Quelltext der Seite Halbring (Mengensystem)

Ein '''(Mengen-)Halbring,''' auch '''(Mengen-)Semiring''' genannt, ist ein spezielles [[Mengensystem]] in der [[Maßtheorie]], einem Teilgebiet der Mathematik, welches die Grundlage für die moderne [[Integralrechnung|Integrationstheorie]] und [[Stochastik]] bildet.

Aufgrund ihrer guten Handhabbarkeit werden Halbringe beispielsweise als Definitionsbereiche von [[Inhalt (Maßtheorie)|Inhalten]] verwendet, die dann schrittweise zu [[Maß (Mathematik)|Maßen]] erweitert werden. Ebenso sind sie beliebte [[Erzeuger einer σ-Algebra|Erzeuger von σ-Algebren]], insbesondere der [[Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]], da nach dem [[Maßeindeutigkeitssatz]] ein Maß durch seine Werte auf einem Halbring bereits auf der erzeugten σ-Algebra eindeutig festgelegt ist, sofern das Maß σ-endlich über dem Halbring ist.

Die Definition wurde von [[John von Neumann]] als Verallgemeinerung eines [[Ring (Mengensystem)|Mengenrings]] eingeführt.<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 20. </ref> Der hier verwendete Begriff des Halbrings unterscheidet sich grundlegend von dem eines [[Halbring (Algebraische Struktur)|Halbrings im Sinne der Algebra]], also einer speziellen [[algebraische Struktur|algebraischen Struktur]]. ''Beide stehen nicht in engem Zusammenhang!''

== Definition ==

Sei <math>\Omega</math> eine beliebige Menge. Ein [[Mengensystem]] <math>\mathcal H</math> von Teilmengen von <math>\Omega</math> heißt ein ''Mengenhalbring'' oder ''Halbring über <math>\Omega</math>,'' wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 20. </ref>
# <math>\mathcal H</math> enthält die leere Menge: <math> \emptyset \in \mathcal H </math>
# <math> \mathcal H </math> ist [[durchschnittsstabil]], das heißt, wenn <math> A \in \mathcal H </math> und <math> B \in \mathcal H</math>, so ist auch <math> A \cap B \in \mathcal H</math>
# Die [[Mengenlehre#Differenz_und_Komplement|Differenz]] zweier Mengen <math> A, B </math> aus <math> \mathcal H </math> lässt sich als endliche Vereinigung von paarweise disjunkten Mengen aus <math> \mathcal H </math> darstellen. Es existieren also immer paarweise disjunkte Mengen <math> C_1, C_2, \dotsc, C_n </math> aus <math> \mathcal H </math>, sodass
:::<math> A \setminus B = \bigcup_{i=1}^n C_i </math>.

== Beispiele ==

Über jeder beliebigen Menge <math>\Omega</math> ist <math>\mathcal H_1 =\{\emptyset\}</math> der kleinste und die [[Potenzmenge]] <math>\mathcal H_2= \mathcal P(\Omega)</math> der größte mögliche Mengenhalbring. Beide enthalten trivialerweise die leere Menge. Der Halbring <math> \mathcal H_1 </math> ist schnittstabil, da die leere Menge mit sich selbst geschnitten wieder die leere Menge ist. Dasselbe gilt für die Differenz der leeren Menge mit sich selbst. Die Aussagen für <math> \mathcal H_2 </math> folgen aus der Tatsache, dass die Potenzmenge alle Teilmengen enthält und daher stabil gegenüber allen Mengenoperationen ist.

Ein in der Anwendung wichtiger Halbring über den reellen Zahlen <math> \R </math> ist das Mengensystem der endlichen, rechts halboffenen [[Intervall (Mathematik)|Intervalle]]
:<math>\mathcal I := \{[a,b) \mid a,b \in \R, a \leq b\}</math>.

Halbringe dieser Art werden häufig als [[Erzeuger einer σ-Algebra|Erzeuger]] für die [[Borelsche σ-Algebra]] auf <math>\R</math> gewählt, teils mit leichten Abwandlungen (links offene, rechts geschlossene Intervalle, nur rationale Grenzen etc.).

Halbringe dieser Art lassen sich auch auf dem <math> \R^n </math> formulieren, wo sie ebenfalls als Erzeuger für die Borelsche σ-Algebra auf <math> \R^n </math> dienen. Setzt man für <math> a= (a_1, a_2, \dotsc, a_n) \in \R^n </math> und <math> b= (b_1, b_2, \dotsc, b_n) \in \R^n </math> als Intervalle
:<math> [a,b)= \{x \in \R^n \; \mid \; a_1 \leq x_1 < b_1, \; a_2 \leq x_2 < b_2, \; \dotsc, a_n \leq x_n < b_n \} </math>

und definiert
:<math> a \leq b </math> genau dann, wenn <math> a_i \leq b_i </math> für alle <math> i=1, \dotsc, n </math>,

so ist
:<math>\mathcal I^n := \{[a,b) \mid a,b \in \R^n, a \leq b\}</math>

ein Halbring, der aus <math>n</math>-dimensionalen endlichen, rechts halboffenen Intervallen ([[Quader]]n) besteht. Ein Spezialfall hiervon sind die [[Dyadische Elementarzellen|dyadischen Elementarzellen]]. Hier liegen die Eckpunkte der Intervalle alle auf einem Gitter.

== Eigenschaften ==

Aus der Durchschnittsstabilität folgt [[Vollständige Induktion|induktiv]], dass auch jeder nichtleere, endliche Durchschnitt von Elementen des Mengenhalbrings <math>\mathcal H</math> in ihm enthalten ist, d.&nbsp;h., für alle <math>n \in \N</math> gilt:
:<math>A_1, \dotsc, A_n \in \mathcal H \Rightarrow A_1 \cap \dotsb \cap A_n \in \mathcal H.</math>

Mengenhalbringe treten insbesondere als [[Erzeugendensystem]]e von [[σ-Algebra|σ-Algebren]] auf. Aufgrund der [[Durchschnittsstabil]]ität der Halbringe folgt dabei nach dem [[Dynkinscher π-λ-Satz|Dynkinschen π-λ-Satz]], dass die von einem Halbring [[Erzeuger einer σ-Algebra|erzeugte σ-Algebra]] gleich dem [[Erzeugtes Dynkin-System|erzeugten Dynkin-System]] ist, es gilt also
:<math> \sigma ( \mathcal H )=\delta ( \mathcal H ) </math>.

Ebenso sind daher nach dem [[Maßeindeutigkeitssatz]] Maße bereits durch die Angabe ihrer Werte auf dem Halbring eindeutig bestimmt.

== Operationen ==

=== Schnitte von Halbringen ===

Im Gegensatz zu den meisten Mengensystemen der Maßtheorie ist der Schnitt von Halbringen, also das Mengensystem
:<math> \mathcal H_1 \cap \mathcal H_2 = \{ A \subset \Omega \; | \; A \in \mathcal H_1 \text{ und } A \in \mathcal H_2 \} </math>

im Allgemeinen kein Halbring. Gegenbeispiel sind die Halbringe
:<math> \mathcal H_1 = \{\emptyset, \{1\},\{4\},\{2,3\}, \{1,2,3,4\}\} </math>

und
:<math> \mathcal H_2 = \{\emptyset, \{1\},\{2\}, \{3,4\}, \{1,2,3,4\}\} </math>.

Dann ist
:<math> \mathcal H_1 \cap \mathcal H_2 = \{\emptyset, \{1\}, \{1,2,3,4 \}\} </math>

kein Halbring.

=== Produkte von Halbringen ===

Definiert man für zwei Mengensysteme <math> \mathcal M_1 </math> und <math> \mathcal M_2 </math> auf <math> \Omega_1 </math> und <math> \Omega_2 </math> das Produkt dieser Mengensysteme als
:<math> \mathcal M_1 \times \mathcal M_2 := \{ A \times B \subset \Omega_1 \times \Omega_2 \; | \; A \in \mathcal M_1, \; B \in \mathcal M_2\} </math>,

so ist das Produkt von zwei Halbringen wieder ein Halbring. Denn sind <math> \mathcal H_1, \mathcal H_2 </math> Halbringe und <math> A_1, B_1 \in \mathcal H_1 </math> sowie <math> A_2, B_2 \in \mathcal H_2 </math>, so sind <math> A_1 \times A_2 </math> und <math> B_1 \times B_2 </math> in <math> \mathcal H_1 \times \mathcal H_2 </math> enthalten. Da aber
:<math> (A_1 \times A_2) \cap (B_1 \times B_2)= (A_1 \cap B_1) \times (A_2 \cap B_2) </math>

gilt, <math> A_1 \cap B_1 </math> in <math> \mathcal H_1 </math> liegt und <math> A_2 \cap B_2 </math> in <math> \mathcal H_2 </math>, ist
<math> (A_1 \times A_2) \cap (B_1 \times B_2) \in \mathcal H_1 \times \mathcal H_2 </math>, das Produkt ist also schnittstabil.
Eine analoge Überlegung unter Verwendung von
:<math> (A_1 \times A_2) \setminus (B_1 \times B_2) = \lbrack(A_1 \setminus B_1) \times (A_2 \setminus B_2)\rbrack\cup \lbrack (A_1 \setminus B_1) \times (A_2 \cap B_2)\rbrack\cup \lbrack(A_2 \setminus B_2)\times (A_1 \cap B_1)\rbrack</math>

liefert die Differenzeigenschaft eines Halbringes für die Produkte. Beispiel für die Stabilität von Halbringen unter Produktbildung sind die Mengensysteme der halboffenen Intervalle im obigen Beispiel, für die <math> \mathcal I^2= \mathcal I \times \mathcal I </math> gilt.

Für viele weitere Mengensysteme der Maßtheorie wie Ringe, Algebren und σ-Algebren gilt im Allgemeinen nicht, dass ein Produkt dieser Mengensysteme wieder ein Mengensystem gleicher Art ist. Enthalten Mengensysteme jedoch jeweils einen Halbring, so ist das Produkt stets mindestens ein Halbring. Typisches Beispiel hierfür sind Ringe oder Algebren. Der als Produkt entstehende Halbring wird dann teils als Erzeugendensystem genutzt, um wieder ein Mengensystem mit entsprechender Struktur zu erhalten, das die kartesischen Produkte aller Mengen in den einzelnen Mengensystemen enthaltener Mengen enthält. Beispiel hierfür wäre die [[Produkt-σ-Algebra]] oder das [[Ring (Mengensystem)#Produkt von Ringen|hier definierte Produkt von Ringen]] <math> \mathcal R_1 \boxtimes \mathcal R_2 </math>.

=== Spur eines Halbrings ===

Die [[Spur eines Mengensystems|Spur eine Halbrings]] <math> \mathcal H </math> bezüglich einer Menge <math> U </math>, also das Mengensystem
:<math> \mathcal H|_U:= \{ A \cap U \; | \; A \in \mathcal H \} </math>

ist immer ein Halbring, unabhängig von der Wahl von <math> U </math>.

== Äquivalente Definitionen ==

<math>\mathcal H</math> sei ein System von Teilmengen von <math>\Omega</math>. Wenn <math>A,B</math> Mengen sind und wenn <math>A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)</math> die [[symmetrische Differenz]] von <math>A,B</math> bezeichnet, dann sind wegen <math>\bigcup \emptyset = \emptyset</math> und <math>A \setminus B = A \triangle (A \cap B)</math> sowie <math>A \setminus B = A \setminus (A \cap B)</math> folgende Aussagen [[Logische Äquivalenz|äquivalent]]:
* <math>\mathcal H</math> ist ein Mengenhalbring.
* <math>(\mathcal H, \cap)</math> ist ein [[Verband (Mathematik)|Halbverband]] und es gilt: <math>A,B \in \mathcal H \Rightarrow</math> Es gibt paarweise disjunkte <math>C_1, \dotsc, C_n \in \mathcal H, n \in \mathbb N,</math> mit <math>A \setminus B = C_1 \cup \dotsb \cup C_n.</math>
* <math>\emptyset \in \mathcal H</math> und es gilt: <math>A,B \in \mathcal H \Rightarrow A \cap B \in \mathcal H</math> und es existiert ein endliches Teilsystem <math>\mathcal C \subseteq \mathcal H,</math> dessen Elemente paarweise disjunkt sind, mit <math>A \setminus B = \bigcup \mathcal C</math>. <math>\mathcal C</math> kann hierbei auch leer sein.
* <math>\mathcal H \neq \emptyset</math> und es gilt: <math>A,B \in \mathcal H \Rightarrow A \cap B \in \mathcal H</math> und es gibt paarweise disjunkte <math>C_1, \dotsc, C_n \in \mathcal H, n \in \mathbb N,</math> mit <math>A \triangle B = C_1 \cup \dotsb \cup C_n.</math>
* <math>\mathcal H \neq \emptyset</math> und es gilt: <math>A,B \in \mathcal H \Rightarrow A \cap B \in \mathcal H</math> und falls <math>B \subseteq A</math> gilt, gibt es paarweise disjunkte <math>C_1, \dotsc, C_n \in \mathcal H, n \in \mathbb N,</math> mit <math>A \setminus B = C_1 \cup \dotsb \cup C_n.</math>

Außerdem ergibt sich induktiv:
* <math>C_1, \dotsc, C_n \in \mathcal H, n \in \mathbb N,</math> sind paarweise disjunkt <math>\Rightarrow C_1 \cup \dots \cup C_n = C_1 \triangle \dotsb \triangle C_n.</math>

== Halbringe im engeren Sinne ==

Manche Autoren nennen das oben definierte Mengensystem einen Semiring/Halbring im weiteren Sinne (i.&nbsp;w.&nbsp;S.) und definieren noch einen Semiring/Halbring im engeren Sinne (i.&nbsp;e.&nbsp;S.) als eine Mengensystem <math> \mathcal W </math>,<ref>{{Literatur |Autor=Norbert Kusolitsch |Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie |TitelErg=Eine Einführung |Auflage=2., überarbeitete und erweiterte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2014 |Seiten=13 |ISBN=978-3-642-45386-1 |DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}} </ref>
# das die leere Menge enthält,
# das schnittstabil ist,
# in dem gilt, dass für alle <math> A,B \in \mathcal W </math> mit <math> A \subset B</math> ein <math> n \in \N </math> existiert, sodass paarweise disjunkte <math> C_1, \dotsc, C_n </math> aus <math> \mathcal W </math> existieren, für die
::: <math> B \setminus A = \bigcup_{i=1}^n C_i </math>

:: gilt und zusätzlich
::: <math> A \cup \bigcup_{i=1}^k C_i \in \mathcal W </math>

:: für alle <math> k\in \{1, \dots, n\} </math>.

== Verwandte Mengensysteme ==

=== Mengenringe ===

Jeder [[Ring (Mengensystem)|Mengenring]] ist ein Mengenhalbring, jedoch ist nicht jeder Mengenhalbring ein Mengenring: Über der Grundmenge <math>\Omega=\{0,1,2,3,4\}</math> ist das Mengensystem <math>\mathcal{H}=\{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\}, \{1,2,3\} \}</math> ein Halbring, aber kein Mengenring, da es nicht differenzstabil ist.
Verwendet man einen Halbring <math> \mathcal H </math> als Erzeuger eines Ringes, so hat der [[erzeugter Ring|erzeugte Ring]] die Form
:<math>\mathcal{R}=\left\{\left.\bigcup_{j=1}^n A_j \,\right|\, A_1, \dotsc, A_n \in \mathcal{H}, \quad A_j \text{ paarweise disjunkt}\right\}</math>.

=== Semi-Algebren ===

Per Definition ist jeder Halbring (im engeren Sinn / im weiteren Sinn) genau dann eine [[Semialgebra]] (im engeren Sinn / im weiteren Sinn), wenn er die Obermenge <math> \Omega </math> enthält. Beispiel für einen Halbring, der keine Semialgebra ist, wäre somit der Halbring
:<math>\mathcal{H}=\{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\}, \{1,2,3\} \}</math>

auf der Grundmenge <math>\Omega=\{0,1,2,3,4\}</math>.

=== Weitere Mengensysteme ===

Da jeder Mengenring ein Halbring ist, sind [[Algebra (Mengensystem)|Mengenalgebren]], [[σ-Ring]]e, [[δ-Ring (Mengensystem)|δ-Ringe]] und [[σ-Algebra|σ-Algebren]] immer auch Halbringe, da sie alle auch Ringe sind. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, wie das obige Beispiel zeigt.

== Literatur ==

* {{Literatur |Autor=[[Jürgen Elstrodt]] |Titel=Maß- und Integrationstheorie |Auflage=6., korrigierte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-89727-9 |DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}}
* [[Ernst Henze (Mathematiker)|Ernst Henze]]: ''Einführung in die Maßtheorie.'' 2., überarbeitete Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1985, ISBN 3-411-03102-6.
* ''[http://www.probability.net/WEBcaratheodory.pdf Caratheodory’s Extension.]'' Skript bei: ''probability.net.'' (PDF-Datei; 115 kB).

== Einzelnachweise ==

<references/>

[[Kategorie:Mengensystem]]
[[Kategorie:Maßtheorie]]