Quelltext der Seite Harmonische Reihe

Die '''harmonische Reihe''' ist in der [[Mathematik]] die [[Reihe (Mathematik)|Reihe]], die durch Summation der Glieder <math>1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{5}, \dotsc</math> der [[Harmonische Folge|harmonischen Folge]] entsteht. Ihre [[Partialsumme]]n werden auch '''harmonische Zahlen''' genannt. Diese finden beispielsweise Anwendung in Fragestellungen der [[Kombinatorik]] und stehen in enger Beziehung zur [[Euler-Mascheroni-Konstante]] <math>\gamma</math>. Obwohl die harmonische Folge eine [[Nullfolge]] ist, ist die harmonische Reihe [[Grenzwert (Folge)|divergent]].

== Definition ==
Die <math>n</math>-te Partialsumme <math> H_n </math> der harmonischen Reihe heißt die <math>n</math>-te harmonische Zahl:
: <math> H_n := \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} </math>

Die harmonische Reihe ist ein Spezialfall der ''allgemeinen harmonischen Reihe'' mit den Summanden <math>1/k^\alpha</math>, wobei hier <math>\alpha = 1</math>, siehe unten.

Der Name harmonische Reihe wurde gewählt, da jedes Glied <math>a_k = \tfrac{1}{k}</math> das [[Harmonisches Mittel|harmonische Mittel]] <math> M_H </math> der beiden benachbarten Glieder ist:
: <math>M_{\text{H}}(a_{k-1},a_{k+1}) = \frac2{\frac1{a_{k-1}}+\frac1{a_{k+1}}} = \frac2{k-1 + k+1} = \frac1{k} = a_k</math>

== Eigenschaften ==
=== Werte der ersten Partialsummen ===
: <math>
\begin{matrix}H_1 &=& 1 \\\\ H_2 &=& \frac{3}{2} &=& 1{,}5 \\\\ H_3 &=& \frac{11}{6} &=& 1{,}8\overline{3} \\\\ H_4 &=& \frac{25}{12} &=& 2{,}08\overline{3} \\\\ H_5 &=& \frac{137}{60} &=& 2{,}28\overline{3} \\\\ \end{matrix}
\qquad\qquad
\begin{matrix}H_6 &=& \frac{49}{20} &=& 2{,}45 \\\\ H_7 &=& \frac{363}{140} &=& 2{,}59\overline{285714} \\\\ H_8 &=& \frac{761}{280} &=& 2{,}717\overline{857142} \\\\ H_9 &=& \frac{7129}{2520} &=& 2{,}828\overline{968253} \\\\ H_{10} &=& \frac{7381}{2520} &=& 2{,}928\overline{968253} \\\\ \end{matrix}
</math>

Der Nenner von <math>H_n</math> ist durch jede [[Primzahlpotenz]] <math>p^k</math> mit <math>n/2 < p^k \leq n</math> teilbar, also auch durch <math>2^k</math> mit <math>2^k \leq n</math> und für <math>n > 2</math> nach dem [[Bertrandsches Postulat|Bertrandschen Postulat]] durch mindestens eine ungerade [[Primzahl]]. Insbesondere ist <math>H_n</math> für <math>n > 1</math> keine [[ganze Zahl]] (Theisinger 1915).<ref>Leopold Theisinger: ''[http://www.literature.at/viewer.alo?objid=12428&viewmode=fullscreen&page=136 Bemerkung über die harmonische Reihe.]'' Monatshefte für Mathematik und Physik 26, 1915, S. 132–134.</ref> Allgemeiner gilt, dass keine Differenz <math>H_m-H_n</math> für <math>m \neq n</math> eine ganze Zahl ist ([[József Kürschák|Kürschák]] 1918),<ref>[[József Kürschák]]: ''A harmonikus sorról'' (Über die harmonische Reihe). Mathematikai és physikai lapok 27, 1918, S. 299–300 (ungarisch).</ref> dies ist wiederum ein Spezialfall eines Satzes von [[Trygve Nagell|Nagell]] 1923.<ref>[[Trygve Nagell]]: ''[http://archive.org/stream/skrifterutgitavv1923chri#page/354/mode/2up Eine Eigenschaft gewisser Summen.]'' Videnskapsselskapet Skrifter. I. Matematisk-Naturvidenskabelig Klasse 13, 1923, S. 10–15.</ref>

Ist <math>p \geq 5</math> eine Primzahl, so ist der Zähler von <math>H_{p-1}</math> nach dem [[Satz von Wolstenholme]] durch <math>p^2</math> teilbar, ist <math>p</math> eine Wolstenholme-Primzahl, dann sogar durch <math>p^3</math>.

[[Datei:Oresme-Nicole.jpg|mini|hochkant|Nikolaus von Oresme]]

=== Divergenz ===
Die harmonische Reihe divergiert gegen unendlich, wie zuerst [[Nikolaus von Oresme]] im 14. Jahrhundert bewies. Man sieht dies durch Vergleich mit einer Reihe, die in jedem Glied kleiner oder gleich ist ([[Minorantenkriterium]]):
: <math>\begin{matrix}
H_n &=   \ 1 \ + \ 1/2 &+& (1/3 + 1/4) &+& (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) &+ \ \cdots \ + \ 1/n \\
    &\ge \ 1 \ + \ 1/2 &+& (1/4 + 1/4) &+& (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) &+ \ \cdots \ + \ 1/n \\
    &=   \ 1 \ + \ 1/2 &+&         1/2 &+&                     1/2 &+ \ \cdots \ + \ 1/n
\end{matrix}</math>
Die Summe der letzten Zeile übersteigt jeden Wert, wenn <math>n</math> genügend groß ist. Genauer erhält man die Abschätzung
:<math>H_{2^\ell} \ge 1 + \ell/2</math> &nbsp; für &nbsp; <math>\ell = 0, 1, 2, \dots</math>

=== Asymptotische Entwicklung ===
Es gilt die [[asymptotische Entwicklung]]:

: <math>\begin{align}
H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} &= \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + \frac{1}{120n^4}
- \frac1{252n^6} + \frac1{240n^8} - \frac1{132n^{10}} + \mathcal O\!\left(\frac 1{n^{12}}\right)\\
&= \ln n + \gamma + \mathcal O\!\left(\frac 1{n}\right),\quad n\to\infty
\end{align}</math>

Hierbei bezeichnet <math>\ln n</math> den natürlichen [[Logarithmus]], und das [[Landau-Symbol]] <math>\mathcal O</math> beschreibt das Verhalten des Restterms der Entwicklung für <math>n\to\infty</math>. Die [[mathematische Konstante]] <math> \gamma </math> ''(gamma)'' heißt [[Euler-Mascheroni-Konstante]] und ihr numerischer Wert beträgt 0,5772156649…
[[Datei:Harmonic numbers.svg|mini|Partialsummen der harmonischen Reihe mit Näherung ln&nbsp;''n''&nbsp;+&nbsp;''γ'' und Abschätzung ln&nbsp;''n''&nbsp;+&nbsp;1]]
Des Weiteren gilt <math>H_n < \ln n + 1</math>, falls <math>n \geq 2</math>.

:: {| class="wikitable" style="text-align:right"
|+ Vergleich einiger Partialsummen mit Werten der Näherungsformel ''H<sub>n</sub>''&nbsp;≈&nbsp;ln&nbsp;''n''&nbsp;+&nbsp;''γ''
|-
! ''n''
! ''H<sub>n</sub>''<br /><small>(gerundet)</small>
! Näherung<br /><small>(gerundet)</small>
! Genauigkeit<br /><small>(gerundet)</small>
|-
|     5 || 2,28 || 2,19 || 95,77 %
|-
|    10 || 2,93 || 2,88 || 98,32 %
|-
|    20 || 3,60 || 3,57 || 99,31 %
|-
|    50 || 4,50 || 4,49 || 99,78 %
|-
|   100 || 5,19 || 5,18 || 99,90 %
|-
|   500 || 6,79 || 6,79 || 1 − 1·10<sup>−4</sup>
|-
|  1000 || 7,49 || 7,48 || 1 − 7·10<sup>−5</sup>
|-
| 10000 || 9,79 || 9,79 || 1 − 5·10<sup>−6</sup>
|}

== Harmonische Reihe als kontinuierliche Funktion ==

=== Integraldarstellung ===
Für alle natürlichen Zahlen n gilt diese Formel:
: <math> \int_0^1 \frac{1 - y^n}{1 - y}\,\mathrm{d}y = \int_0^1 (1 + y + \cdots + y^{n-1})\ \mathrm{d}y = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} = H_n</math>
Diese Darstellung verallgemeinert die <math>n</math>-te harmonische Zahl auf komplexe Werte für <math>n</math> mit <math>\operatorname{Re}(n) > -1</math> und bildet somit die harmonische Reihenfunktion:
: <math> \mathrm{H}(x) = H_x</math>
Dieser Begriff ist nicht zu verwechseln mit der [[Harmonische Funktion|gleichnamigen harmonischen Funktion]] mit [[Laplace-Operator]] Null.

Für alle [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] x > −1 konvergiert diese Integralformel:
: <math> \mathrm{H}(x)(x \in \R > -1) = \int_0^1 \frac{1 - y^x}{1 - y}\,\mathrm{d}y</math>
Eine Definition der harmonischen Reihenfunktion für alle reellen Zahlen x ist über folgende Summe möglich:
: <math> \mathrm{H}(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}\bigl(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + x}\bigr)</math>
Identisch mit dieser Formel sind folgende Definitionsformeln:
: <math> \Pi(x) = \Gamma(x + 1)</math>
: <math> \Pi(x) = \exp(-\,\gamma\,x) \prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-1} \exp(x/n)</math>
: <math> \mathrm{H}(x) = \gamma + \frac{1}{\Pi(x)}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,\Pi(x)</math>
<!-- Diese Stelle muss an die erweiterten Formeln angepasst werden, sonst versteht man nicht, was sich auf was bezieht.
Originaler Text:
Diese Formel beinhaltet die Fakultätsfunktion beziehungsweise die Gaußsche Pifunktion, die exakt gleich der Gammafunktion des Nachfolgers ist. Und diese nun genannte Definition von der harmonischen Reihenfunktion hat für alle komplexen Zahlen x Gültigkeit. Die Definition der Gaußschen Pifunktion über die genannte Produktreihe wurde von [[Karl Theodor Weierstraß]] aufgestellt und sie geht aus dem Weierstraßschen Produktsatz hervor. -->

=== Beziehung zur Digamma-Funktion ===
Die <math>n</math>-te harmonische Zahl lässt sich durch die [[Digamma-Funktion]] <math>\psi</math> ausdrücken und auf komplexe Werte für <math>n</math> fortsetzen (falls <math>n</math> keine negative ganze Zahl ist):
: <math>
H_n = \psi(n+1) - \psi(1) = \frac{\Gamma'(n)}{\Gamma(n)} + \frac{1}{n} + \gamma
</math>.
Dabei bezeichnet <math>\Gamma</math> die [[Gammafunktion]], <math>\Gamma'</math> ihre Ableitung und <math>\gamma</math> die [[Euler-Mascheroni-Konstante]].

== Ableitung und Integral der harmonischen Reihenfunktion ==

=== Ableitung ===
Die Ableitung der '''Harmonischen Reihenfunktion''' kann mit der [[Trigammafunktion]] dargestellt werden:
: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \,\mathrm{H}(x) = \psi_{1}(x + 1) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(x + n)^2}</math>
Die erste Ableitung der harmonischen Reihenfunktion hat an der Stelle x = 0 und somit am Koordinatenursprung den [[Riemannsche Zeta-Funktion|Zetafunktionswert]] ζ(2):
: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \mathrm{H}(x) \,(x = 0) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{0}^{1} \frac{1 - y^x}{1 - y} \,\mathrm{d}y (x = 0) = \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \,\frac{1 - y^x}{1 - y} \,\mathrm{d}y \,(x = 0) = \int_{0}^{1} \ln(y)\,\frac{- y^x}{1 - y} \,\mathrm{d}y \,(x = 0) = </math>
: <math> = \int_{0}^{1} \ln(y)\,\frac{- 1}{1 - y} \,\mathrm{d}y = \biggl[ -\mathrm{Li}_{2}(1 - y) \biggr]_{y = 0}^{y = 1} = \mathrm{Li}_{2}(1) = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} </math>

=== Integration von Null bis Eins ===
Die '''Harmonische Reihenfunktion''' kann mit den genannten Definitionen integriert werden:
: <math> \mathrm{H}(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}\bigl(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + x}\bigr)</math>
: <math> \int_{0}^{1} \mathrm{H}(x) \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \sum_{n = 1}^{\infty}\bigl(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + x}\bigr) \,\mathrm{d}x = \sum_{n = 1}^{\infty}\int_{0}^{1} \bigl(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + x}\bigr) \,\mathrm{d}x =</math>
: <math> = \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{x}{n} - \ln(n + x)\biggr]_{x = 0}^{x = 1} \mathrm{d}x = \sum_{n = 1}^{\infty}\biggl[\frac{1}{n} - \ln\bigl(\frac{n + 1}{n}\bigr)\biggr] = \gamma</math>
: <math> \mathrm{H}(x) = \gamma + \frac{1}{\Pi(x)}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,\Pi(x)</math>
: <math> \int_{0}^{1} \mathrm{H}(x) \,\mathrm{d}x = \biggl\{\gamma\,x + \ln\bigl[\Pi(x)\bigr]\biggr\}_{x = 0}^{x = 1} = \gamma</math>
Vergleichsrechnung über die zuvor genannte Integraldefinition:
: <math> \int_{0}^{1} \mathrm{H}(x) \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1 - y^x}{1 - y} \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1 - y^x}{1 - y} \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y = </math>
: <math> = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 - y} + \frac{1}{\ln(y)} \,\mathrm{d}y = \gamma </math>

=== Exponentieller Stammfunktionsausdruck ===
Folgender Exponentialfunktionsausdruck kann für die Ursprungsstammfunktion der harmonischen Reihenfunktion aufgestellt werden:

Gegeben ist diese Gleichung:

: <math> \operatorname{H}(x) = \int_0^{\infty} \frac{1-\exp(-x\,y)}{\exp(y)-1} \,\mathrm{d}y </math>
Folgende Gleichung kommt durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x bei der soeben genannten Formel hervor:
: <math> \gamma \,x + \ln\bigl[\Gamma(x + 1)\bigr] = \int_0^{\infty} \frac{\exp(-x\,y)+x\,y-1}{y\,\bigl[\exp(y)-1\bigr]} \,\mathrm{d}y </math>

== Werteliste ==
Besondere Werte der verallgemeinerten harmonischen Zahlen sind beispielsweise:

: <math> \mathrm{H}(\tfrac{1}{2}) = H_{1/2} = 2 - 2\ln 2 </math>
: <math> \mathrm{H}(\tfrac{1}{3}) = H_{1/3} = 3 - \frac{\pi}{2\sqrt{3}} - \frac{3}{2} \ln 3 </math>
: <math> \mathrm{H}(\tfrac{1}{4}) = H_{1/4} = 4 - \frac{\pi}{2} - 3\ln 2 </math>
: <math> \mathrm{H}(\tfrac{1}{6}) = H_{1/6} = 6 - \frac{\pi \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} \ln 3 - 2 \ln 2 </math>

== Summenreihen mit der harmonischen Reihe ==

=== Erzeugende Funktion ===
Entwickelt man die Funktion <math>\tfrac{1}{1-x}\ln\tfrac{1}{1-x}</math> um den Entwicklungspunkt 0 in eine [[Taylorreihe]], so erhält man die harmonischen Zahlen als Koeffizienten:
:<math>
\frac{1}{1-x}\ln\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^{\infty}H_n x^n,\quad |x|<1
</math>
Dies sieht man leicht ein, indem man das [[Cauchy-Produkt]] der für <math>|x|<1</math> absolut konvergenten Reihen von folgenden beiden Funktionen bildet:
:<math>
\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\dotsb
</math>
:<math>
\ln\frac{1}{1-x} = x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dotsb
</math>
Wenn bei der Summe der genannten erzeugenden Funktion die Summanden noch durch die betroffenen Indices geteilt werden, dann wird die Reihe für die Summe aus [[Dilogarithmus]] und Hälfte vom Quadrat des Monologarithmus hervorgebracht:
:<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n} \,x^n = \mathrm{Li}_{2}(x) + \frac{1}{2}\ln\bigl(\frac{1}{1 - x}\bigr)^2 = \mathrm{Li}_{2}(x) + \frac{1}{2}\,\mathrm{Li}_{1}(x)^2, \quad |x|<1
</math>
Das nun genannte Resultat entsteht dadurch, dass die genannte erzeugende Funktion durch x geteilt wird und daraus dann die Ursprungsstammfunktion aufgestellt wird. Diese Integrationskette kann mit dem zuvor gezeigten Muster noch weitergeführt werden. Dann entsteht eine Summe, die den [[Trilogarithmus]] enthält:
:<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^2} \,x^n = 2\operatorname{Li}_{3}(x) + \operatorname{Li}_{3}\bigl(\frac{x}{x-1}\bigr) - \ln(1-x)\operatorname{Li}_{2}(x) - \frac{1}{6}\ln(1-x)^3 =
</math>
:<math>
= 2\operatorname{Li}_{3}(x) + \operatorname{Li}_{3}\bigl(\frac{x}{x-1}\bigr) + \operatorname{Li}_{1}(x)\operatorname{Li}_{2}(x) + \frac{1}{6}\operatorname{Li}_{1}(x)^3 \quad |x|<1
</math>

=== Reihen über harmonische Zahlen ===
Es gilt für die harmonischen Zahlen:<ref>D. Borwein, J. M. Borwein: ''On an Intriguing Integral and Some Series Related to zeta(4).'' Proc. Amer. Math. Soc. 123, 1191–1198, 1995.</ref>
:<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^2} = 2 \, \zeta(3) </math>
:<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^3} = \frac{\pi^4}{72} </math>
:<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^4} = 3 \, \zeta(5) - \frac{\pi^2}{6} \, \zeta(3) </math>
:<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^5} = \frac{\pi^6}{540} - \frac{1}{2} \, \zeta(3)^2 </math>
:<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^6} = 4 \, \zeta(7) - \frac{\pi^2}{6} \, \zeta(5) - \frac{\pi^4}{90} \, \zeta(3) </math>

Hierbei bezeichnet <math> \zeta(s) </math> die [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannsche Zetafunktion]].

== Anwendungsbeispiele ==
[[Datei:Harmonischebrueckerp.jpg|mini|Oben freitragender Ausleger, unten Schemazeichnung]]

=== Kraftvektoren ===
Gleichartige Klötze sollen so gestapelt werden, dass der oberste Klotz möglichst weit über den untersten ragt.

Das Bild zeigt eine Anwendung der harmonischen Reihe. Werden die horizontalen Abstände der Klötze – von oben nach unten vorgehend – gemäß der harmonischen Reihe gewählt, so ist der Stapel gerade noch stabil. Auf diese Weise bekommt der Abstand zwischen dem obersten und untersten Klotz den größtmöglichen Wert. Die Klötze haben eine Länge <math>l_0</math>. Der oberste Baustein liegt mit seinem Schwerpunkt auf dem zweiten Stein an der Position <math>1/2 \cdot l_0 = 1/2 \cdot 1 \cdot l_0</math>. Der gemeinsame Schwerpunkt von Stein 1 und Stein 2 liegt bei <math>1/2 \cdot 1/2 \cdot l_0</math>, der von Stein 1, Stein 2 und Stein 3 bei <math>1/2 \cdot 1/3 \cdot l_0</math>, der des <math>n</math>-ten Steins bei <math>1/2 \cdot 1/n \cdot l_0</math>. Die Gesamtlänge <math>L</math> des Auslegers beträgt somit:

:<math>L = \frac {l_0}2\sum_{k=1}^n \frac 1k</math>

Jeder zusätzliche Stein entspricht einem weiteren Summanden in der harmonischen Reihe. Da die harmonische Reihe beliebig große Werte annehmen kann, wenn man sie nur weit genug fortführt, gibt es keine prinzipielle Grenze, wie weit der oberste Stein überhängen kann. Die Zahl der nötigen Steine steigt allerdings sehr rasch mit dem angestrebten Überhang. Für einen Überhang in 2,5-facher Steinlänge werden etwa 100 Steine benötigt werden. Bei einem realen Aufbau würde dies bereits hohe Anforderungen an die [[Maßhaltig]]keit der Steine stellen.

Weitere Beispiele für die Anwendung der harmonischen Reihe sind das [[Sammler-Problem]] und das [[Problem der 100 Gefangenen]].

=== Summenreihen ===
Im nun folgenden werden zwei Beispiele genannt, bei denen die betroffenen Summenformeln anschließend mit der ''harmonischen Reihenfunktion'' ausgedrückt werden sollen. Danach wird ein Allgemeinfall für diese beiden Beispiele präsentiert:
: <math>\sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{m^2 + 3m + 1} = \frac{1}{5}\sqrt{5}\bigl[\mathrm{H}\bigl(\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{5}\bigr) - \mathrm{H}\bigl(\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{5}\bigr)\bigr]</math>
: <math>\sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{m^2 + 4m + 2} = \frac{1}{4}\sqrt{2}\bigl[\mathrm{H}\bigl(2 + \sqrt{2}\bigr) - \mathrm{H}\bigl(2 - \sqrt{2}\bigr)\bigr]</math>
Und so lautet der Allgemeinfall:
: <math>\sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{a\,m^2 + b\,m + c} = \frac{1}{\sqrt{b^2 - 4ac}}\biggl[\mathrm{H}\biggl(\frac{b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\biggr) - \mathrm{H}\biggl(\frac{b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\biggr)\biggr]</math>

== Verwandte Reihen ==
=== Alternierende harmonische Reihe ===
[[Datei:Alternating Harmonic Series.PNG|mini|Die Partialsummen der alternierenden harmonischen Reihe]]
Die '''[[Alternierende Reihe|alternierende]] harmonische Reihe''' konvergiert:

: <math>\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \pm \cdots = \ln 2 = 0{,}69314\text{ }71805\text{ }59945\text{ }30941 \ldots</math>

Die Konvergenz folgt aus dem [[Leibnizkriterium]], der Grenzwert lässt sich mit der [[Taylorreihe|Taylor-Entwicklung]] des natürlichen [[Logarithmus]] und dem [[Abelscher Grenzwertsatz|Abelschen Grenzwertsatz]] berechnen. Es ist nämlich <math>\textstyle \ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{x^k}k</math>, und wenn man <math>x=1</math> setzt, erhält man in der Reihenentwicklung die alternierende harmonische Reihe. Die Konvergenz der Reihe ist nicht [[Absolute Konvergenz|absolut]], also lediglich [[Bedingt konvergente Reihe|bedingt]].

=== Allgemeine harmonische Reihe ===
Als ''allgemeine harmonische Reihe'' bezeichnet man
: <math>S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha}\ ,</math>
sie divergiert für <math>\alpha\le 1</math> und konvergiert für <math>\alpha>1</math> (siehe [[Cauchysches Verdichtungskriterium]]). Deren ''n''-te Partialsummen werden auch als <math> H^{(\alpha)}_n </math> oder <math> H^{(\alpha)}(n) </math> bezeichnet.

Beispiel für <math>\alpha=2</math> (siehe [[Basler Problem]]):
:<math>S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} = 1{,}64493\text{ }40668\text{ }48226\text{ }43647 \ldots</math>

Beispiel für <math>\alpha=4</math>:
:<math>S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} =1{,}08232\text{ }32337\text{ }11138\text{ }19151\text{ } \ldots </math>

Analog bestimmte [[Leonhard Euler]] alle weiteren Grenzwerte für gerade Exponenten bis einschließlich <math>\alpha=26</math>.

Zwei weitere Beispiele liefern für <math>\alpha=6</math> die Reihe <math>S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^6} = \frac{\pi^6}{945}</math> und für <math>\alpha=8</math> die Reihe <math>S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^8} = \frac{\pi^8}{9450}</math>.

Entsprechende Grenzwerte für ungerade Werte von <math>\alpha</math> konnten allerdings bisher nicht bestimmt werden.

Beispiel für <math>\alpha=2n</math>:
:<math>S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2n}} = 1 + \frac{1}{2^{2n}} + \frac{1}{3^{2n}} + \frac{1}{4^{2n}} + \cdots = (-1)^{n-1}\,\frac{(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}\,\mathrm{B}_{2n} = \zeta(2n), </math>

wobei <math>\mathrm{B}_{2n}</math> die <math>2n</math>-te [[Bernoulli-Zahl]] bezeichnet.

Lässt man für <math>\alpha</math> auch komplexe Zahlen zu, gelangt man zur [[Riemannsche ζ-Funktion|riemannschen Zetafunktion]].

=== Variante der allgemeinen harmonischen Reihe ===
Ersetzt man in den Summanden die Folge der natürlichen Basiszahlen nacheinander durch die der ungeraden natürlichen Zahlen, so erhält man eine Variante der allgemeinen harmonischen Reihe, die ebenfalls von Euler stammt.

Beispiel für <math>\alpha=2</math>:
:<math>S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}</math>

Beispiel für <math>\alpha=4</math>:
:<math>S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)^4} = \frac{\pi^4}{96}</math><ref>Heinz Klaus Strick: ''Mathematik ist wunderschön'', [[Springer Nature]] 2022, ISBN 978-3-662-61681-9, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61682-6, Seiten 30 und 31 (weitere Quellen auf Seite 36)</ref>

=== Subharmonische Reihen ===
''Subharmonische Reihen'' entstehen dadurch, dass man bestimmte Summanden bei der Reihenbildung der harmonischen Reihe weglässt, etwa nur die Kehrwerte aller [[Primzahl]]en summiert:

: <math>S = \sum_{k \text{ prim}}^\infty \frac{1}{k}</math>

Diese Summe divergiert ebenfalls ([[Satz von Euler (Primzahlen)|Satz von Euler]]).

Eine konvergente Reihe entsteht, wenn man nur noch über die [[Primzahlzwilling]]e (oder gar [[Primzahldrilling]]e oder [[Primzahlvierling]]e usw.) summiert; allerdings ist nicht bekannt, ob es sich dabei um unendliche Reihen handelt. Die Grenzwerte werden [[Brunsche Konstante]]n genannt.

Weitere subharmonische Reihen sind die ebenfalls konvergenten [[Kempner-Reihe]]n.

== Literatur ==
* [[Harro Heuser]]: ''Lehrbuch der Analysis. Teil 1.'' 5. Auflage. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe}}
* {{MathWorld|HarmonicSeries|Harmonic Series}}
* {{MathWorld|HarmonicNumber|Harmonic Number}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Folgen und Reihen]]