Quelltext der Seite Gleichgradige Stetigkeit

Die '''gleichgradige Stetigkeit''' ist ein Begriff aus der [[Analysis]] und erweitert den Begriff der [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] einer Funktion auf spezielle Weise auf [[Funktionenschar]]en.

== Definition ==
Seien <math>(X,d_X)</math> und <math>(Y,d_Y)</math> [[Metrischer Raum|metrische Räume]] sowie <math>F</math> eine Teilmenge der Menge von Funktionen, die <math>X</math> auf <math>Y</math> abbilden. Die Funktionenfamilie <math>F</math> heißt '''gleichgradig stetig''' im Punkt <math>x\in X</math>, wenn gilt:<ref>[[Johann Cigler]], [[Hans-Christian Reichel]]: ''Topologie. Eine Grundvorlesung.'' Bibliographisches Institut Mannheim (1978), ISBN 3-411-00121-6, Absatz 5.8.</ref>
:<math>
\forall \varepsilon>0:\quad \exists \delta>0:\quad \forall f\in F:\quad\forall x'\in X:\quad
d_X(x,x') \le \delta\ \Rightarrow\ d_Y\left(f(x), f(x')\right) \le \varepsilon.
</math>

Die Familie <math>F</math> heißt gleichgradig stetig, wenn sie in jedem Punkt <math>x \in X</math> gleichgradig stetig ist.

Viele Autoren benutzen den Begriff gleichgradige Stetigkeit synonym zu [[Gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit|gleichmäßig gleichgradiger Stetigkeit]].

Jede Funktion in einer gleichgradig stetigen Familie von Funktionen ist insbesondere stetig.

Im Falle, dass die Funktionenfamilie <math>F</math> nur stetig wäre, könnte <math>\delta</math> für jede Funktion der Familie einen anderen Wert haben. ''„Stetigkeit gleichen Grades“'' heißt also, dass die Schwankung der Funktionswerte durch dieselbe Zahl beschränkt ist.

Dieser Begriff findet sowohl in der [[Funktionalanalysis]] über den [[Satz von Arzelà-Ascoli]] als [[Kompakter Raum|Kompaktheitskriterium]] Anwendung<ref>R. Meise, D. Vogt: ''Einführung in die Funktionalanalysis.'' Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8, Satz 4.12.</ref> als auch in der [[Funktionentheorie]], denn jede auf einem Bereich lokal beschränkte Familie [[Holomorphie|holomorpher Funktionen]] ist dort lokal gleichgradig stetig,<ref>Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: ''Funktionentheorie.'' Friedr. Vieweg & Sohn, 1980, ISBN 3-528-07247-4, Satz IX, 6.3.</ref> das heißt, jeder Punkt hat eine Umgebung, auf der die Familie gleichgradig stetig ist.

== Siehe auch ==
*[[Gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]