Quelltext der Seite Gesetz von Hagen-Poiseuille

Das '''Gesetz von Hagen-Poiseuille''' [{{IPA|poaː'zœj}}]<ref name="aussprache">[https://de.forvo.com/word/poiseuille/ Aussprache von Poiseuille: Wie man Poiseuille auf Französisch ausspricht]</ref> (nach [[Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen]], 1797–1884 und [[Jean Léonard Marie Poiseuille]], 1797–1869) beschreibt den Zusammenhang zwischen dem [[Volumenstrom]], <math>\dot V = \mathrm d V / \mathrm d t </math>, eines [[Homogenität|homogenen]] [[Newtonsches Fluid|Newton’schen Fluids]] der [[Viskosität|dynamischen Viskosität]], <math>\eta</math>, durch ein [[Zylinder (Geometrie)#Kreiszylinder|kreiszylindrisches]] Rohr mit dem [[Radius]] <math>r</math> und der [[Länge (Physik)|Länge]] <math>l</math> und dem Druck am Eingang <math>p_\text{Eingang}</math> und dem Druck am Ausgang <math>p_\text{Ausgang}</math> bei einer [[Laminare Strömung|laminaren stationären Strömung]].

Für Gase wie Flüssigkeiten gilt für einen sehr kurzen Rohrabschnitt innerhalb eines längeren Rohres die folgende Beziehung zwischen Volumenstrom <math>\dot V </math> und [[Gradient]]en des Druckes <math> \mathrm d p / \mathrm d x</math> :
: <math>\dot V = -\frac{\pi \cdot r^4}{8 \cdot \eta}\frac{\mathrm d p}{\mathrm d x} \qquad (1)</math>
für Rohre einer merklichen Länge <math>l \gg r </math> gilt

* für inkompressible Flüssigkeiten:
: <math>\dot V= \frac{\pi \cdot r^4}{8 \cdot \eta \cdot l}\cdot \left(p_\text{Eingang}-p_\text{Ausgang} \right) \qquad (2)</math>

* für Gase bei Temperaturen und Volumen weit oberhalb der [[Kritischer Punkt (Thermodynamik)#Kritische Temperatur und Druckverflüssigung|kritischen Temperatur]] und des [[Kritischer Punkt (Thermodynamik)#Kritischer Druck|kritischen Druckes]]:
:<math>p \dot V = \frac{\pi \cdot r^4 }{16 \cdot \eta \cdot l}\left(p_\text{Eingang}^2 - p_\text{Ausgang}^2 \right) \qquad (3)</math>

Bemerkenswert ist die Abhängigkeit des Volumendurchflusses von der vierten Potenz des Radius des Rohres. Dadurch hängt der Strömungswiderstand sehr stark vom Radius des Rohres ab. Eine Verringerung eines Rohr- oder Schlauchdurchmessers auf die Hälfte (Halbzollrohr oder -schlauch statt Einzoll, siehe dazu [[Zoll (Einheit)]] und [[Whitworth-Gewinde]]) vergrößert somit den Strömungswiderstand auf das 16fache, eine Erweiterung des Rohr- oder Schlauchdurchmessers auf das Dreifache (eineinhalb Zoll statt Halbzoll) verbessert den Volumendurchfluss um das 81fache.

Das Gesetz gilt nur
* für den stationären Zustand, in dem an jeder Stelle im Rohr die Strömungsgeschwindigkeit keine zeitliche Änderung erfährt.
* solange der Radius des Rohres groß ist im Vergleich zur [[Fluiddynamische Grenzschicht|fluiddynamischen Grenzschicht]].
* bei Gasen solange der Rohrdurchmesser groß ist im Vergleich zur [[Mittlere freie Weglänge|freien Weglänge, <math> \lambda </math>]], der Gasmoleküle. Ist <math>2r \leq \lambda </math> lässt sich der Transport der Gasmoleküle durch das Rohr über die Gesetzmäßigkeiten der [[Knudsenströmung]] bzw. [[Knudsen-Diffusion]] beschreiben
* für [[Laminare Strömung|laminare Strömungen]].
** Bei größerem Volumenfluss und größeren Abmessungen kommt es zu turbulenten Strömungen mit wesentlich höherem Strömungswiderstand als nach Hagen-Poiseuille zu erwarten wäre. Den Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung lässt sich aus der mittleren Strömungsgeschwindigkeit <math>v_m = \dot V / \left( \pi r^2 \right) </math>über die [[Reynoldszahl]], <math>Re = \rho v_m r / \eta = \rho / \left( \pi r \eta \right) \cdot \dot V = \rho r^3 / \left( 8 \eta^2 \right) \cdot \mathrm d p / \mathrm d x</math> abschätzen. Die konkreten Verhältnisse turbulenter Strömungen werden u.&nbsp;a. mit den Formeln von [[Heinrich Blasius|Blasius]], [[Johann Nikuradse|Nikuradse]] bzw. [[Ludwig Prandtl|Prandtl]]-[[Cyril Frank Colebrook|Colebrook]] beschrieben.
** Durchströmt ein Fluid ein Rohr, das mit Fasern oder porösem Material gefüllt ist, befinden sich in einer strömenden Flüssigkeit Vesikel, biologische Zellen, Partikel, Tropfen oder Gasblasen mit einem Durchmesser vergleichbar dem Rohrdurchmesser (z.&nbsp;B. [[Blut]] s.&nbsp;u., [[Mikrofluidsegmenttechnik]]) oder zeigt das Fluid starke [[Strukturviskosität|Scherverdünnung]] so bildet sich häufig [[Pfropfenströmung]] aus, d.&nbsp;h. die Strömungsgeschwindigkeit ist fast überall im Rohrquerschnitt gleich hoch.
* bei vollständig ausgebildetem hydrodynamischen Strömungsprofil (parabolisches Geschwindigkeitsprofil). Strömt bspw. Flüssigkeit aus einem Tank über ein Rohr aus, dann muss das Rohr hinreichend lang sein, damit das Gesetz von Hagen-Poiseuille gültig ist. Im Eingang und Ausgang des Rohres muss das parabolische Strömungsprofil unter zusätzlichem Druckverlust erst ausgebildet, bzw. abgebaut werden.<ref>{{Internetquelle |autor=tec-science |url=https://www.tec-science.com/de/mechanik/gase-und-fluessigkeiten/energetische-betrachtung-des-hagen-poiseuille-gesetz/ |titel=Energetische Betrachtung des Hagen-Poiseuille-Gesetzes |werk=tec-science |datum=2020-04-02 |sprache=de-DE |abruf=2020-05-07}}</ref> Diesen Bereich der Strömung kann man mit dem [[Sampson flow|Sampson-Roscoe-Gesetz]] beschreiben. In guter Näherung kann man den Druckverlust nach Sampson-Roscoe zum Druckverlust nach Hagen-Poiseuille addieren.<br /> Bei [[Viskosimeter#Kapillarviskosimeter|Ostwald- oder Ubbelohdeviskosimetern]] berücksichtigt man die beiden letztgenannten Effekte durch die sogenannte Hagenbach-Couette-Korrektur

== Anwendung ==
Hagen-Poiseuille ermöglicht, im Datensatz Rohrdimensionen/Druckdifferenz/Viskosität/Volumenfluss jeweils eine der unbekannten Größen aus den anderen zu berechnen. Die Gleichung wird eingesetzt
* um technische Anlagen auszulegen,
* zur Bestimmung von Volumenströmen mittels eines [[Durchflusssensor#Arten von Durchflusssensoren|Laminardurchflussmessers]],
* zur Bestimmung von Viskositäten mittels [[Viskosimeter#Kapillarviskosimeter|Ostwald- oder Ubbelohdeviskosimetern]].
{{Belege fehlen}}
* Das Gesetz von Hagen-Poiseuille bildet auch die Grundlage von Modellgleichungen zur Beschreibung der Durchströmung von [[Schüttgut|Schüttgütern]].

== Herleitung ==
{| class="wikitable" style="margin-left:2em"
|-
! Variable !! Bedeutung !! SI-Einheit
|-
| <math>\dot V</math> || Volumenstrom durch das Rohr || m<sup>3</sup>·s<sup>−1</sup>
|-
| <math>x</math> || Ortskoordinate parallel zur Rohrachse || m
|-
| <math>r</math> || Innenradius des Rohres || m
|-
| <math>s </math> , <math>S </math>|| Abstand zur Achse des Rohres || m
|-
| <math>l</math> || Länge des Rohres || m
|-
| <math>\eta</math> || dynamische Viskosität des Fluids || Pa·s
|-
| <math>p</math> || Druck || Pa
|-
| <math>\mathrm dp / \mathrm d x </math> || Druckgradient entlang der Rohrachse || Pa m<sup>−1</sup>
|}
[[Datei:HagenPoiseuille Wikipedia Herleitung I.png|mini]]

Wir betrachten einen starren inkompressiblen sehr kurzen Kreiszylinder mit Länge <math>\mathrm d x</math> und Radius <math>s</math>, einer Grundfläche von <math> A_G=\pi \cdot s^2</math> und einer Mantelfläche von <math> A_M = 2 \pi \cdot s\cdot \mathrm d x </math>. Die Ortskoordinate unseres Bezugssystems, <math>x</math> verläuft entlang der Zylinderachse. Der Zylinder ist von einer Hülse umgeben. Zwischen der Hülse und dem Zylinder ist ein gleichmäßig breiter Spalt der Breite <math> \mathrm ds </math>. <math> \mathrm ds </math> hat positives Vorzeichen, wenn wir von innen nach außen gehen. <math> \mathrm ds </math> ist so klein, dass wir den Unterschied zwischen der Fläche der Hülse und der Mantelfläche des Zylinders vernachlässigen können. Der Spalt ist gefüllt mit einem [[Newtonsches Fluid|Newtonschen Fluid]] der dynamischen [[Viskosität]] <math> \eta </math>. Auf die Grundfläche des Zylinders wirkt eine Druckdifferenz, <math> \mathrm d p </math>, und somit eine Kraft in Richtung Ortskoordinate von:
: <math> F \left( s \right) =- \mathrm d p \cdot A_G </math>
Wobei wir das Vorzeichen so wählen, dass der Druck in Richtung unserer Ortskoordinate abfällt, der [[Gradient]] des Druckes, <math> \mathrm d p / \mathrm d x </math>, somit negatives Vorzeichen hat.

Diese Kraft bewirkt, dass der Zylinder sich relativ zur Hülse mit der Geschwindigkeit <math>\mathrm d v \left( s \right)</math> in Richtung unserer Ortskoordinate <math>x</math> bewegt:
: <math> \mathrm d v \left( s \right) = 
 \frac{F \left( s \right)}{\eta \cdot A_M} \cdot \left(- \mathrm d s \right) =
 \frac{\mathrm d p \cdot A_G }{\eta \cdot A_M} \cdot \mathrm d s = 
 \frac{\mathrm d p \cdot \pi \cdot s^2}{\eta \cdot 2 \pi \cdot \mathrm d x \cdot s} \cdot \mathrm d s = 
 \frac{1}{2 \eta}\frac{\mathrm d p }{\mathrm d x} \cdot s \mathrm d s </math>
[[Datei:HagenPoiseuille Wikipedia Herleitung II.png|mini]]
Nun betrachten wir einen kurzen Kreiszylinder mit Radius <math>r</math> und Länge <math>\mathrm d x</math>, der vollständig mit einem Newtonschen Fluid gefüllt ist. Diesen Zylinder zerlegen wir in sehr viele [[Konzentrizität|konzentrische]] [[Zylinder (Geometrie)#Hohlzylinder|Hohlzylinder]] der Wanddicke <math> \mathrm d s </math>. Wir nehmen an, dass sich die Flüssigkeit so durch das Rohr bewegt, dass diese konzentrischen Hohlzylinder aneinander vorbeigleiten. Wir gehen weiter davon aus, dass wir uns in einem stationären Zustand befinden, also an jedem Ort Dichte und Geschwindigkeit der Flüssigkeit zeitlich konstant bleibt. Dieses Strömungsverhalten nennt man auch '[[laminare Strömung]]' bzw. [[Schleichende Strömung|Stokes-Strömung]].

In diesem Bild verhält sich ein jeder Hohlzylinder sowohl wie der Spalt als auch wie der innen liegende Zylinder im vorherigen Beispiel - d.&nbsp;h. er wird zwischen den beiden angrenzenden Hohlzylindern geschert und bewegt sich um <math> \mathrm d v </math> schneller in Richtung <math>x</math> als der um <math> \mathrm d s </math> weiter außen liegende.

Hierbei wirkt auf einen jeden Hohlzylinder als Scherkraft die Summe aller Kräfte, die auf die weiter innen liegenden Hohlzylinder wirken. Im vorherigen Beispiel wurde die Kraft durch die mechanische Spannung im starren Zylinder auf den Spalt übertragen, in diesem Fall hier durch die Scherkräfte in jedem der innenliegenden Hohlzylindes. Letztendlich wirkt auf den Spalt die gleiche Kraft wie im vorherigen Beispiel.

Wir gehen davon aus, dass der am weitesten außen liegende Hohlzylinder 'an der Wand haftet', also die Geschwindigkeit <math>v(r)=0</math> hat. Die Geschwindigkeit eines Hohlzylinders mit Radius <math>S</math> erhalten wir durch Integration.
: <math> v \left( S \right) = \int_{s=r}^{S} {\mathrm d v \left( s \right)}\, = \frac{1}{2 \eta}\frac{\mathrm d p }{\mathrm d x} \int_{s=r}^{S} {s}\, \mathrm d s = \frac{1}{4 \eta}\frac{\mathrm d p }{\mathrm d x} \cdot \left( S^2 - r^2 \right)</math>
Die Strömungsgeschwindigkeit als Funktion des Abstandes von der Achse des Rohres wird somit durch eine Parabel beschrieben. Deshalb nennt man diese Strömungsverhältnisse auch oft parabolisches Geschwindigkeitsprofil.

Ein jeder dieser Hohlzylinder trägt einen kleinen Beitrag <math> \mathrm d \dot V \left( S \right)</math> zum Gesamtvolumenfluss <math> \dot V </math> bei, dieser ist proportional zur Grundfläche dieses Hohlzylinders, <math> A_H = 2 \pi \cdot S\cdot \mathrm d S </math> multipliziert mit seiner Geschwindigkeit, <math>v \left( S \right) </math>:
: <math> \mathrm d \dot V \left( S \right) = v \left( S \right) 2 \pi S \mathrm d S = \frac{\pi}{2 \eta}\frac{\mathrm d p }{\mathrm d x} \cdot \left(S^3 - S r^2 \right) \mathrm d S </math>

Den Gesamtvolumenfluss erhalten wir durch Integrieren dieser Gleichung:
: <math> \dot V = \frac{\pi}{2 \eta}\frac{\mathrm d p }{\mathrm d x} \cdot
\int_{S=0}^{r} {\left(S^3 - S r^2 \right)}\, \mathrm d S = \frac{\pi}{2 \eta}\frac{\mathrm d p }{\mathrm d x} \cdot
\left(\frac{r^4}{4} - \frac{r^4}{2} \right) = -\frac{\pi \cdot r^4}{8 \cdot \eta}\frac{\mathrm d p}{\mathrm d x}</math>
[[Datei:Hagen Poisseuille Flow.jpg|alt=|mini|Laminares Strömungsprofil]]
Dies ist identisch zu Gleichung (1).

'''Strömung inkompressibler Flüssigkeiten durch ein Rohr'''

Bei einer inkompressiblen Flüssigkeit, die druckgetrieben durch ein Rohr strömt, bleibt die Dichte und somit der Volumenfluss über die gesamte Länge des Rohres konstant. Wir können somit Gleichung (1) über die gesamte Länge integrieren und erhalten:
:<math> \dot V = -\frac{\pi \cdot r^4}{8 \cdot \eta } \cdot \frac{\int_{p_\text{Eingang}}^{p_\text{Ausgang}} \, \mathrm d p}{\int_{x=0}^l \,\mathrm d x} = 
\frac{\pi \cdot r^4}{8 \cdot \eta} \cdot \frac{p_\text{Eingang}-p_\text{Ausgang}}{l}</math>
Dies ist identisch zu Gleichung (2).

'''Strömung von Gasen durch ein Rohr'''

Ein Gas, das druckgetrieben durch ein Rohr strömt, dehnt sich mit fallendem Druck entlang des Rohres aus. Somit ist zwar der Massenfluss entlang des Rohres konstant, nicht jedoch der Volumenfluss. Wir nehmen vereinfachend an, dass sich beim Durchfluss des Gases durch das Rohr seine Temperatur nicht ändert. Für die meisten Gase weit genug oberhalb der kritischen Temperatur ist bei [[Isotherme Zustandsänderung|isothermer Expansion]] das Produkt aus Druck und Volumen konstant. Somit können wir beide Seiten von Gleichung (1) mit dem Druck multiplizieren und erhalten somit auf der linken Seite der Gleichung erneut einen ortsunabhängigen Term:

: <math>p \dot V = -\frac{\pi \cdot r^4}{8 \cdot \eta } \cdot \frac{p \mathrm d p}{\mathrm d x}</math>

Weiterhin nehmen wir vereinfachend an, dass die
[[Viskosität#Viskosität von Gasen|Viskosität des Gases]] unabhängig von Druck und Dichte ist, so dass wir diese Gleichung integrieren können, ohne die Viskosität mit in das Integral zu nehmen:
: <math>p \dot V = 
-\frac{\pi \cdot r^4}{8  \cdot \eta} \cdot \frac{\int_{p_\text{Eingang}}^{p_\text{Ausgang}} {p}\, \mathrm d p }{\int_{x=0}^{l} \,\mathrm d x} = 
-\frac{\pi \cdot r^4}{8  \cdot \eta} \cdot \frac{\frac{{p_\text{Ausgang}}^2}{2}-\frac{{p_\text{Eingang}}^2}{2} }{l-0}
=\frac{\pi \cdot r^4}{16 \cdot \eta} \frac{{p_\text{Eingang}}^2-{p_\text{Ausgang}}^2}{l}
</math>
Dies ist identisch zu Gleichung (3).

Nehmen wir an, dass man die Beziehung zwischen Druck und Dichte über das [[Thermische Zustandsgleichung idealer Gase#Die thermische Zustandsgleichung|ideale Gasgesetz]] <math>\left( pV = Nk_\mathrm{B}T \right)</math> beschreiben kann, ergibt sich hieraus für den Teilchenfluss bzw. den Stoffmengenfluss durch das Rohr:
:<math> \frac{\mathrm d N}{\mathrm d t} = \frac{\pi \cdot r^4 }{16 \cdot \eta \cdot k_\mathrm{B} T \cdot l}\left({p_\text{Eingang}}^2-{p_\text{Ausgang}}^2 \right)</math>
:<math> \frac{\mathrm d n}{\mathrm d t} = \frac{\pi \cdot r^4 }{16 \cdot \eta \cdot R \cdot      T \cdot l}\left({p_\text{Eingang}}^2-{p_\text{Ausgang}}^2 \right)</math>

== Nicht kreisförmige Kanalquerschnitte ==
=== Rechteck-Kanal ===
Für einen schmalen Rechteck-Kanal der Breite <math>b</math> und Höhe <math>b \gg h</math> ergeben ähnliche Überlegungen wie oben:
: <math> \dot V = -\frac{h^3 b}{12\eta }\cdot \frac {\mathrm d p}{\mathrm d x}</math>
wenn <math>b</math> nicht <math>\gg h</math> ist, gilt näherungsweise:
: <math> \dot V = -K \cdot \frac{h^3 b}{12\eta }\cdot \frac {\mathrm d p}{\mathrm d x}</math>
mit: <math>K = 1-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^5}\cdot\frac{192}{\pi^5}\cdot\frac{h}{b}\tanh\left((2n-1)\frac{\pi}{2}\frac{b}{h}\right)</math>

Die Abweichung vom exakten Wert bei Berechnung von <math>K</math> in erster Näherung (<math>n=1</math>) beträgt maximal 0,67 %, in zweiter Näherung 0,06 %, in dritter Näherung 0,01 %. Einige Beispielwerte, berechnet in dritter Näherung:
{| class="wikitable" style="margin-left:2em"
|-
! <math>\frac{h}{b}</math>
! 0
! 1/10
! 1/5
! 1/4
! 1/3
! 1/2
! 2/3
! 3/4
! 1
|-
|class=""| <math>K</math> || 1 || 0,9370 || 0,8740 || 0,8425 || 0,7900 || 0,6861 || 0,5873 || 0,5414 || 0,4218
|}

=== Elliptischer Querschnitt ===
Für elliptische Querschnitte ergibt sich:

: <math> \dot V = -\frac{\pi}{4\eta} \cdot \frac{a^3 \cdot b^3}{a^2 + b^2} \cdot \frac {\mathrm d p}{\mathrm d x}\,,</math>

wobei <math>a</math> und <math>b</math> die beiden [[Halbachsen der Ellipse]] repräsentieren.
Für <math>a=b=r</math> (= kreisförmiger Querschnitt) ergibt dies erwartungsgemäß wieder Gleichung (1).

Formeln für weitere Querschnittsformen findet man in Lehrbüchern zur Fluidik<ref>Henrik Bruus: ''Theoretical Microfluidics''. Oxford University Press, 2008</ref>.

== Eingeschränkte Gültigkeit im Blut ==
Die [[Rheologie]] des Blutes wird als [[Rheologie#Medizin|Hämorheologie]] ({{enS|hemorheology}}) bezeichnet.

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille bezieht sich auf [[Newtonsches Fluid|Newtonsche Fluide]]. [[Blutplasma]] kann man noch als newtonisch ansehen, doch [[Blut]] als ganzes ist eine inhomogene [[Suspension (Chemie)|Suspension]] aus verschiedenen [[Zelle (Biologie)|Zellen]] im Blutplasma und zeigt eine Viskosität, die von der Schergeschwindigkeit und dem Durchmesser des durchflossenen Blutgefäßes abhängt.<ref>{{Literatur |Autor=J. A. Sirs |Titel=The flow of human blood through capillary tubes |Sammelwerk=The Journal of Physiology |Band=442 |Datum=1991-10 |ISSN=0022-3751 |DOI=10.1113/jphysiol.1991.sp018809 |PMC=1179905 |PMID=1798043 |Seiten=569–583 |Online=https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/1798043 |Abruf=2025-03-29}}</ref>  Weiterhin beeinflussen auch die Deformierbarkeit und Wechselwirkungen der [[Erythrozyten]] die Viskosität. Diese können in dünnen Gefäßen zu [[Pfropfenströmung]] führen und darüber hinaus eine „geldrollenartige“ dichter gepackte Anordnung bilden, die auf ihre Art den Durchfluss beeinflusst.

Davon unabhängig ist in der [[Aorta]] und anderen herznahen Gefäßen mit großem Querschnitt die Strömung des Blutes eher [[Turbulente Strömung|turbulent]] als laminar.

== Literatur ==
* Wolfgang Beitz; Karl-Heinrich Grote (Hrsg.): ''Dubbel. Taschenbuch für den Maschinenbau.'' 20. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 2001, ISBN 3-540-67777-1
* James P. Hartnett; Milivoje Kostic: ''Heat Transfer to Newtonian and Non-Newtonian Fluids in Rectangular Ducts.'' In: ''Advances in Heat Transfer'', Volume 19, 1989
* Rainer Klinke (Hrsg.): ''Physiologie. Zahlreiche Tabellen.'' 5. Auflage. Georg Thieme Verlag, Stuttgart / New York 2005, ISBN 3-13-796005-3

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Strömungsmechanik]]