Quelltext der Seite Hopf-Faserung

Die '''Hopf-Faserung''' (nach [[Heinz Hopf]]) ist eine bestimmte [[Abbildung (Mathematik)|Abbildung]] im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]]. Es handelt sich um eine Abbildung der [[Topologische Sphäre|3-Sphäre]], die man sich als den dreidimensionalen Raum zusammen mit einem unendlich fernen Punkt vorstellen kann, in die 2-Sphäre, also eine Kugeloberfläche:
: <math>\eta\colon S^3\to S^2.</math>

== Beschreibung der Abbildung ==

Man erhält sie wie folgt:
Zuerst wird die <math>S^3</math> als [[Einheitssphäre]] in den <math>\mathbb{C}^2</math> eingebettet.
Durch <math>(z_1,z_2)\mapsto(z_1/z_2)</math> werden Paare komplexer Zahlen auf ihren Quotienten in <math>\mathbb C\cup\infty = \mathbb R^2\cup\infty</math> abgebildet.
Danach bildet man den Bildpunkt mit der inversen [[Stereografische Projektion|stereographischen Projektion]] bzgl. des Nordpoles auf die <math>S^2</math> ab.
Um die Abbildung konkret in Formeln anzugeben, gibt es verschiedene Möglichkeiten.

=== Mit reellen Zahlen ===

Die Abbildung
: <math>\R^4\to\R^3,\quad(x_1,x_2,x_3,x_4)\mapsto(y_1,y_2,y_3)</math>
mit
: <math>y_1=2(x_1x_3+x_2x_4)</math>
: <math>y_2=2(x_2x_3-x_1x_4)</math>
: <math>y_3=x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2</math>
bildet die 3-Sphäre <math>\{x\in\R^4\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1\}</math> auf die 2-Sphäre <math>\{y\in\R^3\mid y_1^2+y_2^2+y_3^2=1\}</math> ab. Diese Einschränkung ist die Hopf-Abbildung.

=== Mit komplexen Zahlen ===

Die 3-Sphäre werde als die Teilmenge
: <math>\{(z,w)\in\mathbb C^2\mid |z|^2+|w|^2=1\}</math>
des zweidimensionalen komplexen Raums aufgefasst, die 2-Sphäre als [[riemannsche Zahlenkugel]]. Dann ist die Hopf-Abbildung durch
: <math>(z,w)\mapsto\frac zw</math>
gegeben. Fasst man die riemannsche Zahlenkugel als [[projektive Gerade]] <math>\mathbb CP^1</math> auf, so kann man die Abbildung unter Verwendung [[Homogene Koordinaten|homogener Koordinaten]] auch als
: <math>(z,w)\mapsto[z:w]</math>
schreiben.

=== Mit Lie-Gruppen ===

Die 3-Sphäre ist [[Diffeomorphismus|diffeomorph]] zur [[Lie-Gruppe]] [[Spin(3)]], die als [[Überlagerung (Topologie)|Überlagerung]] der [[Drehgruppe]] SO(3) auf der 2-Sphäre [[Gruppenoperation|operiert]]. Durch diese Operation erhält man Identifikationen
:<math>S^2=SO(3)/SO(2)=Spin(3)/Spin(2)=S^3/S^1</math>.

=== Beispiele aus der Physik ===

Als natürliche Anschauung der Hopf-Faserung lassen sich [[Quantenzustand|Quantenzustände]] nicht relativistischer Elektronen auf der [[Einheitssphäre]] darstellen.

Hierbei ist der Zustandsvektor:<math>\psi = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix}</math> mit <math> \psi_1 ,\psi_2 \in \mathbb C </math> gegeben.
Ferner sei die Gestalt der Einheitssphäre des 2-dimensionalen [[Hilbertraum]]s
: <math>S(\mathbb{C}^2)=\{ \psi \in \mathbb{C}^2 : ||\psi||=1 \}</math>
Aus dem Skalarprodukt des Quantenzustands
:<math>| \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1+i\beta_1 \\ \alpha_2+i\beta_2 \end{pmatrix}</math>
folgt
:<math>\langle\psi| \psi\rangle = \alpha_1^2 +\beta_1^2 + \alpha_2^2 +\beta_2^2 = 1 </math>
Dieses entspricht der 3-Sphäre.

Zwei Quantenzustände <math>\psi_a,\psi_b \in S(\mathbb{C}^2)</math> sind äquivalent wenn es eine komplexe Zahl bzw. ein Repräsentant der [[Unitäre Gruppe|unitären Gruppe]] <math>\lambda \in U(1) </math> gibt, welcher die Forderung <math> \psi_a=\lambda \psi_b </math> erfüllt.
Betrachtet man die gesamte Vereinigungsmenge der [[Äquivalenzklasse#Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]]
:<math> [\psi]:=\{ \lambda \psi : \lambda \in U(1), |\lambda|=1\}</math>
auf der Sphäre
:<math>S(\mathbb{C}^2)= \bigcup_{S(\psi \in \mathbb{C}^2)} [\psi]</math>
so operiert die <math>U(1)</math> Gruppe auf der Einheitssphäre.
Die Mengen der <math>[\psi]</math> werden auch <math>U(1)</math>-Faser genannt.
Dargestellt wird diese Menge der <math>U(1)</math>-Faser wie folgt
:<math>S(\mathbb{C}^2)/U(1)</math>

Die Hopf-Faserung (als ''„Hopfion“'') wurde in vielen Bereichen der Physik als mögliche topologische Textur in unterschiedlichen zugrundeliegenden physikalischen Feldern diskutiert, ähnlich dem [[Skyrmion]], allerdings wurden sie im Gegensatz zu diesem bisher (2021) nicht in der Natur nachgewiesen. Das reicht von magnetischen Strukturen in Festkörpern, [[Ferroelektrikum|Ferroelektrika]],<ref>I. Lukyanchuk, V. M. Vinokur u.&nbsp;a.: [https://www.nature.com/articles/s41diese Hopfions emerge in ferroelectrics], Nature Communications, Band 11, 2020, S. 2433, [https://arxiv.org/abs/1907.03866 Arxiv]</ref> Teilchenphysik, Supraflüssigkeiten bis zur Biologie. Diese und ähnliche solche topologischen Strukturen stellen teilchenartige, durch ihre Topologie geschützte bzw. stabilisierte, „verwirbelte“ Feldanregungen (verbunden mit ganzzahligen topologischen Quantenzahlen, in diesem Fall die Hopf-Invariante) dar und sind insbesondere in der Festkörperphysik ein aktuelles Forschungsgebiet (2022). Das Hopfion wurde zwar bisher nicht in der Natur beobachtet, aber 2021 über ihre Projektion aus vier Dimensionen 2021 in Form eines Lichtfeldes mit quantenoptischen Methoden künstlich erzeugt ([[Cornelia Denz]] u.&nbsp;a. 2021).<ref>[https://www.nature.com/articles/s41467-021-26171-5 Danica Sugic, Cornelia Denz, Mark Denner u.&nbsp;a., Particle-like topologies in light], Nature Communications, Band 12, 2021, Nr. 6785.</ref> Die Textur selbst wurde dabei in der Phasen- und Polarisationsstruktur des Lichtfeldes abgebildet.

== Eigenschaften ==

* Die Hopf-Abbildung ist ein [[Faserbündel]] mit Faser <math>S^1</math> (sogar ein <math>S^1</math>-[[U(1)-Hauptfaserbündel|Hauptfaserbündel]]).
* Je zwei Fasern bilden eine [[Hopf-Verschlingung]].
* Die Hopf-Abbildung erzeugt die [[Homotopiegruppe]] <math>\pi_3(S^2)\cong\mathbb Z</math>.

== Verallgemeinerungen ==

Die oben angegebene Beschreibung mithilfe komplexer Zahlen kann analog auch mit [[Quaternion]]en oder mit [[Cayley-Zahl]]en durchgeführt werden; man erhält dann Faserungen
: <math>S^3\to S^7\to S^4</math> bzw. <math>S^7\to S^{15}\to S^8</math>,
die ebenfalls als Hopf-Faserungen bezeichnet werden.

== Geschichte ==

[[Heinz Hopf]] gab diese Abbildung [[1931]] in seiner Arbeit ''Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche'' an und zeigte, dass sie nicht [[nullhomotop]] ist (genauer: dass ihre [[Hopf-Invariante]] gleich 1 ist).

== Literatur ==

* [[Heinz Hopf]]: ''Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche.'' ''Math. Ann.'' 104 (1931), 637–665 ([https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0104 Göttinger Digitalisierungszentrum])
* [[Eberhard Zeidler (Mathematiker)|Eberhard Zeidler]]: ''Quantum Field theory I - Basics in Mathematics and Physics.'' Springer Verlag, 2006, ISBN 3-540-34762-3, S. 269 ff.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Differentialtopologie]]
[[Kategorie:Topologie von 3-Mannigfaltigkeiten]]