Quelltext der Seite Gebrochene Brownsche Bewegung

[[Datei:Fraktionale Brownsche Bewegung.png|mini|Simulierte Pfade einer gebrochenen Brownschen Bewegung mit H=0.15 (links) und H=0.95 (rechts).]]
Die '''gebrochene Brownsche Bewegung''' oder auch '''fraktionale Brownsche Bewegung''' ist eine Klasse von zentrierten [[Gauß-Prozess]]en <math>(X^H(t))_{t \geq 0}</math>, welche durch die folgende [[Kovarianzfunktion]] charakterisiert sind:

:<math>E[X^H(t) X^H(s)]=\frac{1}{2} (t^{2H}+s^{2H}-|t-s|^{2H}),</math>

wobei ''H'' eine reelle Zahl in (0,&nbsp;1) ist. H wird häufig der [[Hurst-Exponent|Hurst-Parameter]] genannt. Für H=1/2 ist die gebrochene Brownsche Bewegung eine eindimensionale [[Brownsche Bewegung]].

== Eigenschaften ==
=== Selbstähnlichkeit ===

<math>X^H</math> ist [[Selbstähnlichkeit|selbstähnlich]]. Genauer gilt, dass die Prozesse <math>(X^H(ct))_{t \geq 0}</math> und <math>(c^H X^H(t))_{t \geq 0}</math> für jedes feste c > 0 dieselbe [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Verteilung]] besitzen.

=== Stationäre Inkremente ===
Aus der Darstellung der Kovarianzfunktion folgt direkt die Beziehung
: <math>E[(X^H(t) - X^H(s))^2] = |t-s|^{2H}, \quad t,s \geq 0. </math>
Insbesondere sind die Inkremente also [[Stationärer stochastischer Prozess|stationär]].
Außerdem gilt:
* falls ''H'' = 1/2, so hat der Prozess [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|unabhängige]] Inkremente;
* falls ''H'' > 1/2, so sind die Inkremente positiv [[Korrelation|korreliert]];
* falls ''H'' < 1/2, so sind die Inkremente negativ korreliert.

=== Pfadeigenschaften ===
Die Pfade der gebrochenen Brownschen Bewegung mit Hurst-Parameter H sind [[Hölder-Stetigkeit|Hölder-stetig]] mit Index <math>\alpha</math> für jedes <math>\alpha < H</math>.

=== Stochastische Integration ===
Es ist möglich, [[Stochastische Integration|stochastische Integrale]] bezüglich der gebrochenen Brownschen Bewegung zu definieren.

== Siehe auch ==
* [[Anomale Diffusion]]

== Weblinks ==
* [https://www.economicsnetwork.ac.uk/archive/standrews_phd/alos_brownian.htm Vorlesungsvideo über die gebrochene Brownsche Bewegung (englisch)]

== Quellen ==
* {{Literatur | Autor = Francesca Biagini, Yaozhong Hu, Bernt Øksendal, Tusheng Zhang | Titel = Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion | Kommentar = Softcover reprint of hardcover 1st ed. 2008 | Verlag = Springer |Ort=London | Jahr = 2010 | ISBN = 1849969949}}


[[Kategorie:Stochastischer Prozess]]