Quelltext der Seite Hurwitzpolynom

Ein '''Hurwitzpolynom''' (nach [[Adolf Hurwitz]]) ist ein reelles [[Polynom]], dessen [[Nullstelle]]n alle einen echt negativen [[Realteil]] haben.

== Definition und notwendige Bedingung ==
Ein reelles Polynom (alle <math>a_i\in\R</math>)
:<math> N(s) = \sum_{i=0}^n a_i s^i = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + ... + a_0 </math>
wird also ''Hurwitzpolynom'' genannt, wenn gilt:
:<math> N(r_i) = 0\, \Rightarrow\, \mathrm{Re}\, r_i < 0,\quad i=1,\ldots,n.</math>

Für den Fall eines Polynoms 1. oder 2. Grades (<math>n  \leq2</math>) kann man zeigen, dass die Koeffizienten des ''normierten'' Hurwitzpolynoms (<math>a_n = 1</math>) positiv sein müssen. Im Umkehrschluss muss ein solches normiertes Polynom mit reellen Koeffizienten, bei dem ein [[Koeffizient]] kleiner oder gleich Null ist, eine Nullstelle haben, die keinen echt negativen Realteil besitzt. Die Bedingung, dass die Koeffizienten positiv sind, ist also notwendig und auch hinreichend.

Für <math>n \ge 3</math> (ein Polynom dritten oder höheren Grades) wird eine neue hinreichende und [[Notwendige und hinreichende Bedingung|notwendige Bedingung]] benötigt: die ''Hurwitzdeterminante''.

== Hurwitz-Kriterium ==
Das '''Hurwitz-Kriterium''' oder '''Routh-Hurwitz-Kriterium''' gibt eine äquivalente Bedingung dafür, dass ein Polynom ein Hurwitz-Polynom ist. Es handelt sich um eine Anwendung des allgemeinen [[Definitheit#Hauptminoren|Hauptminoren-Kriteriums]] für die positive Definitheit von Matrizen; vereinzelt wird für dieses allgemeinere Kriterium auch der Begriff „Hurwitz-Kriterium“ synonym verwendet, obwohl sich dieses eigentlich nur auf Hurwitzpolynome bzw. Hurwitz-Matrizen bezieht.

Im Folgenden gehen wir davon aus, dass der Leitkoeffizient <math>a_n</math> positiv  ist. Ist dieses im ursprünglichen Polynom nicht der Fall, kann es durch [[Multiplikation]] des Polynoms mit <math>-1</math> erreicht werden. Dabei ändern sich die Nullstellen des Polynoms nicht.
Aus den Koeffizienten des Polynoms <math>a_0,\ldots,a_n</math> wird zunächst die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] der ''Hurwitzmatrix'', die sogenannte ''Hurwitzdeterminante'' gebildet. Hierbei ist die ''Hurwitzmatrix'' den Koeffizienten <math>a_0,\ldots,a_n</math> entsprechend eine <math>n \times n</math>-Matrix. (s.&nbsp;u.)

:<math>
  H=\begin{vmatrix}
   a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & \ldots & 0 & 0 & 0 \\
   a_{n} & a_{n-2} & a_{n-4} & \ldots & 0 & 0 & 0 \\
   0 & a_{n-1} & a_{n-3} & \ldots & \ldots & 0 & 0 \\
   0 & a_{n} & a_{n-2} & \ldots & \ldots & 0 & 0 \\
   0 & 0 & a_{n-1} & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \\
   \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
   \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & a_{0} \\
\end{vmatrix}
</math>
Nicht vorhandene Koeffizienten werden also durch eine Null ausgedrückt.

''Hurwitz-Kriterium'': Das Polynom ist genau dann ein ''Hurwitzpolynom'', wenn alle „nordwestlichen Unterdeterminanten“ (auch [[Minor (Lineare Algebra)#Hauptminoren|führende Hauptminoren]] genannt) positiv sind. Die Matrix ist dann [[Definitheit|positiv definit]].

Im Beispiel sind die nordwestlichen Unterdeterminanten für den Fall <math>n=3</math>:

:<math>
\begin{align}
H_{1} &= \begin{vmatrix} a_{2} \end{vmatrix} &&= a_{2} > 0 \\[2mm]
H_{2} &= \begin{vmatrix}
   a_{2} & a_{0} \\
   a_{3} & a_{1} \\
   \end{vmatrix} &&= a_{1} a_{2} - a_{3} a_{0} > 0\\[2mm]
H_{3} &= \begin{vmatrix}
   a_{2} & a_{0} & 0     \\
   a_{3} & a_{1} & 0 \\
   0     & 0     & a_{0} \\
\end{vmatrix} &&= a_{0} H_{2} > 0
\end{align}
</math>

Falls <math>H_{2}>0</math> ist, vereinfacht sich natürlich die dritte Bedingung zu <math>a_{0}>0</math>. Die Forderung <math> a_{1} a_{2} > a_{3} a_{0} </math> ist zum Beispiel für <math> a_0=a_1=a_2=a_3=1 </math> nicht erfüllt.

In der Literatur finden sich auch andere Definitionen der Hurwitzmatrix. Die Koeffizienten sind oft anders benannt. Hurwitz selber hat in seiner Veröffentlichung das Polynom mit <math> a_0 x^n  + a_1 x^{n-1} + ... + a_n </math> angesetzt. In diesem Fall wird die Hurwitzdeterminante folgendermaßen gebildet:

:<math>
  H=\begin{vmatrix}
   a_{1}  & a_{0}  & 0      & 0      & \ldots & \ldots  \\
   a_{3}  & a_{2}  & a_{1}  & a_{0}  & \ldots & \ldots  \\
   a_{5}  & a_{4}  & a_{3}  & a_{2}  & \ldots & \ldots  \\
   a_{7}  & a_{6}  & a_{5}  & a_{4}  & \ldots & \ldots  \\
   \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & a_{n-2} \\
   0      & 0      & \ldots & \ldots & 0      & a_{n}   \\
  \end{vmatrix}
</math>

=== Für zweidimensionale Matrizen ===
Für den Fall <math>n=2</math> vereinfacht sich das Hurwitz-Kriterium zur Bedingung

:<math>\mathrm{Spur}\, H < 0 \ \  \text{und} \ \  \det H > 0</math>,
d.&nbsp;h. die Summe der Hauptdiagonalen ([[Spur (Mathematik)|Spur]]) der Matrix muss negativ, und ihre Determinante positiv sein.

== Anwendung ==
Hurwitzpolynome werden in der [[Systemtheorie (Elektrotechnik)|Systemtheorie]] verwendet, um ein zeitkontinuierliches System auf asymptotische [[Gleichgewicht (Systemtheorie)|Stabilität]] hin zu untersuchen: Ist der Nenner der [[Übertragungsfunktion|Systemfunktion]] ein Hurwitzpolynom, so ist das System asymptotisch stabil.

* ''Siehe auch'': [[Wurzelsatz von Vieta]]

== Literatur ==
* Adolf Hurwitz: ''Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt''. In: [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0046 ''Mathematische Annalen Nr. 46''], Leipzig 1895, S. 273–285
* Jan Lunze: ''Regelungstechnik 1. Systemtheoretische Grundlagen, Analyse und Entwurf einschleifiger Regelungen''. 10. Auflage, Heidelberg 2014, S. 418–420
* Eberhard Zeidler (Hrsg.): ''Springer-Taschenbuch der Mathematik''. 3. Auflage, Wiesbaden 2013, S. 473

== Weblinks ==
* [https://video.ethz.ch/speakers/hurwitz.html Webseite der ETH „Hurwitz Memorial Lecture Series“]

[[Kategorie:Analytische Funktion]]
[[Kategorie:Polynom]]