum <math>C^1(G,Cl_{p,q})</math> wirkt, wobei <math>G\subset\R^n</math> ein Gebiet ist, wird als [[Dirac-Operator]] bezeichnet. Der Operator <math>\partial=\partial_0+D</math> heißt Operator vom Cauchy-Riemann-Typ. Die Symbole <math>\partial_i; i=0,1,...,n</math> kennzeichnen die partiellen Ableitungen. Man bezeichnet nunmehr eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]]  <math>f</math> als '''hyperholomorph''', wenn sie 
eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
 
:<math>Df=0, (fD)=0, \partial f=0, (f\partial)=0</math>. 

Da Clifford-Algebren im Allgemeinen [[Kommutativgesetz|nichtkommutative]] [[Algebra über einem Körper|Algebren]] sind, liefert die Anwendung von links bzw. von rechts unterschiedliche Funktionenklassen. Oft werden die präziseren Begriffe <math>Cl_{p,q}</math>-(links)-holomorph bzw. <math>Cl_{p,q}</math>-(rechts)-holomorph verwendet. Ist klar, von welcher Seite die Anwendung der Operatoren zu verstehen ist, werden auch die Zusätze ''links'' und ''rechts'' weggelassen. Anstelle des Begriffs ''holomorph'' wird auch mitunter ''monogen'' bzw. ''Cl-analytisch'' verwendet. Wichtige Clifford-Algebren sind die Algebra der [[komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>Cl_{0,1}</math> (kommutativ), die Algebra der reellen [[Quaternionen]] <math>Cl_{0,2}</math> und die [[Pauli-Algebra]]  <math>Cl_{3,0}</math>.

== Literatur ==

* F. Brackx, R. Delanghe, F. Sommen: ''Clifford analysis.'' (= ''Res. Notes Math. Ser.'' 76). Pitman, 1982, ISBN 0-273-08535-2.
* K. Gürlebeck, W. Sprößig: ''Quaternionic and Clifford Calculus for Physicists and Engineers.'' (= ''Mathematical Methods in Practice''). Wiley & Sons, Chichester 1997, ISBN 0-471-96200-7.
* V. V. Kravchenko, M. V. Shapiro: ''Integral representations for spatial models of mathematical physics.'' (= ''Res. Notes  Math Ser.'' 351). Pitman, 1996, ISBN 0-582-29741-9.
* K. Gürlebeck, [[Klaus Habetha|K. Habetha]], W. Sprössig: ''Funktionentheorie in der Ebene und im Raum.'' Birkhäuser, 2006, ISBN 3-7643-7369-5.

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Analysis]]