Quelltext der Seite Geometrische Frustration

'''Geometrische Frustration''' (auch kurz als '''Frustration''' bezeichnet) ist ein [[Physik|physikalisches]] Phänomen [[Kondensierte Materie|kondensierter Materie]], in der die [[Körper (Geometrie)|geometrischen Eigenschaften]] eines [[Kristallgitter]]s oder die Anwesenheit miteinander im Konflikt stehender atomarer Kräfte die gleichzeitige Minimierung aller Wechselwirkungsenergien an einem gegebenen Gitterpunkt verhindern. Das kann zu ''hochgradig entarteten'' [[Grundzustand|Grundzuständen]] mit von&nbsp;0 verschiedener [[Entropie]] selbst bei 0&nbsp;K führen (siehe [[Nullpunktsentropie]]). Einfacher ausgedrückt, kann die Substanz niemals vollständig eingefroren sein, da die Struktur, die sie bildet, keinen einzelnen Zustand minimaler Energie besitzt. Bewegung auf molekularer Ebene findet also noch am [[Absoluter Nullpunkt|absoluten Nullpunkt]] ohne Energiezufuhr statt.

== Geschichte ==
Der Terminus ''Frustration'' im Kontext [[Magnetismus|magnetischer]] Systeme geht auf [[Gérard Toulouse]] (1977) zurück und ist vor allem bei den [[Spinglas|Spingläsern]] wichtig.

Magnetische Systeme mit geometrischer Frustration werden seit vielen Jahren untersucht. Frühe Arbeiten beinhalten Studien eines [[Ising-Modell]]s auf einem (zweidimensionalen) dreieckigen Gitter mit [[Antiferromagnetismus|antiferromagnetisch]] gekoppelten benachbarten [[Spin]]s durch [[Gregory Wannier|G. H. Wannier]], die 1950 veröffentlicht wurde<ref name=":0">{{Literatur |Autor=G. H. Wannier |Titel=Antiferromagnetism. The Triangular Ising Net |Sammelwerk=Physical Review |Band=79 |Nummer=2 |Datum=1950-07-15 |ISSN=0031-899X |DOI=10.1103/PhysRev.79.357 |Seiten=357–364 |Online=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.79.357 |Abruf=2025-12-18}}</ref>.

Später gab es ähnliche Versuche an Magneten mit ''konkurrierenden Wechselwirkungen'', d.&nbsp;h. mit unterschiedlichen Koppelungen, von denen jede einzelne einfache (ferro- oder antiferromagnetische) aber insgesamt unterschiedliche Strukturen bevorzugen. In diesem Falle können [[Inkommensurabilität (Physik)|inkommensurable]] Spinanordnungen die Folge sein (z.&nbsp;B. mit Spiralstruktur), wie sie seit&nbsp;1959 von [[Akio Yoshimori]], [[Thomas A. Kaplan]], [[Roger Elliott]] und anderen behandelt wurden.

Ein neuerliches Interesse an derartigen Spin-Systemen kam rund zwei Jahrzehnte später im Kontext von Spingläsern und räumlich modulierten magnetischen Superstrukturen auf. In Spingläsern wird die geometrische Frustration durch [[Stochastik|stochastische]] Unordnung in den Wechselwirkungen noch verstärkt. Bekannte Spin-Modelle mit konkurrierenden bzw. frustrierten Wechselwirkungen schließen das [[Sherrington-Kirkpatrick-Modell]] mit ein, das Spingläser beschreibt, und das [[ANNNI-Modell]], das kommensurable und inkommensurable magnetische Superstrukturen darstellt.

== Magnetische Ordnung ==
Geometrische Frustration ist ein bedeutendes Phänomen im [[Magnetismus]] fester Körper und hat dort mit der topologischen Anordnung von [[Spin]]s zu tun. Ein 2D-Beispiel ist in Abbildung&nbsp;1 zu sehen. Drei magnetische Ionen sitzen auf den Ecken eines Dreieck-Gitters mit [[Antiferromagnetismus|antiferromagnetischen]] Wechselwirkungen zwischen ihnen – da die Orte der (ansonsten identischen) Teilchen auf dem Gitter festgelegt sind, sind die Teilchen anhand ihres Ortes unterscheidbar. Die Energie ist minimal, wenn jeder Spin relativ zu seinen Nachbarn entgegengesetzt ist. Sind nun die ersten beiden Spins antiparallel ausgerichtet, so ist der dritte ''frustriert'', weil seine beiden möglichen Orientierungen, up und down, dieselbe Energie ergeben. Der dritte Spin kann seine Wechselwirkungsenergie nicht mit beiden anderen Spins gleichzeitig minimieren. Da dies für jeden der drei Spins auftritt, ist der Grundzustand sechsfach [[Entartung (Quantenmechanik)|entartet]]; nur die beiden Zustände, in denen alle Spins parallel ausgerichtet sind, besitzen eine höhere Energie<ref>{{Literatur |Autor=A P Ramirez |Titel=Strongly Geometrically Frustrated Magnets |Sammelwerk=Annual Review of Materials Science |Band=24 |Nummer=1 |Datum=1994-08 |ISSN=0084-6600 |DOI=10.1146/annurev.ms.24.080194.002321 |Seiten=453–480 |Online=https://www.annualreviews.org/doi/10.1146/annurev.ms.24.080194.002321 |Abruf=2025-12-18}}</ref>. Ein weiteres zweidimensionales System mit geometrischer Frustration kann in einem ''Kagomé''-Gitter gefunden werden<ref name=":1">{{Literatur |Titel=Magnetism in condensed matter |Verlag=Oxford University Press |Ort=Oxford New York |Datum=2001 |Reihe=Oxford master series in condensed matter physics |ISBN=978-0-585-48360-3 |Abruf=2025-12-18}}</ref>.

Aufgrund der mehrfachen Entartung des magnetischen Grundzustands (zwei parallele, ein antiparalleler Spin) hat dieser Zustand eine Entropie <math>S</math>, die sogar bei <math>T = 0</math> von 0 verschieden ist. Insbesondere gilt<ref name=":0" />

<math>S(T=0) = R\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/3}\ln(2\cos\omega)d\omega=0.3383R>0</math>

wobei <math>R</math> die [[Gaskonstante]] bezeichnet.

In ähnlicher Weise können im Dreidimensionalen vier in einem [[Tetraeder]] angeordnete Spins geometrisch frustriert sein (Abbildung&nbsp;2). Wenn die Spins antiferromagnetisch wechselwirken, lassen sie sich nicht alle antiparallel ausrichten. Es gibt sechs [[Ising-Modell|Nächster-Nachbar-Wechselwirkungen]], von denen vier antiparallel und daher energetisch „günstig“ sind, doch verbleiben zwei energetisch „ungünstige“ Wechselwirkungen (hier zwischen&nbsp;1 und&nbsp;2 sowie zwischen&nbsp;3 und&nbsp;4). Diese Struktur bildet eine Grundlage für das [[Pyrochlor]]gitter, welches im Dreidimensionalen Frustrationen beherbergen kann<ref name=":1" />.

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Triangular frustration.svg|Abbildung 1: Antiferromagnetisch wechselwirkende Spins in dreieckiger Anordnung
frustratedtetrahedron.png|Abbildung 2: Antiferromagnetisch wechselwirkende Spins in tetraedrischer Anordnung
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Geometrische Frustration ist auch möglich, wenn die Spins nicht-[[kollinear]] angeordnet sind. Bei einem Tetraeder, an dessen Eckpunkten je ein Spin sitzt, der entlang der jeweiligen Achse durch den Mittelpunkt des Tetraeders ausgerichtet ist, lassen sich die Spins so anordnen, dass sie sich gegenseitig aufheben, es also keinen Netto-Spin gibt (Abbildung&nbsp;3). Das ist äquivalent zu einer antiferromagnetischen Wechselwirkung zwischen jedem Spin-Paar, und in diesem Fall liegt ''keine'' geometrische Frustration vor. Mit solchen Achsen tritt geometrische Frustration dann auf, wenn es [[Ferromagnetismus|ferromagnetische]] Wechselwirkung zwischen Nachbarn gibt, sodass die Energie durch parallele Spins minimiert wird. Die „bestmögliche“ Anordnung zeigt Abbildung 4; dort zeigen zwei Spins zum Zentrum hin und zwei von ihm weg. Das resultierende magnetische Moment zeigt aufwärts und maximiert die ferromagnetische Wechselwirkung in dieser Richtung, aber die Vektorkomponenten in andere Richtungen heben sich gegenseitig auf, d.&nbsp;h., sie sind antiferromagnetisch angeordnet. Es gibt drei verschiedene, aber äquivalente Anordnungen, bei denen zwei Spins nach außen und zwei nach innen zeigen, sodass der Grundzustand dreifach entartet ist.

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Allinspintet.png|Abbildung 3: Spins entlang der Achsen, die durch das Zentrum verlaufen
Spinice.png|Abbildung 4: Spins mit geometrischer Frustration entlang der durch das Zentrum verlaufenden Achsen
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== Mathematische Definition ==
Die mathematische Definition ist analog zum [[Wilson-Loop]] in der [[Quantenchromodynamik]]: Es werden Energievariablen der Form

:<math>\mathcal H = \sum_G\,-I_{k_\nu ,  k_\mu}\,\,S_{k_\nu}\cdot S_{k_\mu}</math>

betrachtet, mit
* dem betrachteten Graph <math>G</math>
* den „Austauschenergien“ <math>I_{k_\nu ,  k_{\mu}}</math> zwischen nächsten-Nachbarn, die (in vorgegebenen Energieeinheiten) die Werte&nbsp;±1 annehmen sollen
* den inneren Produkten <math>S_{k_\nu}\cdot S_{k_\mu}</math> skalarer oder vektorieller Spinvariabeln.
Wenn der Graph <math>G</math> die (quadratischen oder triangularen) Randflächen <math>P</math> besitzt, die „Plakettenvariablen“, treten im Folgenden „Schleifenprodukte“ der Form <math>I_{1,2} I_{2,3} I_{3,4} I_{4,1}</math> bzw. <math>I_{1,2} I_{2,3} I_{3,1}</math> auf, die auch als „Frustationsprodukt“ bezeichnet werden. Über diese Frustrationsprodukte ist die Summe über alle Plaketten zu bilden. Das Ergebnis für die einzelne Plakette ist entweder&nbsp;+1 oder&nbsp;−1. Im negativen Fall ist die Plakette „geometrisch frustriert“.

Man kann zeigen, dass das Ergebnis ''eichinvariant''&nbsp;ist: es ändert sich nicht, wenn man die lokalen Werte der [[Austauschintegral]]e und der Spins gleichzeitig der folgenden Eichtransformation unterzieht:

:<math>I_{i,k}\to\epsilon_i I_{i,k}\epsilon_k ,\quad S_i\to\epsilon_i S_i ,\quad S_k\to \epsilon_k S_k \, .</math>

mit <math>\epsilon_i</math> und <math>\epsilon_k</math> als beliebige Zahlen&nbsp;±1.

Aber nicht nur die „Frustrationsprodukte“, sondern auch messbare sonstige Größen, z.&nbsp;B. <math>\mathcal H</math>, ändern sich bei solchen [[Eichtransformation|„Umeichungen“]] nicht.

== Literatur ==
*{{Literatur |Autor=David Sherrington, Scott Kirkpatrick |Titel=Solvable Model of a Spin-Glass |Sammelwerk=Physical Review Letters |Band=35 |Nummer=26 |Datum=1975 |Seiten=1792–1796 |DOI=10.1103/PhysRevLett.35.1792}}
*{{Literatur |Autor=G. Toulouse |Titel=Theory of the frustration effect in spin glasses: I |Sammelwerk=Communications on Physics |Band=2 |Nummer=4 |Datum=1977 |Seiten=115–119}}

== Siehe auch ==
* [[Spin-Eis]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=7733821-2}}

[[Kategorie:Festkörperphysik]]
[[Kategorie:Thermodynamik]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]