Quelltext der Seite Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten

Die Idee der '''Geometrisierung''' als Begriff der [[Mathematik]] wurde 1980 von [[William Thurston]] als ein Programm zur Klassifizierung [[Geschlossene Mannigfaltigkeit|geschlossener]] dreidimensionaler [[Mannigfaltigkeit]]en vorgestellt. Das Ziel der Geometrisierung ist, nach der Zerlegung einer 3-Mannigfaltigkeit in Grundbausteine auf jedem dieser Bausteine eine charakteristische geometrische Struktur zu finden.
Die von Thurston aufgestellte und inzwischen bestätigte Vermutung, dass dies immer möglich ist, stellt eine Verallgemeinerung der [[Poincaré-Vermutung]] dar. Der Beweis wurde von [[Grigori Jakowlewitsch Perelman|Grigori Perelman]] mit seinen Arbeiten zum [[Ricci-Fluss]] 2002 erbracht.

== Dreidimensionale Mannigfaltigkeiten ==

Eine dreidimensionale [[Mannigfaltigkeit]] (oder kurz 3-Mannigfaltigkeit) ist ein [[topologischer Raum]], der sich ''lokal'' durch dreidimensionale „Karten“ beschreiben lässt, also auf kleinen Bereichen so aussieht wie der gewöhnliche dreidimensionale [[Euklidischer Raum|euklidische Raum]]. Eine ganze 3-Mannigfaltigkeit lässt sich dagegen im Allgemeinen nicht als Teilmenge des dreidimensionalen Raumes vorstellen. Dies wird durch Betrachtung von zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten anschaulich: Eine zweidimensionale [[Topologische Sphäre|Sphäre]] (also z.&nbsp;B. die Erdoberfläche) lässt sich lokal durch zweidimensionale Karten beschreiben (jeder [[Atlas (Kartografie)|gewöhnliche Atlas]] ist eine solche Ansammlung von Karten). Dennoch kann man die ganze 2-Sphäre nicht auf einmal in einer zweidimensionalen euklidischen Ebene darstellen. Analog zum zweidimensionalen Beispiel legen die ''Kartenwechsel'' (jetzt zwischen den dreidimensionalen Karten) die Struktur der 3-Mannigfaltigkeit fest.

Hier zeigt sich eine besondere Eigenschaft von 3-Mannigfaltigkeiten:
Während es in noch höheren Dimensionen darauf ankommt, was für Kartenwechsel man zulässt (sollen sie nur [[stetig]] sein, oder [[differenzierbar]], unendlich oft differenzierbar etc.), spielt diese Unterscheidung bis zur Dimension 3 keine Rolle. Mathematisch präzisiert heißt dies, dass es auf jeder [[Mannigfaltigkeit#Topologische Mannigfaltigkeiten|topologischen 3-Mannigfaltigkeit]] genau eine [[Mannigfaltigkeit#Differenzierbare Mannigfaltigkeiten|differenzierbare Struktur]] gibt.
Dies hat zur Folge, dass sich bei der Untersuchung von 3-Mannigfaltigkeiten topologische Methoden und [[Differentialgeometrie|differentialgeometrische]] Methoden kombinieren lassen. Das Teilgebiet der Mathematik, das sich hiermit beschäftigt, nennt man daher auch ''dreidimensionale Geometrie und Topologie''.

Ziel der dreidimensionalen Geometrie und Topologie ist es, alle möglichen ''[[Geschlossene Mannigfaltigkeit|geschlossenen]]'' (d.&nbsp;h. [[Kompakter Raum|kompakten]] und [[Mannigfaltigkeit mit Rand|randlosen]]) {{nowrap|3-Mannigfaltigkeiten}} zu verstehen und zu klassifizieren. Dies ist ein sehr schwieriges Problem, da es –&nbsp;im Gegensatz etwa zu 2-Mannigfaltigkeiten&nbsp;– eine unüberschaubare Vielzahl geschlossener 3-Mannigfaltigkeiten gibt.

Das von [[William Thurston]] vorgeschlagene Programm zur Geometrisierung führt zu einer solchen Klassifikation, indem es (nach einer geeigneten Zerlegung der 3-Mannigfaltigkeit) jedem Teilstück eine bestimmte Geometrie zuordnet, die wiederum die topologische Struktur dieses Teilstücks charakterisiert.

== Zerlegung in Komponenten ==

Eine 3-Mannigfaltigkeit in Komponenten zu „zerlegen“ bedeutet, sie zunächst entlang einer [[Einbettung (Mathematik)|eingebetteten]] zweidimensionalen [[Topologische Sphäre|Sphäre]] in zwei Komponenten aufzuschneiden. In die dabei entstehenden Ränder (zwei Sphären) klebt man nun jeweils einen dreidimensionalen Ball ein, sodass die resultierenden Komponenten wieder ohne Rand sind.

Durch diese [[Primzerlegung (Topologie)|Zerlegung entlang von 2-Sphären]] kann man erreichen, dass die resultierenden Komponenten ''irreduzibel'' sind. Das bedeutet, dass jede eingebettete 2-Sphäre auf einer Seite einen 3-Ball berandet und eine weitere Zerlegung daher nur die Abspaltung einer zusätzlichen <math>S^3</math> zur Folge hätte. Man kann zeigen, dass die Zerlegung in irreduzible Komponenten eindeutig ist bis auf Reihenfolge und zusätzliche <math>S^3</math>-en.

Ist eine so erhaltene irreduzible Komponente von der Gestalt <math>S^2\times S^1</math> oder hat sie eine endliche [[Fundamentalgruppe]], so wird diese Komponente nicht weiter zerlegt. Alle anderen Komponenten lassen sich entlang bestimmter Tori nun noch weiter zerlegen, bis man eine wiederum eindeutige Zerlegung erhält, deren Komponenten alle entweder [[atoroidal]] oder [[Seifert-Faserung|Seifert-gefasert]] sind. Diese Zerlegung nennt man Jaco-Shalen-Johannson-Zerlegung oder kurz [[JSJ-Zerlegung]].

Auf diese Weise erhält man Bausteine, aus denen man alle 3-Mannigfaltigkeiten wieder durch den umgekehrten Prozess zur Zerlegung („[[verbundene Summe]]“ und Verkleben von Randtori) zusammensetzen kann. Zur Klassifikation der {{nowrap|3-Mannigfaltigkeiten}} reicht es daher aus, die Bausteine der JSJ-Zerlegung zu verstehen, also ''irreduzible'' Mannigfaltigkeiten mit endlicher Fundamentalgruppe sowie ''Seifert-gefaserte'' und ''atoroidale'' Mannigfaltigkeiten.

== Modellgeometrien ==

{{Hauptartikel|(G,X)-Struktur}}
Thurston versteht unter einer ''Modellgeometrie'' anschaulich gesprochen einen abstrakten Raum, der für einen Bewohner überall gleich aussieht, und außerdem in seiner [[Topologie (Mathematik)|topologischen]] Gestalt so einfach wie möglich sein soll. Präzise ist dies eine [[Vollständiger Raum|vollständige]], [[Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängende]] [[riemannsche Mannigfaltigkeit]] <math>X</math> mit ''transitiver [[Isometrie]]gruppe'' <math>\mathcal{G}=\mathrm{Isom}(X)</math>. Da die Geometrie [[Geschlossene Mannigfaltigkeit|''geschlossener'' Mannigfaltigkeiten]] beschrieben werden soll, wird zudem gefordert, dass es mindestens eine [[Kompakter Raum|kompakte]] Mannigfaltigkeit mit dieser Geometrie gibt, d.&nbsp;h., dass eine Untergruppe <math>H\subset \mathcal{G}</math> existiert, sodass <math>X/H</math> kompakt ist.

=== Zweidimensionale Modelle ===

Beispiele für eine solche Modellgeometrie sind in Dimension zwei die euklidische Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> (mit dem 2-[[Torus]] als kompaktem Quotienten) oder die zweidimensionale [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] <math>S^2</math>, also die Oberfläche einer dreidimensionalen Kugel, die bereits selbst kompakt ist. Weniger bekannt ist die [[Hyperbolische Geometrie|hyperbolische Ebene]] <math>\mathbb{H}^2</math>, die eine dritte Modellgeometrie darstellt. Alle [[Geschlecht (Fläche)|Flächen vom Geschlecht]] <math>\geq 2</math> lassen sich als kompakte Quotienten der hyperbolischen Ebene darstellen.

Wenn nun der Raum überall gleich aussehen soll, muss er auch an jedem Punkt gleich gekrümmt sein. In Dimension zwei gibt es aber nur eine [[Krümmung]]sgröße, nämlich die [[Skalarkrümmung]] (oder Gaußsche Krümmung). Daraus folgt, dass die Modellgeometrien durch ihre konstante Skalarkrümmung (bis auf Skalierung 0, 1, oder −1) bereits festgelegt sind und es außer den drei genannten keine weiteren zweidimensionalen Modellgeometrien gibt.

=== Dreidimensionale Modelle ===

In Dimension drei gibt es die entsprechenden Modelle mit konstanter [[Schnittkrümmung|Krümmung]] ebenfalls, hier sind dies
* der [[Euklidische Geometrie|euklidische Raum]] <math>\mathbb{R}^3</math>,
* die dreidimensionale Sphäre <math>S^3</math> (Oberfläche einer vierdimensionalen Kugel) und
* der [[Hyperbolische Geometrie|hyperbolische Raum]] <math>\mathbb{H}^3</math>.

==== Produktgeometrien ====

Darüber hinaus gibt es jedoch noch weitere dreidimensionale Modellgeometrien. Dies liegt daran, dass die Skalarkrümmung nicht mehr alleine die lokale Gestalt des Raumes vorgibt und die Krümmung in einem Punkt von der betrachteten Ebene durch diesen Punkt abhängt. Veranschaulichen lässt sich dies an einem weiteren dreidimensionalen Modell, nämlich
* dem Produkt von 2-Sphäre und Gerade, <math>S^2 \times \mathbb{R}</math>.

Dieser Raum lässt sich nicht im dreidimensionalen euklidischen Raum darstellen, jedoch kann man ihn sich wie folgt vorstellen: Der dreidimensionale Raum lässt sich wie eine Zwiebel durch ineinander geschachtelte 2-Sphären mit wachsendem Durchmesser auffassen. Stellt man sich nun vor, dass der Durchmesser der geschachtelten Sphären ''nicht'' wächst, sondern konstant 1 bleibt, wenn man von innen nach außen geht, so erhält man den gewünschten Raum. Alternativ kann man sich 2-Sphären entlang einer Gerade aufgereiht vorstellen, die sich aber nicht durchschneiden.

Befindet man sich in einem Punkt in diesem Raum, so kann man sich entweder auf einer (Querschnitts-)Sphäre bewegen oder senkrecht dazu entlang der Geradenrichtung. In einer Ebene tangential an eine Sphäre beträgt die Krümmung 1, enthält die Ebene jedoch die Geradenrichtung, so ist die Krümmung 0.

Mit der gleichen Konstruktion kann man aus der hyperbolischen Ebene das Produkt mit einer Geraden bilden:
* <math>\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}</math>

Hier liegt die Krümmung zwischen −1 und 0, je nach Richtung der betrachteten Ebene.

Eine Metrik wie in den beiden Produktgeometrien bezeichnet man als ''[[Homogenität (Physik)|homogen]]'', aber nicht ''[[Isotropie|isotrop]]'': Zwar sind alle Punkte „gleich“, aber in einem festen Punkt gibt es Ebenen, die sich von anderen Ebenen durch diesen Punkt unterscheiden. Mathematisch bedeutet dies, dass die Isometriegruppe transitiv auf den ''Punkten'', aber nicht transitiv auf den [[Orthonormaler Rahmen|orthonormalen Rahmen]] (Tripeln von [[orthonormal]]en Tangential[[vektor]]en in einem Punkt) ist.

==== Geometrien mit Lie-Gruppenstruktur ====

Schließlich gibt es noch drei weitere Modellgeometrien, die die Struktur einer [[Lie-Gruppe]] tragen. Dies sind
* die Geometrie von <math>\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})</math>, der [[Überlagerung (Topologie)|universellen Überlagerung]] der [[Spezielle lineare Gruppe|speziellen linearen Gruppe]] <math>\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})</math>,
* die [[Nil-Geometrie]] und
* die [[Sol-Geometrie]].

Alle drei lassen sich als Metrik auf [[Matrix (Mathematik)|Matrizengruppen]] beschreiben. Während <math>\mathrm{SL}_2\mathbb{R}</math> die Gruppe der invertierbaren 2×2-Matrizen mit Determinante 1 ist, ist die Nil-Geometrie auf der [[Nilpotente Gruppe|nilpotenten]] Gruppe der oberen 3×3-Dreiecksmatrizen mit Diagonale 1 (auch [[Heisenberg-Gruppe]] genannt) und die Sol-Geometrie auf der [[Auflösbare Gruppe|auflösbaren]] (englisch ''solvable'') Gruppe aller oberen 2×2-Dreiecksmatrizen definiert.
Als Lie-Gruppen tragen diese Gruppen jeweils eine Metrik, die invariant unter der Links[[Operation (Mathematik)|operation]] ist und damit homogen.

Weil die Gruppe <math>\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})</math> nicht wie gefordert [[Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]] ist, geht man zu ihrer universellen Überlagerung über. Da dies für lokale Eigenschaften keinen Unterschied macht, wird manchmal auch von <math>\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})</math> als Modellgeometrie gesprochen.

Die Metrik auf <math>\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})</math> lässt sich auch folgendermaßen beschreiben: <math>\mathrm{PSL}(2,\mathbb R)</math> ist die Gruppe der reellen [[Möbiustransformation]]en und damit der [[Isometrie]]n der hyperbolischen Ebene <math>\mathbb{H}^2</math>. Da eine Isometrie von <math>\mathbb{H}^2</math> eineindeutig durch das Bild eines ausgewählten Einheitstangentialvektors bestimmt ist, gilt <math>\mathrm{PSL}(2,\mathbb R)\cong UT\mathbb{H}^2</math>. <math>UT \mathbb H^2</math>, der Raum der [[Tangentialvektor]]en der Länge 1, trägt nun eine von <math>\mathbb{H}^2</math> induzierte Metrik. Die so konstruierte Metrik auf <math>\mathrm{PSL}(2,\mathbb R)</math> induziert schließlich eine Metrik auf der universellen Überlagerung <math>\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})</math>.
Diese Betrachtung liefert Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten mit <math>\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})</math>-Geometrie, nämlich [[Einheitstangentialbündel]] geschlossener hyperbolischer [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] (Flächen vom [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht]] mindestens 2).

==== Klassifikation ====

Der Beweis, dass die hier beschriebenen Modelle ''alle'' Möglichkeiten dreidimensionaler Modellgeometrien sind, benutzt den [[Gruppenoperation#Stabilisator|Stabilisator]] der Isometriegruppe. Das ist die Gruppe all derjenigen Isometrien eines Modells, die einen bestimmten Punkt festhalten. Im Fall des euklidischen Raumes besteht er beispielsweise aus der gesamten [[Orthogonale Gruppe|orthogonalen Gruppe]] O(3) und ist daher dreidimensional, während im Fall der Produktgeometrien die <math>\mathbb{R}</math>-Richtung von einer Isometrie erhalten werden muss und somit der Stabilisator nur aus der eindimensionalen Untergruppe SO(2) besteht. Die Größe des Stabilisators ist ein Maß für die Symmetrie des Modells.

Eine weitere Unterscheidung kann gemacht werden, indem man eine [[Faserung]] findet, die invariant unter der Isometriegruppe ist und deren Blätter vom Stabilisator auf sich selbst abgebildet werden. Im Fall der Produktgeometrien ist eine solche Faserung einfach durch die [[Querschnittsfläche|Querschnitte]] <math>S^2\times \{p\}</math> bzw. <math>\mathbb H^2\times \{p\}</math> gegeben. In jedem Fall muss eine solche Faser wieder eine zweidimensionale Modellgeometrie sein, sodass sich folgende Übersicht ergibt:
{| class="wikitable sortable"
|-
! Modellgeometrie
! Stabilisator
! Struktur
! (Schnitt-)Krümmung
|-
| Euklidischer Raum <math>\mathbb{R}^3</math>
| dreidimensional
| isotrop
| 0 (flach)
|-
| 3-Sphäre <math>S^3</math>
| dreidimensional
| isotrop
| 1 (positiv)
|-
| hyperbolischer Raum <math>\mathbb{H}^3</math>
| dreidimensional
| isotrop
| −1 (negativ)
|-
| <math>S^2 \times \mathbb{R}</math>
| eindimensional
| fasert über <math>S^2</math>
| in der Faser: 1, orthogonal: 0
|-
| <math>\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}</math>
| eindimensional
| fasert über <math>\mathbb{H}^2</math>
| in der Faser: −1, orthogonal dazu: 0
|-
| Nilgeometrie
| eindimensional
| fasert über <math>\mathbb{R}^2</math>
| in der Faser: 0, orthogonal dazu: 1
|-
| <math>\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})</math>
| eindimensional
| fasert über <math>\mathbb{H}^2</math>
| in der Faser: −1, orthogonal dazu: 1
|-
| Solgeometrie
| nulldimensional
| fasert über <math>\mathbb R</math>
| orthogonal zur Faser: 0
|}

== Thurstons Geometrisierungsvermutung ==

Lässt sich auf einer aus der oben beschriebenen Zerlegung resultierenden Mannigfaltigkeit eine Metrik wählen, die lokal einer der acht Modellgeometrien entspricht, so nennt man diese Mannigfaltigkeit ''geometrisierbar''. Beispielsweise lässt sich ein Torus aus flachen, euklidischen Karten zusammensetzen und ist also geometrisierbar.

Thurston hat sich intensiv mit dem Studium von 3-Mannigfaltigkeiten beschäftigt und dabei festgestellt, dass eine große Klasse von ihnen in diesem Sinne geometrisierbar ist.

Unter anderen hat er dies für [[Haken-Mannigfaltigkeit]]en nachgewiesen und dafür 1982 die [[Fields-Medaille]] erhalten. Basierend auf diesen Forschungen hat er die Vermutung aufgestellt, dass sich ''alle'' geschlossenen 3-Mannigfaltigkeiten geometrisieren lassen. Dies wird als ''Thurstons Geometrisierungsvermutung'' bezeichnet.

=== Bedeutung der Geometrisierungsvermutung ===

Lässt eine 3-Mannigfaltigkeit eine der acht Modellgeometrien zu, so liefert dies Rückschlüsse auf ihre Topologie: Ist die Modellgeometrie nicht hyperbolisch oder sphärisch, so folgt, dass die Mannigfaltigkeit eine [[Seifert-Faserung]] besitzt. Da die Topologie von Seifert-Mannigfaltigkeiten bekannt ist, gelten diese als gut verstanden. Da ihre [[Fundamentalgruppe]] z.&nbsp;B. stets eine [[Untergruppe]] [[isomorph]] zur Fundamentalgruppe des 2-[[Torus]], <math>\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}</math>, besitzt, lässt sich die Geometrisierungsvermutung auch so formulieren:
: ''Jede irreduzible geschlossene 3-Mannigfaltigkeit erfüllt genau eine der folgenden Bedingungen:''
:# ''Sie trägt eine sphärische Metrik.''
:# ''Sie trägt eine hyperbolische Metrik.''
:# ''Ihre Fundamentalgruppe besitzt eine Untergruppe isomorph zu <math>\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}</math>.''

Für sphärische und hyperbolische Mannigfaltigkeiten gibt es wesentlich mehr Möglichkeiten und diese sind auch nicht vollständig klassifiziert. Dennoch sind viele ihrer Eigenschaften bekannt und die Klassifizierung stellt ein rein gruppentheoretisches Problem dar (nämlich alle [[Operation (Mathematik)|freien]] [[diskret]]en Untergruppen der Isometriegruppen von <math>S^3</math> bzw. <math>\mathbb{H}^3</math>, also von <math>\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})</math> zu bestimmen).

Aus der Umformulierung der Geometrisierungsvermutung folgt die ''Elliptisierungsvermutung'' oder ''Sphärische Raumformen-Vermutung''
: ''Jede geschlossene 3-Mannigfaltigkeit mit endlicher Fundamentalgruppe besitzt eine sphärische Metrik und ist daher ein Quotient der 3-Sphäre, <math>S^3/\Gamma</math>.''
sowie die ''Hyperbolisierungsvermutung''
: ''Jede geschlossene irreduzible 3-Mannigfaltigkeit mit unendlicher Fundamentalgruppe ist entweder hyperbolisch oder ihre Fundamentalgruppe enthält eine Untergruppe isomorph zu <math>\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}</math>.''

Ein weiterer Spezialfall der Geometrisierungsvermutung ist die bekannte [[Poincaré-Vermutung]]:
: ''Jede geschlossene 3-Mannigfaltigkeit mit trivialer Fundamentalgruppe ist homöomorph zur 3-Sphäre <math>S^3</math>.''

=== Stand der Vermutung ===

Für zweidimensionale geschlossene Mannigfaltigkeiten ist die Geometrisierung bereits lange bekannt. Aus der Klassifikation der Flächen folgt zusammen mit der [[Satz von Gauß-Bonnet|Gauß-Bonnet-Formel]], dass die 2-Sphäre <math>S^2</math> als einzige Fläche eine sphärische Geometrie besitzt, der 2-Torus <math>T^2</math> eine euklidische Geometrie und alle Flächen höheren Geschlechts hyperbolisch sind.

[[Richard S. Hamilton]] hat in den 1980er Jahren als einer der ersten versucht, mit Hilfe des [[Ricci-Fluss]]es die Geometrisierung zu beweisen. Es gelang ihm für Mannigfaltigkeiten positiver [[Ricci-Krümmung]] sowie für solche Mannigfaltigkeiten, auf denen der Ricci-Fluss nicht singulär wird.

[[Grigori Perelman]] hat mit seinen Arbeiten von 2002 und 2003 den entscheidenden Schritt im Beweis der Geometrisierung geliefert, indem er Methoden fand, die den Fluss auch beim Auftreten von [[Singularität (Mathematik)|Singularitäten]] kontrollieren.
Perelmans Arbeiten sind zwar noch nicht in einer referierten Zeitschrift erschienen, dennoch haben sich viele Mathematiker intensiv mit ihnen auseinandergesetzt, ohne wesentliche Fehler oder Lücken zu finden. Hierfür sollte Perelman 2006 mit der Fields-Medaille ausgezeichnet werden, diese lehnte er aber ab.

== Literatur und Weblinks ==
'''Allgemeiner Überblick über die Geometrisierungsvermutung und den Ricci-Fluss'''
* [[Bernhard Leeb]]: {{Webarchiv |url=http://www.mathematik.uni-muenchen.de/%7Eleeb/preprints/pv.pdf |wayback=20080419011624 |text=''Geometrisierung 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten und Ricci-Fluss: Zu Perelmans Beweis der Vermutungen von Poincaré und Thurston''.}}. (PDF; 437&nbsp;kB). In: ''DMV-Mitteilungen'', 14 (4), 2006, S. 213–221.
* [[John Morgan (Mathematiker)|John W. Morgan]]: [http://www.ams.org/bull/2005-42-01/S0273-0979-04-01045-6/S0273-0979-04-01045-6.pdf ''Recent progress on the Poincaré conjecture and the classification of 3-manifolds''.] (PDF; 293&nbsp;kB). In: ''Bulletin of the AMS'', 42 (1), 2005, S. 57–78.

'''Topologische Grundlagen und JSJ-Zerlegung'''
* [[Allen Hatcher]]: [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/3M/3M.pdf ''Notes on Basic 3-Manifold Topology.''] (PDF; 385&nbsp;kB). 2000 (englisch).

'''Modellgeometrien und Thurstons Programm'''
* [[G. Peter Scott|Peter Scott]]: [http://www.math.lsa.umich.edu/~pscott/8geoms.pdf ''The Geometries of 3-Manifolds''.] (PDF; 7,8&nbsp;MB). In: ''Bull. London Math. Soc.'', 15, 1983, S. 401–487.
* William Thurston: ''Three-Dimensional Geometry and Topology''. Princeton University Press, 1997, ISBN 0-691-08304-5.
* William Thurston: [http://www.msri.org/publications/books/gt3m/PDF ''The Geometry and Topology of Three-Manifolds''.] (PDF). 1980 (englisch); Ausarbeitung eines von Thurston 1978/79 in Princeton gehaltenen Seminars.

'''Perelmans Beweis mit Hilfe des Ricci-Flusses'''
* [[Michael T. Anderson]]: [http://www.math.sunysb.edu/~anderson/noticesfinal.pdf ''Geometrization of 3-Manifolds via the Ricci Flow''.] (PDF; 146&nbsp;kB). In: ''Notices of the AMS'', 2004 (englisch). Überblick über Perelmans Beweis und den Ricci-Fluss.
* Grisha Perelman: [http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159 ''The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications''.] Preprint 2002 (englisch).
* Grisha Perelman: [http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109 ''Ricci flow with surgery on three-manifolds''.] Preprint 2003 (englisch).
* [[Bruce Kleiner]], [[John Lott (Mathematiker)|John Lott]]: [http://arxiv.org/abs/math.DG/0605667 ''Notes on Perelman’s papers''.] Detaillierte Ausarbeitung von Perelmans Beweis (englisch).
* [[Laurent Bessières]], [[Gérard Besson]], [[Michel Boileau]], [[Sylvain Maillot]], [[Joan Porti]]: ''Geometrisation of 3-Manifolds''. European Mathematical Society (EMS), 2010, ISBN 978-3-03719-082-1.

{{Lesenswert|15. Oktober 2005|10001885}}

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Topologie von 3-Mannigfaltigkeiten]]
[[Kategorie:Knotentheorie]]