Quelltext der Seite Haagsches Theorem

[[Rudolf Haag]] formulierte ein [[Theorem]], das heute allgemein als '''haagsches Theorem''' bekannt ist. Es besagt, dass das [[Wechselwirkungsbild]] einer relativistischen [[Quantenfeldtheorie]] (QFT) inkonsistent ist, d.&nbsp;h., nicht existiert.<ref>R. Haag: ''[https://web.archive.org/web/20200310214302/https://cdsweb.cern.ch/record/212242/files/p1.pdf On quantum field theories] (PDF; 2,9&nbsp;MB)'' In: ''Matematisk-fysiske Meddelelser.'' 29, 12, 1955.</ref>
Haags Beweis von 1955 wurde anschließend mehrfach verallgemeinert, u.&nbsp;a. von Hall und [[Arthur Wightman]], die zu dem Ergebnis gelangten, dass eine eindeutige, universelle [[Hilbertraum]]-Darstellung, die sowohl das freie als auch das wechselwirkende Feld beschreibt, nicht existiert.<ref>{{Literatur |Autor=D. Hall, A. S. Wightman |Titel=A theorem on invariant analytic functions with applications to relativistic quantum field theory |Sammelwerk=Matematisk-fysiske Meddelelser |Band=31 |Nummer=1 |Datum=1957}}</ref>
Reed und Simon zeigten 1975, dass ein analoges Theorem auch für neutrale, wechselwirkungsfreie Skalarfelder unterschiedlicher Massen existiert, woraus folgt, dass das Wechselwirkungsbild nicht einmal im Grenzfall einer vernachlässigbaren Wechselwirkung konsistent ist.<ref>M. Reed, B. Simon: ''Methods of modern mathematical physics. Vol. II: Fourier analysis, self-adjointness''. Academic Press, New York 1975.</ref>

== Mathematische Formulierung des haagschen Theorems ==
In einer modernen Variante lässt sich das haagsche Theorem wie folgt formulieren:
<ref>John Earman, Doreen Fraser: ''Haag's Theorem and Its Implications for the Foundations of Quantum Field Theory''. In: ''Erkenntnis''. 64, 305, 2006 ([https://philsci-archive.pitt.edu/archive/00002673/ online at philsci-archive]).</ref>

Gegeben seien zwei Darstellungen der [[Kanonische Vertauschungsrelation|kanonischen Vertauschungsrelation]] (KVR), <math>(H_1,\{O^i_1\})</math>, sowie <math>(H_2,\{O^i_2\})</math> (wobei <math>H_n</math> für den jeweils gültigen Hilbertraum und <math>\{O^i_n\}</math> für die jeweils vollständigen Sätze der Operatoren in den KVR stehen). Beide Darstellungen heißen genau dann unitär äquivalent, wenn es eine [[Unitärer Operator|unitäre Abbildung]] <math>U</math> zwischen Hilbertraum <math>H_1</math> und <math>H_2</math> gibt, bei der zu jedem Operator <math>O^j_1 \in \{O^i_1\}</math> ein Operator <math>O^j_2 = U O^j_1 U^{-1} \in \{O^i_2\}</math> existiert. Die Eigenschaft der unitären Äquivalenz ist eine notwendige Bedingung dafür, dass die Erwartungswerte der [[Observable]]n, d.&nbsp;h. die Vorhersagen physikalischer Messungen, in beiden Darstellungen identisch ausfallen. Das haagsche Theorem besagt, dass – anders als im Falle der herkömmlichen, nicht-relativistischen [[Quantenmechanik]] – eine solche unitäre Äquivalenz im Rahmen der QFT nicht vorliegt. Der Anwender der QFT ist daher mit dem sogenannten [[Auswahlproblem]] (engl.: {{lang|en|''choice-problem''}}) konfrontiert, d.&nbsp;h. mit dem Problem, aus einer nicht-abzählbaren Menge nicht-äquivalenter Darstellungen die richtige (also: physikalisch sinnvolle) Darstellung zu finden. Bis heute gehört das Auswahlproblem zu den ungelösten Problemen in der QFT.

== Physikalische (anschauliche) Betrachtungsweise ==

Wie bereits von Haag in seiner Originalarbeit erwähnt, bildet das Phänomen der [[Vakuumpolarisation]] das Kernproblem, auf dem das haagsche Theorem aufbaut. Jedes wechselwirkende Quantenfeld (dazu gehören auch die nicht-wechselwirkenden Felder unterschiedlicher Massen) polarisiert das Vakuum derart, dass es in einem renormierten Hilbertraum <math>H_\mathrm{R}</math> liegt, der sich von dem freien Hilbertraum <math>H_\mathrm{F}</math> unterscheidet. Selbstverständlich ist es immer möglich, eine [[Isomorphismus|isomorphe Abbildung]] zu definieren, die zwischen den Zuständen in beiden Hilberträumen vermittelt. Jedoch besagt das haagsche Theorem, dass im Rahmen einer solchen Abbildung die KVR nicht die Eigenschaft der unitären Äquivalenz besitzen, physikalische Messergebnisse folglich nicht eindeutig ausfallen.

== Fälle, die nicht vom haagschen Theorem betroffen sind ==

Zu den Grundannahmen, die zum haagschen Theorem führen, gehört die [[Translationsinvarianz]] des Systems. Solche Systeme, die sich auf einem Gitter mit periodischen Randbedingungen ('Box-QFT') formulieren lassen, sowie Systeme, die aufgrund externer Potentiale lokalisiert werden können, sind von dem haagschen Theorem nicht betroffen.<ref>Reed, Simon, ''Scattering theory'', Academic Press 1979</ref> Haag<ref>{{cite journal |last=Haag |first=R. |title=Quantum field theories with composite particles and asymptotic conditions |journal=[[Physical Review|Phys. Rev.]] |volume=112 |issue=2 |pages=669–673 |year=1958 |doi=10.1103/PhysRev.112.669 |bibcode = 1958PhRv..112..669H |language=en }}</ref> und [[David Ruelle]]<ref>{{cite journal |last=Ruelle |first=D. |title=On the asymptotic condition in quantum field theory |journal=Helvetica Physica Acta |volume=35 |issue= |pages=147–163 |year=1962 |language=en }}</ref> haben einen Formalismus der [[Streutheorie]] vorgestellt, der auf asymptotisch freien Zuständen basiert, als [[Haag-Ruelle-Streutheorie]] bekannt ist und als Grundlage für die weit verbreitete [[LSZ-Reduktionsformel]] dient.<ref>Klaus Fredenhagen, ''Quantum field theory'', Lecture Notes, Universität Hamburg 2009</ref> Letztere Methoden sind allerdings nicht anwendbar auf massenlose Teilchen und liefern auch im Falle gebundener Zustände noch keine zufriedenstellenden Lösungen.

== Mangelnde Akzeptanz unter den Anwendern der QFT ==

Obwohl das haagsche Theorem die mathematische Konsistenz der wechselwirkenden QFT infrage stellt, wird es von Physikern, die die QFT praktizieren, weitgehend ignoriert.<ref>{{cite book |last=Teller |first=Paul | year=1997| title = An interpretive introduction to quantum field theory | publisher = Princeton University Press |language=en}}</ref> Diese auf den ersten Blick überraschende Tatsache hängt mit den beeindruckenden Erfolgen der QFT bei der Vorhersage und Verifizierung experimenteller Messwerte zusammen, die eine grundsätzliche Neuformulierung des Wechselwirkungsbildes überflüssig erscheinen lassen. Dennoch ist aufgrund der unsicheren axiomatischen Basis unklar, warum beziehungsweise unter welchen Bedingungen die QFT mit Wechselwirkung zu einer akkuraten physikalischen Beschreibung der Realität führt.

== Zum Weiterlesen ==
* {{cite book |first=Doreen |last=Fraser |year=2006 |title=Haag’s Theorem and the Interpretation of Quantum Field Theories with Interactions |others=Ph.D. thesis |publisher=U. of Pittsburgh |url=http://d-scholarship.pitt.edu/8260/ |language=en }}
* {{cite book |last=Arageorgis |first=A. |year=1995 |title=Fields, Particles, and Curvature: Foundations and Philosophical Aspects of Quantum Field Theory in Curved Spacetime |others=Ph.D. thesis |publisher=Univ. of Pittsburgh |language=en }}
* {{cite journal |last=Bain| first=J.| title=Against Particle/field duality: Asymptotic particle states and interpolating fields in interacting QFT (or: Who's afraid of Haag's theorem?) | journal= Erkenntnis | volume=53 | pages=375–406| year=2000 |language=en}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:haagsches Theorem}}
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]