Quelltext der Seite Hyperfläche

[[File:Hypersurface-order-2.svg|thumb|Hyperfläche des dreidimensionalen Raumes]]
In der [[Mathematik]] bezeichnet man geometrische Objekte der [[Kodimension]]&nbsp;1 als '''Hyperflächen'''.

Die namengebenden Spezialfälle sind alle gebogenen oder ebenen [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] im dreidimensionalen Raum und [[Hyperebene]]n, also <math>n</math>-dimensionale Ebenen in einem <math>(n+1)</math>-dimensionalen [[Affiner Raum|affinen Raum]]. Auch [[Kurve (Mathematik)|Kurven]] in einer Ebene sind formal Hyperflächen.

== Hyperflächen in unterschiedlichen mathematischen Disziplinen ==

=== Differentialgeometrie ===
In der [[Differentialgeometrie]] ist eine Hyperfläche eine [[Untermannigfaltigkeit]] der Kodimension 1.

''Beispiele:''
* Die <math>n</math>-Einheits-[[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]]
:: <math>S^n=\{x\in\R^{n+1}\mid \|x\|=1\}\subset\R^{n+1}.</math>
* Ist <math>f</math> eine differenzierbare Funktion auf einer Mannigfaltigkeit <math>M</math> und <math>c</math> kein [[Kritischer Punkt (Mathematik)|kritischer Punkt]] von <math>f</math>, so ist <math>f^{-1}(c)</math> eine Hyperfläche in <math>M</math>.

=== Algebraische Geometrie ===
In der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] versteht man unter einer Hyperfläche ein durch eine einzige (homogene) Gleichung definiertes [[Unterschema]] des [[Affiner Raum|affinen]] oder [[Projektiver Raum|projektiven Raumes]]. Über einem Körper hat jedes [[Abgeschlossenes Unterschema|abgeschlossene Unterschema]], das reine Kodimension&nbsp;1 hat und keine eingebetteten Komponenten besitzt – also jeder effektive [[Divisor]] –, diese Form.

== Literatur ==
* John M. Lee: ''Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8.

{{SORTIERUNG:Hyperflache}}
[[Kategorie:Algebraische Varietät]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Untermannigfaltigkeit]]