Quelltext der Seite Hilbertscher Basissatz

Der '''Hilbertsche Basissatz''' (nach [[David Hilbert]])<ref>Hilbert, Ueber die Theorie der algebraischen Formen, Mathematische Annalen, Band 36, 1890, S. 473–534</ref> ist ein grundlegender Satz in der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]], er verbindet verschiedene Endlichkeitsbedingungen.

''Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe [[Kommutative Algebra]].''

== Formulierung ==
Der Hilbertsche Basissatz besagt in seiner allgemeinen Form: 

* Ist <math>A</math> ein [[Noetherscher Ring|noethersch]]er Ring, so ist jeder [[Polynomring]] <math>A[X_1,\ldots,X_n]</math> mit Koeffizienten in <math>A</math> noethersch.<ref>Ernst Kunz: ''Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie'', Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel I, §2, Satz 2.3 (sehr kurzer Beweis)</ref><ref>[[Bartel Leendert van der Waerden|B. L. van der Waerden]]: Algebra II, Springer-Verlag (1967), ISBN 3-540-03869-8, §115</ref>

Da die [[Algebra (Struktur)|Algebren]] [[Endlichkeitsbedingungen der algebraischen Geometrie|endlichen Typs]] genau die [[Faktorring|Quotientenringe]] von Polynomringen sind, ist diese Aussage äquivalent zu:

* Ist <math>A</math> ein noetherscher [[Ring (Algebra)|Ring]] und <math>B</math> eine <math>A</math>-Algebra endlichen Typs, so ist auch <math>B</math> noethersch.

Die (bis auf den Sprachgebrauch) [[1888]] von Hilbert bewiesene Fassung behandelt den Spezialfall des [[Körper (Algebra)|Körpers]]:
* Der Polynomring <math>k[X_1,\ldots,X_n]</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>k</math> ist noethersch.

== Folgerung ==
Eine wichtige Anwendung ist die folgende Aussage: Ist eine Teilmenge eines <math>k^n</math> für einen Körper <math>k</math> durch unendlich viele Polynomgleichungen beschrieben, so genügen bereits endlich viele von ihnen. 

Formaler: Sei <math>\mathcal{F}\subset k[X_1,\ldots,X_n]</math> eine beliebige Menge von Polynomen mit der Menge der gemeinsamen Nullstellen (auch Verschwindungsmenge von <math>\mathcal{F}</math> genannt):
:::<math>V=V(\mathcal{F})=\{(x_1,\ldots, x_n)\in k^n;\, f(x_1,\ldots, x_n)=0 \mbox{ für alle }f\in\mathcal{F}\}</math>

Dann gibt es endlich viele <math>f_1,\ldots, f_m \in \mathcal{F}</math>, so dass gilt
:::<math>V=\{(x_1,\ldots, x_n)\in k^n;\, f_i(x_1,\ldots, x_n)=0 \mbox{ für alle }i=1,\ldots, m\}</math>. 

Dies ist der schwierigste Teil des Beweises der Aussage, dass die [[Zariski-Topologie]] eine Topologie ist.

== Siehe auch ==
* [[algebraische Varietät]]
* [[Gröbnerbasis]]
==Weblinks==
*[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hilbert_theorem V. I. Danilov, Hilbert's basis theorem, Encyclopedia of Mathematics, Springer]
== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kommutative Algebra]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]
[[Kategorie:David Hilbert als Namensgeber]]