Quelltext der Seite Freiheitsgrad

{{Dieser Artikel|beschreibt den Freiheitsgrad im Sinne physikalischer Systeme. Der Freiheitsgrad als Begriff der Statistik wird in [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)]] behandelt.}}
[[Datei:6DOF.svg|mini|hochkant=1.2|Die sechs Bewegungsfreiheiten eines Körpers im freien Raum (mit den [[Roll-Nick-Gier-Winkel|bei Fahrzeugen üblichen Bezeichnungen der Rotationsachsen]]): vor/zurück (''forward/back''), herauf/herunter (''up/down''), links/rechts (''left/right''), gieren (''yaw''), nicken (''pitch''), rollen (''roll'')]]
'''Freiheitsgrad''' bezeichnet im engen, mechanischen Sinn die Zahl der voneinander unabhängigen  Bewegungsmöglichkeiten. Üblich ist auch, eine solche Möglichkeit selbst als Freiheitsgrad zu bezeichnen.<ref>Eberhard Brommundt, Gottfried Sachs, Delf Sachau: ''Technische Mechanik. Eine Einführung.'' 4., verbesserte und erweiterte Auflage. Oldenbourg. München u.&nbsp;a. 2007, ISBN 978-3-486-58111-9, [https://books.google.de/books?id=LdpeoDUgJjMC&pg=PA47&ei=xi4kTq8Sw6jxA5_7gKgD&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10&ved=0CFgQ6AEwCQ#v=onepage S. 47 ff.]</ref> Erst dann gibt es mit ''die Freiheitsgrade'' den Plural, während ''der Freiheitsgrad'' eine [[dimensionslose Größe]] ist und im  Singular verbleibt.

Im allgemeineren Sinne ist Freiheitsgrad ein Synonym für jeden unabhängigen veränderlichen inneren oder äußeren [[Parameter (Mathematik)|Parameter]] eines [[System]]s.<ref>{{Internetquelle |url=http://www.spektrum.de/lexikon/physik/freiheitsgrad/5308 |titel=Freiheitsgrad |werk=Lexikon der Physik |hrsg=Spektrum Akademischer Verlag |abruf=2017-05-07}}</ref> Das System muss dabei folgende Eigenschaften haben:
* Es ist durch die Spezifizierung der Parameter eindeutig bestimmt.
* Wird ein Parameter weggelassen, so ist das System nicht mehr eindeutig bestimmt.
* Jeder Parameter kann verändert werden, ohne dass sich die anderen Parameter verändern.

Bei [[Kinematische Kette|kinematischen Ketten]] wird die Zahl der Bewegungsfreiheiten anstatt als ''der Freiheitsgrad'' bezugnehmend auf ''Bewegung/Laufen''  als ''der [[Laufgrad]]'' bezeichnet.<ref>Wolfgang H. Müller, Ferdinand Ferber: ''Technische Mechanik für Ingenieure.'' 3., neu bearbeitete Auflage. Fachbuchverlag Leipzig im Carl-Hanser-Verlag, München u.&nbsp;a. 2008, ISBN 978-3-446-41423-5.</ref> Ein [[starrer Körper]] im Raum hat demnach sechs Bewegungsfreiheiten, denn man kann ihnr in drei voneinander unabhängige [[Richtung]]en verschieben ([[Translation (Physik)|Translation]]) und um drei voneinander unabhängige Achsen drehen ([[Rotation (Physik)|Rotation]]).

== Mechanik ==
[[Datei:Double-Pendulum.svg|mini|hochkant=1|''Sich in einer Ebene bewegendes [[Doppelpendel]]:'' Das System hat zwei Bewegungsfreiheiten. Somit ist sein Zustand durch zwei Drehwinkel <math>\theta_1</math> und <math>\theta_2</math> auch vollständig be&shy;schrie&shy;ben.]]

Jeder Beweglichkeit eines physikalischen Systems entspricht einer unabhängigen [[Generalisierte Koordinate|verallgemeinerten Koordinate]], mit denen das System beschrieben werden kann.<ref>{{Literatur |Autor=Kurt Magnus, Hans H. Müller-Slany |Titel=Grundlagen der Technischen Mechanik |Auflage=7. |Verlag=Springer Fachmedien Wiesbaden |ISBN=978-3-8351-0007-7 |Seiten=165 |Online={{Google Buch |BuchID=vGd9BwAAQBAJ |Seite=165}}}}</ref>

Was mit dem Wort „unabhängig“ gemeint ist, sieht man an einem Beispiel: Angenommen, ein Teilchen befindet sich in einer [[Koordinatenebene|Ebene]] (z.&nbsp;B. auf einem Tisch) mit einem Koordinatensystem und kann sich in dieser Ebene nur entlang einer „schrägen“ [[Gerade]]n bewegen. Die Position des Teilchens kann dann durch eine einzige Zahl beschrieben werden. Es gibt dafür zwar verschiedene Möglichkeiten, z.&nbsp;B.
* die x-Koordinate des Teilchens (über die [[Geradengleichung]] lässt sich daraus dann auch die y-Koordinate eindeutig berechnen),
* die y-Koordinate (daraus lässt sich umgekehrt die x-Koordinate berechnen),
* die Winkel-Koordinate in einem [[Polarkoordinaten|polaren Koordinatensystem]]
* oder den Abstand von einem vorgegebenen festen Punkt auf der Geraden.
In jedem dieser Fälle reicht jedoch stets die Angabe eines einzelnen Werts zur Festlegung der Position. Das Teilchen besitzt daher nur einen Freiheitsgrad.

Die Zahl der verallgemeinerten Koordinaten ist eine [[Systemeigenschaften|Systemeigenschaft]]. Beispielsweise hat ein freier [[Massenpunkt]] im Raum drei Translationsfreiheiten, die seine Position festlegen. Da ein ''Punkt'' keine Ausdehnung hat, hat er jedoch keine Orientierung. Ein [[starrer Körper]]  (einer im "Großen") besitzt demgegenüber zusätzlich noch drei Rotationsfreiheiten, jeweils beschreibbar durch Dreh[[winkel]]. 

=== Holonome und nicht-holonome Systeme ===
Den Bewegungsfreiheiten im Großen, beispielsweise nach Grübler, stehen die Bewegungsfreiheiten ''im Kleinen'', das heißt bei infinitesimaler Betrachtung eines mechanischen Systems, gegenüber. Dabei gilt, dass die Bewegungsfreiheiten im Kleinen jeweils real kleiner, aber prinzipiel gleich derer im Großen sind. [[Holonom|Nicht-holonome]] Systeme sind solche, bei deren nicht-holonome (anholonome) Zwangsbedingungen vorhanden sind, weshalb die infinitesimale Bewegungsfreiheit der Systeme eingeschränkt ist.

=== Technische Mechanik und Grüblersche Gleichung ===
Gemäß der [[Grüblersche Gleichung|Grüblerschen Gleichung]] ist die Zahl der Bewegungsfreiheiten eines Systems, das aus vielen Teilsystemen gebildet wird, gleich der Summe der Bewegungsfreiheiten der Teilsysteme. Beispielsweise hat ein Auto in der Ebene drei Bewegungsfreiheiten (Positionswechsel entlang von x- und y-Koordinate sowie Fahrtrichtung). Ein einachsiger Anhänger hat prinzipiell vier Bewegungsfreiheiten, da er zusätzlich noch nach vorn und hinten kippen könnte. Wird der Anhänger an das Auto angehängt, hat das Gesamtsystem dennoch nur insgesamt vier Bewegungszustände (Positionswechsel entlang von x- und y-Koordinate, Drehung des [[Zugfahrzeug]]s sowie Änderung des Winkels, in dem der Anhänger zum Zugfahrzeug steht), da das Kippen sowie die unabhängige Bewegung des Anhängers durch die [[Anhängerkupplung]] unterbunden wird.

==== Freiheitsgrad als physikalische Größe ====
In der Technischen Mechanik (im engeren Sinne in der [[Kinematik]] und der [[Kinetik (Mechanik)|Kinetik]]) wird unter Freiheitsgrad bevorzugt die Zahl der Bewegungsfreiheiten in einem mechanischen System verstanden. Eine einzelne Bewegungsfreiheit wird dann nicht ''Freiheitsgrad'', sondern eine ''Freiheit der Bewegung'' oder eben eine ''Bewegungsfreiheit'' genannt. Der Freiheitsgrad, in dem mehrere Freiheiten der Bewegungen zusammengefasst sind, wird als [[physikalische Größe]] behandelt. Diese hat das Formelzeichen <math>f</math>. Ihr [[Größenwert]] ist eine dimensionslose [[ganze Zahl]]. Siehe auch [[Laufgrad]].

Grundsätzlich lassen sich folgende Fälle unterscheiden:
* Für <math>f \geq 1</math> kann sich das System bewegen (Mechanismus).
** Für <math>f > 1</math> ist das System ''in sich'' beweglich, d.&nbsp;h. die Bewegungen ''mehrerer'' Elemente müssen vorgegeben werden (z.&nbsp;B. mehrere [[Antrieb]]e), damit die Bewegungen aller Elemente definiert sind.
** Für <math>f = 1</math> liegt „[[Zwanglauf]]“ vor. Gibt man die Bewegung ''eines'' Elementes vor (z.&nbsp;B. ein Antrieb), sind auch die Bewegungen aller restlichen Elemente definiert. Beispiele: Ein Punkt bewegt sich entlang einer Linie. In einem (idealisierten) Zahnradgetriebe bewirkt die Drehung eines Zahnrads stets eine genau definierte Bewegung aller anderen Zahnräder.
** Bei <math>f = 2</math> können sich z.&nbsp;B. zwei Punkte eines Systems unabhängig voneinander jeweils entlang einer Linie bewegen, ein einzelner Punkt kann sich in einer Ebene bewegen, oder in einem Getriebe ist neben der Drehbewegung eine weitere Bewegung möglich, etwa wenn es sich in einen zweiten Gang schalten lässt.
* Für <math>f \leq 0</math> kann sich das System nicht bewegen.
** Für <math>f = 0</math> liegt ein [[statisch bestimmt]]es System vor, das nur genau eine Position einnehmen kann.
** Für <math>f < 0</math> liegt ein ''statisch überbestimmtes'' System vor, das nicht nur unbeweglich ist, sondern zusätzlich mit Kräften [[Beanspruchung (Technische Mechanik)#Beanspruchung in der technischen Mechanik|beansprucht]] wird.

=== Beispiel: Doppelpendel ===
Zwei freie [[Punktmasse]]n <math>m_1</math> und <math>m_2</math> haben im dreidimensionalen Raum jeweils drei Translationsfreiheiten, insgesamt also sechs. Ein [[Doppelpendel]], das über Drehgelenke verbunden ist, kann jedoch nur in einer Ebene schwingen, sodass seine Beweglichkeit durch folgende Zwangsbedingungen eingeschränkt ist (s.&nbsp;Abb.):
* <math>m_1</math> befindet sich in der <math>xy</math>-Ebene (<math>z_1 = 0</math>), <math>m_2</math> ebenso (<math>z_2=0</math>).
* Die Stäbe der beiden Pendel sind starr (<math>L_1 = \mathrm{const.}</math> und <math>L_2 = \text{const.}</math>). Jede Punktmasse kann sich daher nur auf einem [[Kreisbogen]] rund um den Kreismittelpunkt bewegen.
Diese vier Zwangsbedingungen reduzieren die Zahl der Bewegungsfreiheiten auf <math>f = 6 - 4 = 2</math>. Für die Beschreibung des Systems genügen daher die beiden Winkel <math>\theta_1</math> und <math>\theta_2</math> als unabhängige verallgemeinerte Koordinaten.

=== Beispiel: Gelenke ===
Im [[Gelenk (Technik)|Gelenk]] eines Mechanismus sind zwei Teile miteinander beweglich verbunden. Die Anzahl der möglichen Bewegungen in einem Gelenk-System sind eins bis fünf (von den prinzipiell sechs Bewegungsfreiheiten des ungebundenen [[Starrer Körper#Freiheitsgrade und Konfigurationsraum|starren Körpers]] wird mindestens eine im Gelenk unterbunden). Der Freiheitsgrad einfacher Gelenke ist eins bis drei. Darüber hinaus müssen mehrere einfache Gelenke kombiniert werden (Gelenk-System).

Bei einem Freiheitsgrad kleiner eins handelt es sich nicht um ein Gelenk, sondern um eine [[Einspannung]].

{| class="wikitable"
|-
! Gelenktyp                            !! Freiheitsgrad                                                                !! Abb.
|-
| Drehgelenk                           || <math>f = 1</math> → Drehung                                                 || ''Fig. 2.''
|-
| [[Schraube|Schraub]]<nowiki />gelenk || <math>f = 1</math> → auf Schraubenlinie schiebbar                            || ''Fig. 3.''
|-
| Drehschub-, Plattengelenk            || <math>f = 3</math> → Längs-, Querbewegung (über eine kurze Strecke), Drehung || ''Fig. 5.''
|-
| Drehschubgelenk                      || <math>f = 2</math> → Längsbewegung, Drehung                                  || ''Fig. 6.''
|-
| [[Kugelgelenk]]                      || <math>f = 3</math> → 3 Drehungen                                             || ''Fig. 7.''
|-
|colspan="3" style="background:#FFF; text-align:center;" | [[Datei:L-gliederpaare.png|500px]]
|}

== Thermodynamik und statistische Mechanik ==
=== Freiheitsgrade eines Massenpunkts ===
Ein [[Massenpunkt]] kann (bezogen auf seinen Schwerpunkt) weder rotieren noch schwingen, sondern nur in den drei Raumrichtungen bewegen. Er hat
: <math>f = 3</math>
Freiheitsgrade. Die Atome einatomiger Gase wie die [[Edelgas]]e zeigen ein dementsprechendes [[Thermodynamik|thermodynamisches]] Verhalten, solange ihre thermische Energie unterhalb der Anregungsschwelle innerer angeregter Zustände bleibt.

=== Freiheitsgrade der Moleküle ===
[[Datei:Thermally Agitated Molecule.gif|mini|Komplexe Moleküle besitzen sehr viele Freiheitsgrade.]]

Jedes [[Molekül]] mit <math>n</math> [[Atom]]en hat allgemein
: <math>f = 3n</math>
Freiheitsgrade, weil man für jedes Atom drei [[Koordinaten]] braucht, um seine Position zu definieren. Diese kann man formal in Translations-, Rotations- und innere Schwingungsfreiheitsgrade einteilen:

:<math>\begin{align}
                         f & = f_\mathrm{trans} + f_\mathrm{rot} + f_\mathrm{vib}\\
\Rightarrow f_\mathrm{vib} & = 3n - f_\mathrm{trans} - f_\mathrm{rot}
\end{align}</math>

Für <math>n</math>-atomige Moleküle gilt:

{| class="wikitable"
|-
! || lineare Moleküle || nicht lineare Moleküle
|-
| <math>f_\mathrm{trans}</math> || <math>3</math> || <math>3</math>
|-
| <math>f_\mathrm{rot}</math> || <math>2</math> || <math>3</math>
|-
| <math>f_\mathrm{vib}</math> || <math>3n - 5</math> || <math>3n - 6</math>
|-
| Summe <math>f</math> || <math>3n</math> || <math>3n</math>
|}

[[Komplexität|Komplexe]] Moleküle mit vielen Atomen haben daher viele Schwingungsfreiheitsgrade (siehe [[Molekülschwingung]]) und liefern somit einen hohen Beitrag zur [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]].

Bei Molekülen, die auf [[Oberflächenchemie|Festkörperoberflächen]] adsorbiert sind, kann die Anzahl an Freiheitsgrade reduziert sein. Beispielsweise kann statt drei Rotationsfreiheitsgraden eines Moleküls in der [[Gas]]phase für das [[Adsorption|adsorbierte]] Molekül nur einer möglich sein. Gleiches gilt für Translationsfreiheitsgrade, die z.&nbsp;B. von drei (Gasphase) zu nur zwei im Fall der [[Adsorption]] werden können.
Aufgrund der diskreten [[Energieniveau]]s der [[Quantenmechanik]] können ''bei niedrigen Energien'' meist ''nicht alle'' <math>f</math> Freiheitsgrade angeregt werden, da der erste [[Angeregter Zustand|angeregte Zustand]] bereits eine zu hohe Energie besitzt. Dadurch kann ein System bei einer gegebenen Temperatur effektiv weniger Freiheitsgrade haben:

:<math>f_\mathrm{eff} = f - r</math>

Liegen zwischen Atomen <math>r</math> starre Bindungen vor, so reduziert sich die Anzahl der effektiven Freiheitsgrade. Zum Beispiel hat ein Atom bei [[Raumtemperatur]] effektiv nur die drei Translationsfreiheitsgrade, da die mittlere Energie so niedrig ist, dass atomare Anregungen praktisch nicht vorkommen.

Das Konzept der Freiheitsgrade aus der Mechanik taucht auch in der [[Statistische Mechanik|statistischen Mechanik]] und [[Thermodynamik]] auf: Die [[Energie]] eines [[Thermodynamisches System|thermodynamischen Systems]] verteilt sich gemäß dem [[Äquipartitionstheorem]] gleichmäßig auf die einzelnen Freiheitsgrade. Die Zahl der Freiheitsgrade geht in die [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]] ein, die ein Maß für die Zahl der erreichbaren [[Zustand (Thermodynamik)|Zustände]] ist. Thermodynamische Systeme haben generell sehr viele Freiheitsgrade, etwa in der Größenordnung von&nbsp;10<sup>23</sup>, der Größenordnung der [[Avogadro-Konstante]]n, da sie üblicherweise [[Stoffmenge]]n in der Größenordnung eines [[Mol]]s enthalten. Es können allerdings viele gleichartige Systeme mit jeweils nur wenigen Freiheitsgraden zustande kommen, z.&nbsp;B.&nbsp;10<sup>23</sup> Atome mit effektiv (s.&nbsp;u.) je drei Freiheitsgraden.

Man kann die [[innere Energie]] <math>U</math> eines [[Ideales Gas|idealen Gases]] mit <math>N</math> [[Teilchen]] in Abhängigkeit von der [[Temperatur]] <math>T</math> und der Anzahl <math>f_U</math> der Freiheitsgrade eines Gasteilchens angeben:

: <math>U = N \cdot \frac{f_U}{2} \cdot k_\mathrm{B} \cdot T</math>

mit der [[Boltzmann-Konstante]] <math>k_\mathrm{B}</math>.

Hierbei ist wichtig, dass [[Schwingung]]en bei der Bestimmung von <math>f_U</math> doppelt gezählt werden, da sie sowohl [[Kinetische Energie|kinetische]] als auch [[potentielle Energie]] besitzen (s.&nbsp;u.):

: <math>f_U = f_\mathrm{trans} + f_\mathrm{rot} + 2 \cdot f_\mathrm{vib}</math>

{| class="wikitable"
|-
! Stoff || colspan = "6" | Freiheitsgrade
|-
|       || <math>f_\mathrm{trans}</math> || <math>f_\mathrm{rot}</math> || <math>f_\mathrm{vib}</math> || <math>f</math> || <math>f_\mathrm{eff} </math> || <math>f_U</math>
|-
| Gasmolekül, 1-atomig || 3 || 0 || 0 || 3 || 3 || {{0}}3
|-
| Gasmolekül, 2-atomig || 3 || 2 || 1 || 6 || 5 || {{0}}7
|-
| Gasmolekül, 3-atomig linear || 3 || 2 || 4 || 9 || 7 || 13
|-
| Gasmolekül, 3-atomig gewinkelt || 3 || 3 || 3 || 9 || 6 || 12
|-
| 1 Atom im [[Festkörper]] || 0 || 0 || 3 || 3 || || {{0}}6
|}

Ein zweiatomiges Molekül wie molekularer [[Wasserstoff]] hat –&nbsp;neben den elektronischen Anregungen&nbsp;– sechs Freiheitsgrade: drei der [[Translation (Physik)|Translation]], zwei der [[Rotation (Physik)|Rotation]], und einen '''Schwingungsfreiheitsgrad'''. Rotation und Schwingung sind [[Quantisierung (Physik)|quantisiert]] und bei geringer Gesamtenergie eines Moleküls können Rotations- und Schwingungszustände über dem Grundzustand nicht angeregt werden; man sagt, diese Freiheitsgrade seien „eingefroren“. Rotation wird bereits ab mittleren, Schwingung erst bei höheren Temperaturen angeregt. So verhalten sich die meisten zweiatomigen Gase wie z.&nbsp;B. Wasserstoff, [[Sauerstoff]] oder [[Stickstoff]] unter [[Normalbedingungen]] effektiv so, als hätten die Einzelmoleküle nur fünf Freiheitsgrade, was sich am [[Adiabatenexponent]]en ablesen lässt. Bei sehr tiefen Temperaturen haben sie nur drei Freiheitsgrade, bei hohen Temperaturen sind dem System alle Freiheitsgrade zugänglich.

=== Freiheitsgrade der Zustandsgrößen ===
Die thermodynamischen Freiheitsgrade der [[Zustandsgröße]]n auf [[makroskopisch]]er Ebene ergeben sich für beliebige Systeme im [[Thermodynamisches Gleichgewicht|thermodynamischen Gleichgewicht]] über die [[Gibbssche Phasenregel]].<ref>Karl Stephan, Franz Mayinger: ''Thermodynamik''. Band 2. 14., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer 1999, ISBN 3-540-64481-4, [https://www.google.de/books/edition/Thermodynamik/_BIdBgAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=freiheitsgrade&pg=PA74&printsec=frontcover S.&nbsp;74.]</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Klassische Mechanik]]
[[Kategorie:Technische Mechanik]]
[[Kategorie:Thermodynamik]]