Quelltext der Seite Hadamardsche Lückenreihe

'''Hadamardsche Lückenreihe''' ist ein [[Terminus]] aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionentheorie]]. Man versteht darunter eine [[komplexwertig]]e [[Potenzreihe]] mit ''Entwicklungspunkt'' [[Null]], deren [[Koeffizient]]en einer ''Lückenbedingung'' genügen<ref>{{Literatur |Autor=[[Reinhold Remmert]], Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 2 |Reihe=Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik |Auflage=3., neu bearbeitete |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin [u.&nbsp;a.] |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-40432-3 |Seiten=249}}</ref><ref>In englischsprachigen Quellen spricht man auch von ''lacunary series''; vgl. etwa die Arbeit von Kahane, in: ''Bull. Amer. Math. Soc.'', Band 70, S. 199 ff. oder ''[[:en:Lacunary series|Lacunary series]]'' in der englischsprachigen Wikipedia.</ref>

Der Terminus verweist auf den französischen [[Mathematiker]] [[Jacques Hadamard]] (1865–1963), der in einer wichtigen Arbeit aus dem Jahre 1892 die Beziehungen zwischen den [[Isolierte Singularität|Singularitäten]] einer [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] und den Koeffizienten ihrer [[Taylorentwicklung]] untersuchte. Die hier zugrundeliegende allgemeine [[Problem]]stellung ist die Frage nach dem [[Konvergenzradius#Beispiele für unterschiedliches Randverhalten|Randverhalten von Potenzreihen]]. Es geht um die Frage nach den [[Holomorphiegebiet]]en der zu gegebenen Potenzreihen gehörigen [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] und darum, inwieweit der [[Rand (Topologie)|Rand]] des [[Potenzreihe|Konvergenzkreises]] einer Potenzreihe deren ''natürliche Grenze'' darstellt.<ref>{{Literatur |Autor=[[Reinhold Remmert]], Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 2 |Reihe=Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik |Auflage=3., neu bearbeitete |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin [u.&nbsp;a.] |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-40432-3 |Seiten=241 ff.}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Walter Rudin]] |Titel=Reelle und komplexe Analysis |Auflage=2. verbesserte |Verlag=Oldenbourg Wissenschaftsverlag |Ort=München |Datum=2009 |ISBN=978-3-486-59186-6 |Seiten=384 ff.}}</ref><ref>Die Entdeckung ''natürlicher Grenzen'' geht laut Remmert / Schumacher, ''Funktionentheorie 2'', S. 121, 251, auf [[Karl Weierstraß]] und [[Leopold Kronecker]] zurück.</ref>

== Lückenbedingung ==
Eine ''(Hadamardsche) Lückenreihe'' ist eine komplexe Potenzreihe <math>\textstyle P(z) = \sum_{n=0}^\infty {a_n} z^n</math>, die die folgende Eigenschaft erfüllt:

(HL) Es existiert eine [[Streng monoton wachsende Folge|streng monoton wachsende]] [[Zahlenfolge]] <math>(m_n)_{n=0,1,2,\dots} </math> [[Natürliche Zahl|natürlicher Zahlen]] und eine [[reelle Zahl]] <math> \delta > 0 </math> derart, dass gilt:
:: (HL1) Für &nbsp; <math> n=0,1,2,\dots </math> &nbsp; ist stets &nbsp; <math> m_{n+1} - m_n > {\delta} \cdot m_n </math> &nbsp;.
:: (HL2) Für &nbsp; <math> k , n =0,1,2,\dots </math> &nbsp; sind stets &nbsp; <math> a_{m_n} \neq 0 </math> &nbsp; und zugleich &nbsp; <math> a_k = 0 </math> &nbsp;, falls &nbsp; <math> m_n < k < m_{n+1} </math>.

Es gilt also:
: (HL*) <math> P(z) = \sum_{n=0}^\infty a_{m_n} z^{m_n}</math> mit <math>\liminf_{n\rightarrow\infty} { \frac {m_{n+1}}{m_n} } > 1</math>. Setzt man <math>b_n= a_{m_n} \; ( n=0,1,2,\dots )</math>, so hat man eine Darstellung <math>\textstyle P(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n z^{m_n}</math>.

== Lückensatz von Hadamard ==
Der ''Lückensatz von Hadamard'' (im englischsprachigen Raum auch ''Ostrowski-Hadamard Gap Theorem'' genannt<ref>Vgl. [http://mathworld.wolfram.com/Ostrowski-HadamardGapTheorem.html Ostrowski-Hadamard Gap Theorem] bei MATHWORLD. Die englische Namensgebung hängt damit zusammen, dass der ''Hadamardsche Lückensatz'' auf einen Satz von [[Alexander Markowitsch Ostrowski]] zurückgeführt werden kann; s. {{Literatur |Autor=[[Walter Rudin]] |Titel=Reelle und komplexe Analysis |Auflage=2. verbesserte |Verlag=Oldenbourg Wissenschaftsverlag |Ort=München |Datum=2009 |ISBN=978-3-486-59186-6 |Seiten=384 ff.}}</ref>)
macht nun die Aussage, dass mittels ''Hadamardscher Lückenreihen'' gegebene holomorphe Funktionen [[Analytische Fortsetzung|nirgends analytisch fortsetzbar]] sind.

Genauer gesagt gilt:<ref>{{Literatur |Autor=[[Heinrich Behnke]], [[Friedrich Sommer (Mathematiker)|Friedrich Sommer]] |Titel=Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen |BandReihe=77 |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Göttingen / Heidelberg |Datum=1965 |Seiten=183}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Reinhold Remmert]], Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 2 |Reihe=Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik |Auflage=3., neu bearbeitete |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin [u.&nbsp;a.] |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-40432-3 |Seiten=249}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Walter Rudin]] |Titel=Reelle und komplexe Analysis |Auflage=2. verbesserte |Verlag=Oldenbourg Wissenschaftsverlag |Ort=München |Datum=2009 |ISBN=978-3-486-59186-6 |Seiten=385–386}}</ref>

: Ist eine komplexwertige Potenzreihe &nbsp; <math> P(z) </math> &nbsp; mit dem [[Konvergenzradius]] &nbsp; <math> R > 0 </math> &nbsp; eine Hadamardsche Lückenreihe, so ist die zugehörige holomorphe Funktion &nbsp; <math> z \mapsto P(z) </math> &nbsp; ''nirgends'' über die [[Offene Menge|offene]] Konvergenzkreisscheibe &nbsp; <math> B_R = \{ z \colon \, | z | < R \} \subseteq \Complex </math> &nbsp; hinaus [[Analytische Fortsetzung|fortsetzbar]] und der [[Rand (Topologie)|Rand]] &nbsp; <math>\partial {B_R} = \{ z \colon \, | z | = R \}</math> &nbsp; bildet die natürliche Grenze.

== Verwandter Satz: Der Lückensatz von Fabry ==
Einer der schärfsten ''Nichtfortsetzbarkeitssätze'' ist der ''Lückensatz von Fabry'' – so genannt nach dem französischen Mathematiker [[Eugène Fabry]] –, der den ''Hadamardschen Lückensatz'' sogar umfasst und wie folgt lautet:<ref>Der Lückensatz wird in englischsprachigen Quellen oft auch als ''Fabry’s gap theorem'' (oder ähnlich) bezeichnet.</ref><ref>{{Literatur |Autor=Dinghas |Titel=Vorlesungen über Funktionentheorie |Seiten=127 ff}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Reinhold Remmert]], Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 2 |Reihe=Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik |Auflage=3., neu bearbeitete |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin [u.&nbsp;a.] |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-40432-3 |Seiten=253}}</ref>

Erfüllt eine komplexwertige Potenzreihe <math>\textstyle P(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^{m_n}</math> mit dem Konvergenzradius <math> R </math> die Bedingung <math>\textstyle \lim_{n\rightarrow\infty} { \frac {m_n}{n} } = \infty </math>, so ist die zugehörige holomorphe Funktion <math> z \mapsto P(z) </math> ''nirgends'' über die offene Konvergenzkreisscheibe <math> B_R = \{ z \colon \, | z | < R \} \subseteq \Complex </math> hinaus fortsetzbar und der Rand <math>\partial {B_R} = \{ z \colon \, | z | = R \}</math> bildet die natürliche Grenze.

== Zusammenfassung ==
Die Aussage beider Sätze lässt sich zusammenfassen wie folgt:

: Unter den jeweiligen Bedingungen ist der Konvergenzkreis &nbsp; <math> B_R = \{ z \colon \, | z | < R \} \subseteq \Complex </math> &nbsp; das [[Holomorphiegebiet]] der zugehörigen holomorphen Funktion &nbsp; <math> z \mapsto P(z) </math> <ref>Der Fall &nbsp; <math> B_R = \Complex </math> &nbsp; ist jeweils '''nicht''' ausgeschlossen.</ref>

== Zwei Beispiele ==

: (1) <math> P(z) = \sum_{n=0}^\infty z^{2^n}</math>
: (2) <math> P(z) = \sum_{n=0}^\infty z^{n!}</math>

In beiden Fällen ist das ''Holomorphiegebiet'' die [[Einheitskreis]]scheibe.<ref>{{Literatur |Autor=[[Reinhold Remmert]], Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 2 |Reihe=Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik |Auflage=3., neu bearbeitete |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin [u.&nbsp;a.] |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-40432-3 |Seiten=250}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Walter Rudin]] |Titel=Reelle und komplexe Analysis |Auflage=2. verbesserte |Verlag=Oldenbourg Wissenschaftsverlag |Ort=München |Datum=2009 |ISBN=978-3-486-59186-6 |Seiten=384}}</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Heinrich Behnke]], [[Friedrich Sommer (Mathematiker)|Friedrich Sommer]]
   |Titel=Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen
   |BandReihe=77
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin / Göttingen / Heidelberg
   |Datum=1965}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Alexander Dinghas]]
   |Titel=Vorlesungen über Funktionentheorie
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen
   |BandReihe=110
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin / Göttingen / Heidelberg
   |Datum=1961}} [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Dinghas%2C%20Alexander&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=39&mx-pid=179329 MR0179329]
* {{Literatur
   |Autor=[[Jacques Hadamard|J. Hadamard]]
   |Titel=Essai sur l’étude des fonctions données par leur développement de Taylor
   |Sammelwerk=[[Journ. Math. pur. appl.]]
   |Band=8
   |Datum=1892
   |Seiten=101–186}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Jean-Pierre Kahane|J.-P. Kahane]]
   |Titel=Lacunary Taylor and Fourier series
   |Sammelwerk=[[American Mathematical Society|Bull. Amer. Math. Soc]]
   |Band=70
   |Datum=1964
   |Seiten=199–213}} [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kahane%2C%20J.-P.&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=43&mx-pid=162919 MR0162919]
* {{Literatur
   |Autor=[[Reinhold Remmert]], Georg Schumacher
   |Titel=Funktionentheorie 2
   |Reihe=Springer-Lehrbuch – Grundwissen Mathematik
   |Auflage=3., neu bearbeitete
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin [u.&nbsp;a.]
   |Datum=2007
   |ISBN=978-3-540-40432-3}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Walter Rudin]]
   |Titel=Reelle und komplexe Analysis
   |Auflage=2. verbesserte
   |Verlag=Oldenbourg Wissenschaftsverlag
   |Ort=München
   |Datum=2009
   |ISBN=978-3-486-59186-6}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Analytische Funktion]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Hadamard, Luckensatz von]]