Quelltext der Seite Gaußscher Integralsatz

Der '''gaußsche Integralsatz''', auch '''Satz von Gauß-Ostrogradski'''<ref>{{Literatur |Autor=Björn Feuerbacher |Titel=Tutorium Mathematische Methoden der Elektrodynamik: Ausführlich erklärt für Studierende der Physik im Haupt- und Nebenfach |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2019-02-11 |ISBN=978-3-662-58340-1 |Seiten=116 |Online=https://www.google.de/books/edition/Tutorium_Mathematische_Methoden_der_Elek/2JqHDwAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=Satz+von+Gau%C3%9F-Ostrogradski&pg=PA116&printsec=frontcover |Abruf=2024-11-03}}</ref> oder '''Divergenzsatz''', ist ein Ergebnis aus der [[Vektoranalysis]]. Er stellt einen Zusammenhang zwischen der [[Divergenz eines Vektorfeldes]] und dem durch das Feld vorgegebenen [[Fluss (Physik)|Fluss]] durch eine geschlossene Oberfläche her.

Der nach [[Gauß|Carl Friedrich Gauß]] benannte [[Integralsatz]] folgt als Spezialfall aus dem [[Satz von Stokes#Spezialfälle|Satz von Stokes]], der auch den [[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]] verallgemeinert.

== Formulierung des Satzes ==
[[Datei:Divergence theorem.svg|miniatur|Im Dreidimensionalen ist ein Gebiet ''V'' dargestellt, das von der geschlossenen Fläche ''S''=∂''V'' berandet wird, orientiert durch den äußeren Flächennormalvektor ''n''.]]

Es sei <math>V \subset \mathbb{R}^n</math> eine [[Kompakter Raum|kompakte Menge]] mit abschnittsweise glattem [[Rand (Topologie)|Rand]] <math>S = \partial V</math>, der Rand sei orientiert durch ein äußeres [[Normalenvektor|Normaleneinheitsvektorfeld]] <math>\vec n</math>. Ferner sei das [[Vektorfeld]] <math>\vec F</math> stetig differenzierbar auf einer offenen Menge <math>U</math> mit <math>V \subseteq U</math>. Dann gilt

:<math>\int_V \operatorname{div} \vec F \; \mathrm d^{(n)}V = \oint_{S} \vec F \cdot \vec n\; \mathrm d^{(n-1)}S</math>

wobei <math>\vec F \cdot \vec n</math> das [[Standardskalarprodukt]] der beiden Vektoren bezeichnet.

== Beispiel ==
Ist <math>V := \{\vec x \in \R^3 \colon \| \vec x\|_2 \leq 1 \}</math> die abgeschlossene [[Einheitskugel]] im <math>\R^3</math>, dann gilt <math>S = \partial V = \{\vec x \in \R^3 \colon \| \vec x\|_2 = 1 \}</math> sowie <math>\vec n(\vec x) = \vec x</math>.

Für das Vektorfeld <math>\vec F \colon \R^3 \to \R^3</math> mit <math>\vec F(\vec x) = \vec x</math> gilt <math>\operatorname{div} \vec F(\vec x) = 3</math>.

Es folgt
:<math>\int_V \operatorname{div} \vec F \; \mathrm d^{3}V = \int_V 3 \; \mathrm d^3V = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi = 4 \pi</math>
sowie
:<math>\oint_{S} \vec F \cdot \vec n\; \mathrm d^{2}S = \oint_{S} \vec x \cdot \vec x \; \mathrm d^2S = \oint_{S}  1 \; \mathrm d^2 S = 4 \pi\,.</math>

Bei der Rechnung wurde verwendet, dass <math>\vec x \cdot \vec x = \|\vec x\|_2^2 = 1</math> für alle <math>\vec x \in S</math> gilt und dass die dreidimensionale Einheitskugel das Volumen <math>\tfrac{4}{3}\pi</math> und die Oberfläche <math>4 \pi</math> hat.

== Folgerungen ==
Aus dem gaußschen Integralsatz können weitere Identitäten hergeleitet werden. Zur Vereinfachung wird im Folgenden die Notation <math>\mathrm d\vec S:=\vec n\;\mathrm d^{(n-1)}S</math> und <math>\mathrm d V := \mathrm d^{(n)} V</math> sowie die [[Nabla-Operator|Nabla-Schreibweise]] verwendet.

*Wendet man den gaußschen Integralsatz auf das Produkt eines Skalarfeldes <math>f</math> mit einem Vektorfeld <math>\vec G</math> an, dann erhält man
::<math style="margin-left:2em">
 \int_V\left(\left(\nabla f\right) \cdot \vec{G} + f \left(\nabla\cdot \vec{G}\right)\right) \mathrm dV
  =\int_V\nabla\cdot\left(f \vec{G}\right) \mathrm dV  
  = \oint_{S}f \vec{G} \cdot \mathrm d\vec{S}\,.
</math>
:Betrachtet man den Spezialfall <math>\vec{G}=\nabla g</math>, dann erhält man die [[Greensche Formeln#Erste Greensche Identität|erste Greensche Identität]].
:Betrachtet man hingegen den Spezialfall <math>\vec{G}=\mathrm{const.}</math>, dann erhält man
::<math>\int_V\left(\nabla f\right)\mathrm{d}V = \oint_{S} f\,\mathrm d\vec S
</math>
:bzw., nach Komponenten aufgeschlüsselt,
::<math>\int_V \frac{\partial f}{\partial x_i} \,\mathrm dV = \oint_{S} f n_i \,\mathrm d^{\left(n-1\right)}S\,.
</math>

*Wendet man den gaußschen Integralsatz für <math>n = 3</math> auf das Kreuzprodukt zweier Vektorfelder <math>\vec{F}</math> und <math>\vec{G}</math> an, dann erhält man
::<math>\int_V \left(\vec{G}\cdot\left(\nabla\times\vec{F}\right) - \vec{F}\cdot \left( \nabla\times\vec{G}\right)\right)\, \mathrm dV = \int_V \left( \nabla \cdot \left(\vec{F}\times\vec{G} \right) \right) \, \mathrm{d}V 
= \oint_{S}\left(\vec{F}\times\vec{G}\right)\cdot \mathrm d\vec{S}\,.</math>
:Betrachtet man den Spezialfall  <math>\vec{G}=\mathrm{const.}</math>, dann erhält man
::<math>\int_V \left(\nabla\times\vec{F}\right)\, \mathrm dV = \oint_{S} \mathrm d\vec{S} \times\vec{F}\,.
</math>

*Wendet man den gaußschen Integralsatz auf Vektorfelder im ℝ<sup>n</sup> an, multipliziert die Integrale mit Basisvektoren ''ê<sub>1,2,...,n</sub>'' der [[Standardbasis]], nutzt die Eigenschaften des [[Dyadisches Produkt|dyadischen Produktes]] „⊗“ aus und addiert die Ergebnisse, erhält man die Verallgemeinerung auf [[Tensor]]en:<ref>{{Literatur
| Autor=[[Holm Altenbach]]
| Titel=Kontinuumsmechanik
| TitelErg=Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen
| Seiten=45
| Verlag=Springer-Verlag
| Ort=Berlin, Heidelberg
| Datum=2012
| ISBN=978-3-642-24118-5
| DOI=10.1007/978-3-642-24119-2}}</ref>
::<math>\begin{align}
\oint_S \vec{F}_i\cdot\mathrm{d}\vec{S}
=&
\int_V \nabla\cdot\vec{F}_i\,\mathrm{d}V
=
\int_V \operatorname{div}\vec{F}_i\,\mathrm{d}V\,,\quad i=1,2,...,n
\\
\rightarrow\sum_{i=1}^n\oint_S \vec{F}_i\cdot\mathrm{d}\vec{S}\;\hat{e}_i
=&
\oint_S \sum_{i=1}^n (\hat{e}_i\otimes\vec{F}_i)\cdot\mathrm{d}\vec{S}
\\
=&
\sum_{i=1}^n \int_V \nabla\cdot\vec{F}_i\,\mathrm{d}V\; \hat{e}_i
=
\int_V \sum_{i=1}^n \nabla\cdot(\vec{F}_i\otimes\hat{e}_i)\,\mathrm{d}V
\\
\rightarrow
\oint_S \mathbf{T}^\top\cdot\mathrm{d}\vec{S}
=& 
\int_V(\nabla\cdot\mathbf{T})\,\mathrm{d}V
\end{align}</math>
: Das Superskript ⊤ steht für die [[Transponierte Matrix|Transposition]]. Mit dem Divergenzoperator <math>\operatorname{div}(\mathbf{T}):=\nabla\cdot(\mathbf{T}^\top)</math> schreibt sich das:<ref>{{Literatur
| Autor=[[Morton Gurtin|M. E. Gurtin]]
| Herausgeber=[[Siegfried Flügge|S. Flügge]]
| Titel=The Linear Theory of Elasticity
| Sammelwerk=Handbuch der Physik
| Band=Bd. VI2/a, Bandherausgeber [[Clifford Truesdell|C. Truesdell]]
| Seiten=16
| Verlag=Springer
| Jahr=1972
| ISBN=3-540-05535-5}}</ref>
::<math>\oint_S \mathbf{T}\cdot\mathrm{d}\vec{S}
= \int_V\operatorname{div}(\mathbf{T})\,\mathrm{d}V
</math>

*Wendet man den gaußschen Integralsatz <math>n = 1</math> auf die Ableitung einer reellen Funktion <math>f</math> auf dem Intervall <math>[a,b]</math> an, dann erhält man den [[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]. Die Auswertung des Integrals an den Intervallenden im Hauptsatz entspricht dabei der Auswertung des Randintegrals im Divergenzsatz.
::<math>\int_{[a,b]} \frac{\mathrm df}{\mathrm dx} \, \mathrm dx = \oint_{\partial[a,b]} f \cdot \, \mathrm d\vec{S} = f(b)-f(a)\,.</math>

== Anwendungen ==
=== Flüssigkeiten, Gase, Elektrodynamik ===
Der Satz wird genutzt zur Beschreibung der [[Massenerhaltung|Erhaltung von Masse]], [[Impulserhaltung|Impuls]] und [[Energieerhaltungssatz|Energie]] in einem beliebigen Volumen: Das Integral der Quellenverteilung (Summe der Divergenz eines Vektorfeldes) über das Volumen im Innern einer Hülle multipliziert mit einer Konstanten ergibt den gesamten Durchfluss (das Hüllenintegral) der gesamten Strömung durch die Hülle dieses Volumens.

=== Gravitation ===
{{Siehe auch|Newtonsches_Gravitationsgesetz#Ausgedehnte Körper|titel1=Newtonsches Schalentheorem}}
Im Gravitationsfeld erhält man: Das Oberflächenintegral ist -4π[[Gravitationskonstante|G]] mal die Masse innen, solange die Masse darin [[radialsymmetrisch]] verteilt ist (konstante Dichte bei gegebener Entfernung vom Mittelpunkt) und unabhängig von irgendwelchen (ebenfalls radialsymmetrisch verteilten) Massen außerhalb. Insbesondere gilt: Die ganze Sphäre außerhalb einer Kugel hat keinen (zusätzlichen) Einfluss, sofern ihre Masse radialsymmetrisch verteilt ist. Allein die Summe der Quellen und Senken im Innengebiet wirken.

=== Partielle Integration im Mehrdimensionalen ===
Der gaußsche Integralsatz führt auf eine Formel zur [[Partielle_Integration|partiellen Integration]] im Mehrdimensionalen
:<math>
 \int_\Omega \varphi\, \operatorname{div}\,  \vec v  \; \mathrm d V = \int_{\partial \Omega} \varphi\, \vec v \cdot \mathrm d \vec S - \int_\Omega  \vec v\cdot \operatorname{grad}\, \varphi  \; \mathrm dV
</math>.

== Bedeutung ==
Der gaußsche Integralsatz findet in vielen Bereichen der Physik Anwendung, vor allem in der [[Elektrodynamik]] und der [[Fluiddynamik]]. Dort wird die Bedeutung des Satzes besonders anschaulich: Beschreibt das Vektorfeld <math>\vec F</math> fließendes Wasser in einem gewissen Raumbereich, so beschreibt die Divergenz von <math>\vec F</math> gerade die Stärke von allen [[Quelle und Senke|Quellen und Senken]] in einzelnen Punkten. Möchte man nun wissen, wie viel Wasser aus einem bestimmten Bereich <math>V</math> insgesamt herausfließt, so ist intuitiv klar, dass man folgende zwei Möglichkeiten hat:
*Man untersucht bzw. misst, wie viel Wasser durch die Oberfläche von <math>V</math> aus- und eintritt. Dies entspricht dem Durchfluss von senkrechten Komponenten auf der Oberfläche als Oberflächenintegral.
*Man bilanziert (misst) im Innern des dadurch begrenzten Volumens, wie viel Wasser insgesamt innerhalb von <math>V</math> in Senken (Löchern) verschwindet und wie viel aus Quellen (Wasserzuflüssen) hinzukommt. Man addiert also die Effekte von Quellen und Senken. Dies wird alternativ und gleichwertig dann durch das Volumenintegral über die Divergenz realisiert.

Der gaußsche Integralsatz besagt, dass tatsächlich beide Möglichkeiten stets absolut gleichwertig zum Ziel führen. Er hat damit auch den Charakter eines [[Erhaltungssatz]]es.

== Geschichte ==
Der Satz wurde wahrscheinlich zum ersten Mal von [[Joseph Louis Lagrange]] im Jahre 1762 formuliert und unabhängig davon später von [[Carl Friedrich Gauß]] (1813), [[George Green]] (1825) und [[Michail Wassiljewitsch Ostrogradski|Michail Ostrogradski]] (1831) neu entdeckt. Ostrogradski lieferte auch den ersten formalen Beweis.

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Literatur ==
* [[Otto Forster]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im <math>\mathbb{R}</math><sup>n</sup> und Anwendungen'', 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2'', Springer, Berlin 2004.


{{SORTIERUNG:Gaussscher Integralsatz}}
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]
[[Kategorie:Vektoranalysis]]
[[Kategorie:Carl Friedrich Gauß als Namensgeber]]