Quelltext der Seite Gekoppelte Pendel

{{Belege fehlen}}
[[Datei:Coupled.svg|mini|Beispiel für ein gekoppeltes Pendel]]
Als '''gekoppelte Pendel''' werden [[Pendel]] bezeichnet, zwischen denen ein Energieaustausch (beispielsweise durch eine [[Schraubenfeder]]) stattfinden kann, so dass sie als 
[[Harmonischer Oszillator#Gekoppelte harmonische Oszillatoren|gekoppelte harmonische Oszillatoren]] wirken. Die ausgeführten [[Schwingung]]en werden auch Koppelschwingungen genannt. In jedem Pendel wirkt ein [[Richtmoment]], das durch die [[Schwerkraft]] hervorgerufen wird und bestrebt ist, das Pendel in die Ruhelage zurückzuziehen. Außerdem macht sich die vorhandene Kopplung in Form eines zusätzlichen Richtmoments bemerkbar, das so wirkt, dass die Feder möglichst entspannt wird.

Mehrere gleiche Pendel, die in einer Reihe angeordnet mit ihren unmittelbaren Nachbarn wechselwirken, bezeichnet man als Schwingerkette.

== Historische Beobachtungen ==
Der niederländische [[Astronom]] und [[Physiker]] [[Christiaan Huygens]] beobachtete bereits im 17. Jahrhundert gekoppelte Pendelschwingungen, als er feststellte, dass zwei baugleiche [[Pendeluhr]]en, die an Bord eines Schiffes in einem gemeinsamen Gehäuse eingebaut waren, nach einer halben Stunde [[Synchronität|synchron]] schwangen, egal in welcher Ausgangsposition sich die Pendel zu Beginn befanden. Die Pendelgewichte übertrugen Energie an das Uhrengehäuse und beeinflussten sich dabei gegenseitig. (siehe: [[Lock-in-Effekt (Physik)|Lock-in-Effekt]])

== Physikalisch-mathematische Betrachtung ==
[[Datei:Coupled static.svg|mini|Gekoppelte Pendel in Ruhelage durch Moment der Feder]]
Betrachten wir als Modell den Fall zweier gleicher Pendel, die durch eine Feder miteinander verbunden sind. Dann werden aufgrund des Drehmomentes, verursacht durch die Schwerkraft und des entgegengesetzt wirkenden Momentes der Feder, die beiden Pendel in eine neue Gleichgewichtslage ausgelenkt.

Lenkt man nun Pendel 2 um den Winkel <math>\theta_2</math> nach rechts aus, erhält man unter der Annahme, dass die Länge der Feder im entspannten Zustand gleich dem Abstand der Aufhängepunkte ist, für kleine Auslenkungen näherungsweise ein Gesamtmoment von:

:<math>M_2=-mgL \, \theta_2-k \, l^2 \, \theta_2</math>

wobei <math>k</math> die Federkonstante der Kopplungsfeder ist.

Lenkt man zusätzlich Pendel 1 um einen kleinen Winkel <math>\theta_1</math> nach rechts aus, ergibt sich näherungsweise ein Gesamtmoment von:

:<math>M_2=-mgL \, \theta_2-k \, l^2 \theta_2+k \, l^2 \theta_1 = J \ddot{\theta}_2 </math>

Analog kann man für Pendel 1 verfahren und erhält die beiden [[Differentialgleichung]]en:

:<math>
J \ddot{\theta}_1=-mgL \, \theta_1+k \, l^2 (\theta_2-\theta_1)
</math>

:<math>
J \ddot{\theta}_2=-mgL \, \theta_2-k \, l^2 (\theta_2-\theta_1)
</math>

<math>J</math> ist dabei das [[Trägheitsmoment]] eines Pendels. Falls es sich um ein Fadenpendel handelt, gilt <math>J = m L^2</math>.

Man erhält drei charakteristische Schwingungsformen des Pendelsystems:

== Beispiel: gekoppeltes Pendel als Eigenwertproblem – Normalschwingungsanalyse ==

Die Bewegungsgleichungen des gekoppelten Pendels lassen sich mit dem [[Lagrange-Formalismus]] berechnen. Hierzu wird die [[Lagrange-Funktion]] des Systems aufgestellt:

:<math>\mathcal{L}=T-U</math>

wobei <math>T</math>, die kinetische Energie des Systems, gegeben ist durch:

:<math>T=\frac{1}2 m_1 L^2\,\dot\theta_1^2 + \frac{1}2 m_2 L^2  \,\dot\theta_2^2</math>

und <math>U</math>, die potentielle Energie des Systems, gegeben ist durch:

:<math>U= - m_1 g L\,\cos(\theta_1) - m_2 g L\,\cos(\theta_2) +  \frac{1}2 kl^2\,\left(\sin\theta_{1}-\sin\theta_{2}\right)^{2} </math>

woraus folgt:

:<math>\mathcal{L}=\frac{1}2 m_1 L^2 \,\dot\theta_1^2 + \frac{1}2 m_2 L^2
\,\dot\theta_2^2 + m_1 g L \,\cos(\theta_1) + m_2 g L \,\cos(\theta_2) -  \frac{1}2 k l^2 \,\left(\sin\theta_{1}-\sin\theta_{2}\right)^{2}</math>

Für kleine Auslenkungen kann die [[Kleinwinkelnäherung]] angewendet werden. Werden nur Terme bis zur 2. Ordnung berücksichtigt, gilt <math>\sin(\theta_i)\approx\theta_i</math> sowie <math>\cos(\theta_i)\approx 1-\tfrac{\theta_i^2}{2}</math>. Mit der Euler-Lagrange-Gleichung

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\theta_i}-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta_i}=0</math>

erhält man zwei gekoppelte Bewegungsgleichungen der Form:

:<math>\ddot\theta_1 + \frac{g}L\,\theta_1 + \frac{k l^2}{m_1 L^2}\, (\theta_1-\theta_2)=0</math>

:<math>\ddot\theta_2 + \frac{g}L\,\theta_2 - \frac{k l^2}{m_2 L^2}\, (\theta_1-\theta_2)=0</math>.

Mit dem Ansatz, dass jede Fundamentalschwingung der hier beschriebenen Normalschwingung die Form

:<math>\theta_i(t) = a_i\,\cos(\omega t + \beta_i)</math>

hat, erhält man die Matrixdarstellung

:<math>\underbrace {\begin{pmatrix} {(\frac{g}{L}+\frac{k l^2}{m_1
    L^2})-\omega^2} & {-\frac{k l^2}{m_1 L^2}} \\ {-\frac{k l^2}{m_2 L^2}} &
{(\frac{g}{L}+\frac{k l^2}{m_2 L^2})-\omega^2} \end{pmatrix}}_{B}\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.

Mit dem Ansatz:

<math>\det(B)=0</math>

ermittelt man die [[Eigenwert]]e (= Quadrate der Eigenkreisfrequenzen, also <math>\omega^2</math>). Der Sinn hinter dem Ansatz ist, dass mit <math>\det(B) \neq 0</math> die Matrix vollen [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] hat – also ihre Spaltenvektoren [[linear unabhängig]] sind. In diesem Falle gäbe es für <math>B \, \vec x = \vec 0</math> nur die triviale Lösung <math>\vec x = \vec 0</math> und damit keine Schwingung, sondern die Pendel würden einfach auf der Stelle verharren.

Für den Spezialfall <math>m_1=m_2=m</math> erhält man die Eigenwerte:

:<math>\omega_{1}^2=\frac{g}{L}+\frac{k l^2}{m L^2}-\frac{k l^2}{m L^2}=\frac{g}{L}</math>
:<math>\omega_{2}^2=\frac{g}{L}+\frac{k l^2}{m L^2}+\frac{k l^2}{m L^2}=\frac{g}{L}+2\frac{k l^2}{m L^2}</math>

Zu den Eigenwerten sind nun noch die [[Eigenvektor]]en zu bestimmen. Für dieses Beispiel:

:<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}</math>

Somit ergibt sich die Lösung der [[Normalschwingung]]sanalyse ([[Eigenwertproblem]]) für den Spezialfall zu:

:<math>\vec\theta(t)=A_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\cos(\omega_1 t+\beta_1)+A_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\cos(\omega_2 t+\beta_2)</math>

=== Fallunterscheidungen ===
Die Variablen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> kann man mit der nachstehenden Grafik diskutieren.
Bild 1 zeigt den Fall, dass <math>A_2=0</math>; Bild 2 zeigt den Fall, dass <math>A_1=0</math> und Bild 3 zeigt den Fall, dass <math>A_1 , A_2\ne 0</math>.
[[Datei:Coupled oscillators.gif|mini|Abwechselnde Schwingung: Wenn zwei gleichartige Pendel an der gleichen Schnur aufgehängt sind und nur eines ausgelenkt wird, wird die Energie der Schwingung periodisch von einem Pendel zum anderen übertragen.]]
'''Gleichsinnige Schwingung''' 
: Die beiden Pendel schwingen mit gleicher Amplitude und gleicher Phase mit ihrer normalen Eigenfrequenz.
: [[Datei:Gleichsinnig.svg|gleichsinnige Schwingung eines gekoppelten Pendels]]

'''Gegensinnige Schwingung'''
: Die beiden Pendel schwingen mit gleich großer Amplitude, aber in Gegenphase und mit höherer Frequenz.
: [[Datei:Gegensinnig.svg|gegensinnige Schwingung eines gekoppelten Pendels]]

'''[[Schwebung]]sfall'''
: Wird zu Beginn nur eines der beiden Pendel aus seiner Ausgangslage ausgelenkt, so wandert die Schwingungsenergie langsam zwischen den beiden Pendeln hin und her. Die Schwingung besteht aus einer Überlagerung der Eigenfrequenz und der höheren Frequenz, also aus den beiden, gegensinnigen und gleichsinnigen, Schwingungsmoden oben.
: [[Datei:Schwebungsfall.svg|Schwebungsfall eines gekoppelten Pendels]]
: Beim [[Wilberforcependel]] kann eine an einer Schraubenfeder aufgehängte Masse sowohl eine vertikale Translations-, als auch eine Rotationsbewegung ausführen, welche über die Schraubenfeder miteinander in Wechselwirkung stehen. Bei einer bestimmten Masse des schwingenden Elements wechseln beide Bewegungen einander ab.

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[[Kategorie:Pendel]]
[[Kategorie:Physikalisches Demonstrationsexperiment]]