Quelltext der Seite Hessesche Normalform

Die '''hessesche Normalform'''<ref>{{Literatur |Autor=Forster |Titel=Lehrbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie |Datum=2019 |Seiten=38}}</ref><ref>{{Literatur |Titel=Schülerduden Die Mathematik II |Datum=1991 |Seiten=170 |Abruf=}}</ref>, '''Hesse-Normalform'''<ref>{{Literatur |Autor=Thomas Westermann |Titel=Mathematik für Ingenieure 1 |Auflage=9. |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2024 |ISBN=978-3-662-69657-6 |Seiten=52}}</ref> oder '''hessesche Normalenform'''<ref>{{Literatur |Autor=Weitz |Titel=Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker |Datum=2021 |Seiten=382}}</ref> ist in der [[Mathematik]] eine spezielle Form einer [[Geradengleichung]] oder [[Ebenengleichung]]. Dabei wird eine Gerade oder Ebene mithilfe eines [[Einheitsvektor|normierten]] [[Normalenvektor]] der Gerade bzw. Ebene sowie ihres [[Abstand]]s vom Koordinatenursprung beschrieben; es handelt sich demnach um eine spezielle [[Normalenform]].<ref>{{Literatur |Titel=Schülerduden Die Mathematik II |Datum=1991 |Seiten=91}}</ref>

Anhand der Hesseschen Normalform einer Geraden oder Ebene lässt sich direkt ihr Abstand zum Koordinatenursprung ablesen. Darüber hinaus kann man mittels der Hesseschen Normalform relativ leicht den Abstand eines beliebigen Punktes im Umgebungsraum zu dieser Geraden oder Ebene berechnen. Sie ist nach dem deutschen Mathematiker [[Otto Hesse]] benannt, der sie 1865 einführte.

== Mathematische Hintergründe ==
[[Datei:Einheitsnormalen-Raumgerade.svg|mini|Normaleneinheitsvektoren einer Geraden in der Ebene]]

Zu jeder Geraden <math>g</math> oder Ebene <math>E</math> gibt es zwei Vektoren <math>\vec n_0</math> und <math>\vec n_1</math>der Länge eins, die senkrecht auf der Geraden bzw. Ebene stehen (Normaleneinheitsvektor); diese sind jeweils Gegenvektoren zueinander, das heißt es gilt <math>\vec n_1 = - \vec n_0</math>. Verläuft die Gerade bzw. Ebene nicht durch den Ursprung, so lassen sich diese beiden Normaleneinheitsvektoren danach unterscheiden, ob sie vom Ursprung des Koordinatensystems zu <math>g</math> oder <math>E</math> zeigen oder in die entgegengesetzte Richtung von <math>g</math> bzw. <math>E</math> zum Ursprung.

Derjenige Normaleneinheitsvektor <math>\vec n_0</math>, die vom Ursprung zu <math>g</math> bzw. <math>E</math> zeigt, erfüllt die Beziehung <math>\vec n_0 \cdot \vec x_0 = d</math>, wobei <math>d \geq 0</math> den [[Abstand#Abstand zwischen Punkt und Gerade|Abstand der Gerade]] bzw. den [[Abstand#Abstand zwischen Punkt und Ebene|Abstand der Ebene]] vom Koordinatenursprung, <math>\vec x_0</math> den Ortsvektor eines beliebigen Punkts auf der Gerade bzw. Ebene und <math>\cdot</math> das [[Skalarprodukt]] bezeichnet. Der entgegengesetzte Normaleneinheitsvektor erfüllt entsprechend für alle <math>\vec x_0 \in g</math> die Gleichung <math>\vec n_1 \cdot \vec x_0 = -d.</math><ref name=":0">{{Literatur |Autor=Weitz |Titel=Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker |Datum=2021 |Seiten=381}}</ref>

== Hessesche Normalform einer Geradengleichung ==
[[Datei:Line equation qtl4.svg|mini|Hessesche Normalform der Geradengleichung <math>\tfrac{1}{\sqrt{5}} \, x + \tfrac{2}{\sqrt{5}} \, y - \tfrac{6}{\sqrt{5}}=0</math>]]

=== Vektorgleichung ===
Ist <math>\vec n_0 </math> ein Normaleneinheitsvektor einer Geraden in der [[Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]] und <math>d \geq 0</math> ihr Abstand vom Koordinatenursprung, so besteht die Gerade aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren <math>\vec x</math> die Gleichung

:<math>{\vec n}_0 \cdot \vec x  - d = 0 \quad</math>bzw. <math>\quad \vec n_0 \cdot \vec x = d</math>

erfüllen. Diese Form einer Geradengleichung heißt ''Hessesche Normalform''. Dabei ist <math>\vec n_0</math> derjenige Normaleneinheitsvektor, der vom Ursprung zur Geraden hinzeigt.<ref>{{Literatur |Titel=Repetitorium Höhere Mahematik |Seiten=149|Autor=Gerhard Merziger, Thomas Wirth|ISBN=978-3-923923-34-2|Auflage=6.|Verlag=Binomi Verlag|Ort=Hannover|Datum=2010}}</ref> Vielfach wird nur vorausgesetzt, dass <math>d</math> eine reelle Zahl ist. In diesem Fall gibt es zwei Hessesche Normalformen, für beide Normaleneinheitsvektoren jeweils eine, und der Betrag von <math>d</math> gibt den Abstand des Koordinatenursprungs von der Gerade an.<ref>{{Literatur |Autor=Arens et al. |Titel=Mathematik |Datum=2022 |Seiten=717}}</ref> 

In der hesseschen Normalform werden die Punkte der Geraden also implizit dadurch definiert, dass das Skalarprodukt aus dem Ortsvektor eines Geradenpunkts und dem Normaleneinheitsvektor der Geraden gleich dem Abstand der Geraden vom Ursprung ist. Ein Punkt, dessen Ortsvektor <math>\vec x</math> die Gleichung nicht erfüllt, liegt für <math>\vec n_0 \cdot {\vec x} > d</math> auf derjenigen Seite der Geraden, in welche der Normalenvektor zeigt, und ansonsten auf der anderen Seite. Der Koordinatenursprung befindet sich immer auf der Seite der Gerade, in die der Normalenvektor nicht zeigt, sofern sie keine [[Ursprungsgerade]] ist.

==== Berechnung aus anderen Formen von Geradengleichungen ====
[[Datei:Hessesche-Normalform.svg|mini|Die Projektion des Stützvektors <math>\vec p</math> auf die Gerade in Richtung <math>\vec n_0</math> entspricht dem Abstand <math>d</math> von <math>g</math> zum Ursprung, also ist <math>d=\vec n_0 \cdot \vec p </math>.]]
Ist die Gerade in [[Normalenform#Normalenform einer Geradengleichung|Normalenform]] gegeben als <math>g \colon \ \vec n \cdot (\vec x - \vec p)</math>, so bestimmt man zunächst den Normaleneinheitsvektor, der vom Ursprung zur Geraden zeigt, durch Normierung und eventuelle Vorzeichenumkehr:

:<math>{\vec n}_0 = \begin{cases} \frac{\vec n}{| \vec n |} & \text{falls}~\vec n \cdot \vec p \geq 0, \\ -\frac{\vec n}{| \vec n |} & \text{falls}~\vec n \cdot \vec p  < 0. \end{cases}</math>

Den Abstand der Geraden vom Ursprung erhält man als <math>d = \vec n_0 \cdot \vec p</math> (siehe Abbildung). 

Liegt die Gerade in einer anderen Form vor ([[Allgemeine Koordinatenform#Allgemeine Koordinatenform einer Geradengleichung|allgemeinen Koordinatenform]], [[Achsenabschnittsform#Achsenabschnittsform einer Geraden in der Ebene|Achsenabschnittsform]], [[Parameterform#Parameterform einer Geradengleichung|Parameterform]] oder [[Zweipunkteform]]), so ermittelt man zunächst die zugehörige Normalenform der Geraden (siehe [[Normalenform#Berechnung|Berechnung der Normalenform]]) und daraus dann die hessesche Normalform. 

==== Alternative Darstellung mit Stützvektor ====
Ist <math>\vec p</math> ein Stützvektor, so gilt die Beziehung <math>d = \vec n_0 \cdot \vec p</math>. Setzt man dies in die Hessesche Normalform <math>{\vec n}_0 \cdot \vec x  - d = 0</math> ein, so erhält man die Darstellung 

:<math>\vec n_0 \cdot \vec x - \vec n_0 \cdot \vec p = 0 \quad</math>bzw. <math>\quad {\vec n}_0 \cdot \left(\vec x  - \vec p \right) = 0 .</math>
Dabei wurde für die letzte Umformung das Distributivgesetz für das Skalarprodukt angewendet. Gelegentlich (vor allem in der Schulmathematik) werden auch diese Formen als ''Hessesche Normalform'' bezeichnet.<ref name="bigalke-ma3">{{Literatur |Hrsg=Anton Bigalke, Norbert Köhler |Titel=Mathematik. Gymnasiale Oberstufe Berlin Grundkurs ma-3 |Verlag=Cornelsen Verlag |Ort=Berlin |Datum=2011 |ISBN=978-3-06-040003-4 |Seiten=137}}</ref><ref>{{Literatur |Titel=Schülerduden Die Mathematik II |Datum=1991 |Seiten=150}}</ref>

==== Beispiel ====
Die Hessesche Normalform einer Geraden mit Normaleneinheitsvektor <math>{\vec n}_0 = \begin{pmatrix}3/5\\ 4/5\end{pmatrix}</math> und Abstand <math>d=6/5</math> vom Koordinatenursprung lautet
:<math>\begin{pmatrix}3/5\\4/5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} - \frac{6}{5}=0</math>.
Dieselbe Gerade hat den Stützvektor <math>{\vec p} = \begin{pmatrix}6\\ -3\end{pmatrix}</math>. Damit lässt sie sich auch in der alternativen Hesseschen Normalform schreiben als

:<math>\begin{pmatrix}3/5\\4/5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x-6\\ y+3\end{pmatrix}=0.</math>

==== Abstandsberechnung ====
[[Datei:Abstand-Punkt-Gerade.svg|mini|Der Abstand des Punkts <math>Q</math> von der Geraden <math>g</math> mit Einheitsnormale <math>\vec n_0 </math> und Abstand <math>d</math> vom Ursprung beträgt <math>\left|\vec n_0 \cdot \vec q -d \right|</math>.]]
[[Datei:Abstand-Punkt-Gerade-2.svg|mini|Der Abstand des Punktes <math>Q</math> von der Geraden <math>g</math> mit Stützvektor <math>\vec p </math> und Einheitsnormale <math>\vec n_0 </math> beträgt <math>\left|\vec n_0 \cdot (\vec q - \vec p)\right|</math>.]]
Mit Hilfe der hesseschen Normalform kann der [[Abstand]] eines beliebigen Punkts <math>Q</math> in der Ebene von einer Geraden <math>g</math> dadurch berechnet werden, indem man den Ortsvektor <math>\vec q</math> des Punkts in die Hessesche Normalform <math>{\vec n}_0 \cdot \vec x  - d = 0</math> einsetzt:<ref name=":0" />

:<math>d(Q,g) = \vec n_0 \cdot \vec q - d</math>.

Dieser Abstand ist [[Vorzeichen (Zahl)|vorzeichenbehaftet]]: Für <math>d(Q,g) > 0</math> liegt der Punkt <math>Q</math> auf derjenigen Seite der Geraden, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite. Für den nicht vorzeichenbehafteten Abstand verwendet man den [[Betragsfunktion|absoluten Betrag]]:

:<math>d(Q, g) = |\vec n_0 \cdot \vec q - d|.</math>
Liegt die Hessesche Normalform als <math>{\vec n}_0 \cdot \left(\vec x  - \vec p \right) = 0 </math> vor, so setzt man entsprechen den Ortsvektor <math>\vec q</math> in diese Gleichung ein, um den (vorzeichenbehafteten) Abstand zu erhalten.

=== Koordinatengleichung ===
Die [[Allgemeine Koordinatenform#Allgemeine Koordinatenform einer Geradengleichung|allgemeine Koordinatenform]] einer Geraden <math>g</math> in der Ebene ist
:<math>ax+by+c=0</math>.
Dividiert man diese Gleichung durch <math>\sqrt{a^2+b^2}</math>, erhält man die ''Hessesche Normalform'' der Koordinatengleichung:
:<math>\frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}}=0</math>.<ref>{{Literatur |Titel=Geradengleichung |Hrsg=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik: Band 2: Eig bis Inn |Auflage=2. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=280}}</ref>

==== Eigenschaften ====
Der Abstand eines beliebigen Punktes <math>Q=(x_0,y_0)</math> in der Ebene von der Geraden ist
:<math>d(Q,g)=\left|\frac{ax_0+by_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|\ </math>, speziell: <math>\quad d((0,0),g)=\left|\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|</math>.
:<math>\vec n_0=\left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^T\quad</math> ist ein Normaleneinheitsvektor der Geraden.

Ist die Geradengleichung in ''expliziter'' Form <math>y=mx+d</math>, so ist <math>\ a=m,\;b=-1,\;c=d\ </math>. Die zur <math>y</math>-Achse parallele Gerade mit der Gleichung <math>x=d</math> hat die Hessesche Normalform <math>x-d=0</math>.

== Hessesche Normalform einer Ebenengleichung ==
[[Datei:Plane equation qtl4.svg|mini|Hessesche Normalform einer Ebenengleichung]]

=== Darstellung ===
Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der hesseschen Normalform durch einen Normaleneinheitsvektor <math>{\vec n}_0</math> der Ebene sowie ihren Abstand <math>d \geq 0</math> vom Koordinatenursprung beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren <math>\vec x</math> die Gleichung

:<math>{\vec n}_0 \cdot \vec x - d = 0 \quad</math>bzw. <math>\quad \vec n_0 \cdot \vec x = d</math>

erfüllen. Dabei ist <math>\vec n_0</math> derjenige Normaleneinheitsvektor, der vom Ursprung zur Ebene hinzeigt. Lässt man die Einschränkung <math>d \geq 0 </math> fallen, so gibt es zwei Hessesche Normalformen, für beide Normaleneinheitsvektoren jeweils eine, und der Betrag von <math>d</math> gibt den Abstand des Koordinatenursprungs von der Ebene an.

In der hesseschen Normalform werden demnach die Punkte der Ebene implizit dadurch definiert, dass das Skalarprodukt aus dem Ortsvektor eines Ebenenpunkts und dem Normalenvektor der Ebene gleich dem Abstand der Ebene vom Ursprung ist. Wiederum liegt ein Punkt, dessen Ortsvektor <math>{\vec x}</math> die Gleichung erfüllt, auf der Ebene. Gilt <math>\vec n_0 \cdot \vec x > d</math>, dann liegt der Punkt auf derjenigen Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite. Der Koordinatenursprung befindet sich immer auf der Seite der Ebene, in die der Richtungsvektor nicht zeigt, sofern sie keine [[Ursprungsebene]] ist.

Eine alternative Darstellung mithilfe eines Stützvektors <math>\vec p</math> der Ebene ist wie bei Geraden gegeben durch<ref>{{Literatur |Titel=Analytische Geometrie: Lehrbuch für die Sekundarstufe II; Gymnasium. Leistungskurs |Datum=1998 |Seiten=192}}</ref>

:<math>\vec n_0 \cdot \vec x - \vec n_0 \cdot \vec p = 0 \quad</math>bzw.<math>\quad \vec n_0 \cdot (\vec x - \vec p ) = 0</math>.

=== Beispiel ===
Die Hessesche Normalform einer Ebene mit Normaleneinheitsvektor <math>{\vec n}_0 = (2/3, 1/3, -2/3)^T </math> und Abstand <math>d=4/3</math> vom Ursprung lautet

:<math>\begin{pmatrix}2/3 \\ 1/3\\ -2/3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \frac{4}{3} = 0</math>.
Ein Stützvektor dieser Ebene ist <math>\vec p = (2, 2, 1)</math>. Folglich lässt sie sich auch in der alternativen Hesseschen Normalform schreiben als

:<math>\begin{pmatrix}2/3 \\ 1/3\\ -2/3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x-2 \\ y-2 \\ z-1 \end{pmatrix} = 0.</math>

=== Berechnung aus anderen Formen von Ebenengleichungen ===
Liegt eine Ebenengleichung in einer anderen Gleichungsform ([[Koordinatenform#Allgemeine Koordinatenform einer Ebenengleichung|Koordinatenform]], [[Achsenabschnittsform#Achsenabschnittsform einer Ebene|Achsenabschnittsform]], [[Parameterform#Parameterform einer Ebenengleichung|Parameterform]], [[Dreipunkteform]]) vor, so erfolgt die Bestimmung der Hesseschen Normalform genauso wie im Fall von Geraden: Zunächst ermittelt man ggf. eine [[Normalenform#Normalenform einer Ebenengleichung|Normalenform]] <math>E \colon \ \vec n \cdot (\vec x - \vec p ) = 0</math> (siehe [[Normalenform#Berechnung 2|Berechnung der Normalenform]]) und normiert und orientiert dann den Normalenvektor, um denjenigen Normaleneinheitsvektor <math>{\vec n}_0</math> zu erhalten, der vom Ursprung in Richtung der Ebene zeigt. Dann berechnet man der Abstand der Ebene vom Ursprung mittels <math>d = \vec p \cdot {\vec n}_0</math>.<math>\quad {\vec n}_0 \cdot \left(\vec x  - \vec p \right) = 0 .</math>

=== Abstandsberechnung ===
[[Datei:Abstand-Punkt-Ebene-2.png|mini|Der Abstand des Punktes <math>Q</math> von der Ebene <math>E</math> mit Stützvektor <math>\vec p </math> und Einheitsnormale <math>\vec n_0 </math> beträgt <math>\left|\vec n_0 \cdot (\vec q - \vec p)\right|</math>.]]
Die Berechnung des Abstands eines beliebigen Punktes <math>Q</math> im Raum von einer Ebene <math>E</math> erfolgt analog zum Fall von Geraden: Man setzt den Ortsvektor <math>\vec q</math> des Punkts in die Ebenengleichung ein und erhält

:<math>d(Q,E) = \vec q \cdot {\vec n}_0 - d</math>.

Dieser Abstand ist wieder vorzeichenbehaftet: Für <math>d(Q,E) > 0</math> liegt der Punkt <math>Q</math> auf derjenigen Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite. Für den nicht vorzeichenbehafteten Abstand setzt man die obige Formel in Betragsstriche:<ref>{{Literatur |Autor=Steffen Goebbels, Stefan Ritter |Titel=Mathematik verstehen und anwenden: Differenzial- und Integralrechnung, Lineare Algebra |Auflage=4. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2023 |ISBN=978-3-662-68366-8 |Seiten=532}}</ref>

:<math>d(Q,E) = |\vec q \cdot {\vec n}_0 - d|.</math>
Liegt die Hessesche Normalform als  vor, so setzt man entsprechen den Ortsvektor  in diese Gleichung ein, um den (vorzeichenbehafteten) Abstand zu erhalten.<ref>{{Literatur |Titel=Analytische Geometrie: Lehrbuch für die Sekundarstufe II; Gymnasium. Leistungskurs |Datum=1998 |Seiten=193 |Abruf=2026-01-27}}</ref>

== Verallgemeinerung für Hyperebenen ==

Allgemein wird durch die hessesche Normalform eine [[Hyperebene]] im <math>n</math>-dimensionalen euklidischen Raum beschrieben. Im <math>n</math>-dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Hyperebene entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren <math>\vec x</math> die Gleichung

:<math>\vec x \cdot {\vec n}_0 - d = 0</math>

erfüllen. Es wird dabei lediglich mit <math>n</math>-komponentigen statt mit zwei- oder dreikomponentigen Vektoren gerechnet.<ref group="A">In der Literatur wird die Darstellung <math>\vec x \cdot \vec n - d = 0 </math> einer Hyperebene manchmal auch dann als ''Hessesche Normalform'' bezeichnet, wenn der Vektor <math>\vec n</math> nicht normiert ist.</ref> Eine Hyperebene teilt den <math>n</math>-dimensionalen Raum in zwei Teile, die [[Halbraum|Halbräume]] genannt werden. Ein Punkt, dessen Ortsvektor <math>\vec x</math> die Gleichung erfüllt, liegt genau auf der Hyperebene. Gilt <math>{\vec x} \cdot {\vec n}_0 > d</math>, dann liegt der Punkt in demjenigen Halbraum, in den der Normalenvektor zeigt, ansonsten in dem anderen.

== Geschichte ==
[[Datei:Hesse-normalf-2d.svg|mini|hochkant=1.2|Hessesche Normalform: Winkel]]
Otto Hesse führte 1865 in seinem Buch ''Analytische Geometrie'' neben der allgemeinen Form <math>ax+by+c=0</math> einer Geradengleichung die ''Normalform''
:<math>x\cos\alpha+y\cos\beta-\delta=0</math>
ein. Dabei sind <math>\alpha, \beta </math> die Winkel der Normalen durch den Nullpunkt gegenüber den Koordinatenachsen und <math>\delta</math> der Abstand der Geraden vom Nullpunkt. Da <math>\cos \beta=\sin\alpha </math> ist, schreibt man heute
:<math>x\cos\alpha+y\sin\alpha-\delta=0 .</math>
Analog ist die Normalform einer Ebene erklärt.

Hesse zeigt die wichtige geometrische Eigenschaft der Normalform: Man kann mit ihr auf einfache Weise den Abstand eines Punktes von einer Geraden oder einer Ebene bestimmen.

Diese vorteilhafte Art, eine Gerade oder Ebene zu beschreiben, wurde später von Autoren übernommen und als ''Hessesche Normalform'' bezeichnet.<ref>M. Koecher, A. Krieg: ''Ebene Geometrie.'' Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-540-49328-0, S. 114.</ref>

In Hesses Buch ist auch die übliche Umrechnung der allgemeinen Form in die Normalform durch Multiplikation mit dem Faktor <math>\tfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}</math> enthalten.

== Siehe auch ==
* [[Formel von Ascoli]]

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

== Literatur ==
* Otto Hesse: ''Vorlesungen aus der Analytischen Geometrie der graden Linie, des Punktes und des Kreises in der Ebene.'' E. B. Teubner, Leipzig 1865, S. 14 ff. ([https://archive.org/details/bub_gb_at6qA3g2YDwC/mode/1up archive.org]).
* Tilo Arens, Rolf Busam, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel: ''Mathematik''. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2021, ISBN 978-3-662-63312-0, S. 714–717. 
* [[Alfred Clebsch]], [[Ferdinand von Lindemann|Ferdinand Lindemann]]: ''Vorlesungen über Geometrie''. Springer, Wiesbaden 1891, ISBN 978-3-663-15770-0, S. 11.
* [[Lothar Papula]]: ''Mathematische Formelsammlung: Für Ingenieure und Naturwissenschaftler''. Springer, 2009, ISBN 978-3-8348-9598-1.
* [[Harald Scheid]], Wolfgang Schwarz: ''Elemente der Linearen Algebra und der Analysis''. Springer, 2009, ISBN 978-3-8274-2255-2.
* Wilhelm Leupold et al.: ''Lehr- und Übungsbuch Mathematik. Band III.'' Verlag Harri Deutsch, 1969, ISBN 3-871-44041-8, S. 35–40.
* [[Edmund Weitz]]: ''Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker''. 2. Auflage. Springer Spektrum, 2021, ISBN 978-3-662-62617-7, S. 379–383.
* [[Otto Forster]]: ''Lehrbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie''. 4. Auflage. Springer Spektrum, 2019, ISBN 978-3-658-27342-2, S. 36–38.
* ''Schülerduden Die Mathematik II''. 3. Auflage. Dudenverlag, Mannheim 1991, ISBN 978-3-411-04273-9.
* ''Analytische Geometrie: Lehrbuch für die Sekundarstufe II; Gymnasium. Leistungskurs''. Volk und Wissen, Berlin 1998, ISBN 978-3-06-001173-5, S. 192–193.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Geometrie]]
[[Kategorie:Normalform]]