Quelltext der Seite Fourier-Transformation

{{Dieser Artikel|beschäftigt sich mit der Fourier-Transformation für aperiodische Funktionen. Oftmals versteht man unter Fourier-Transformation auch das Bilden der Fourier-Koeffizienten einer [[Fourier-Reihe]].}}

Die '''Fourier-Transformation''' (genauer die '''kontinuierliche Fourier-Transformation'''; Aussprache: {{IPA|[fuʁie]}}) ist eine mathematische Methode aus dem Bereich der [[Fourier-Analysis|Fourier-Analyse]], mit der [[Aperiodisch|aperiodische]] Signale in ein kontinuierliches [[Frequenzspektrum|Spektrum]] zerlegt werden. Die Funktion, die dieses Spektrum beschreibt, nennt man auch '''Fourier-Transformierte''' oder '''Spektralfunktion'''. Es handelt sich dabei um eine [[Integraltransformation]], die nach dem Mathematiker [[Jean Baptiste Joseph Fourier]] benannt ist. Fourier führte im Jahr 1822 die [[Fourier-Reihe]] ein, die jedoch nur für periodische Signale definiert ist und zu einem diskreten Frequenzspektrum führt.

Es gibt einige Anwendungsfälle, in denen die Fourier-Transformation mittels eines Computers berechnet werden soll. Dafür wurde die [[Diskrete Fourier-Transformation]] beziehungsweise die [[Schnelle Fourier-Transformation]] eingeführt.

== Definition ==
Sei <math>f \in L^1(\R^n)</math>, <math>f: \R^n \to \C</math>, eine integrierbare Funktion, wobei <math>L^1</math> den [[Lp-Raum|Lebesgue-Raum]] bezeichnet. Die (kontinuierliche) Fourier-Transformierte <math>\mathcal{F}f</math> von <math>f</math> ist definiert durch
:<math>(\mathcal{F}f)(y)
  = \frac{1}{\sqrt{2\pi}^{\ n}}
      \int_{\R^n} f(x)\,\mathrm e^{-\mathrm{i} y \cdot x} \,\mathrm{d} x  
      \quad \in L^{\infty}(\R^n)</math>
wobei <math>(\mathcal{F}f)(y): \R^n \to \C</math> und die zugehörige inverse Transformation lautet für <math>(\mathcal{F}f)(y) \in L^1(\R^n)</math>:
:<math>f(x)
  = \frac{1}{\sqrt{2\pi}^{\ n}} \int_{\R^n} (\mathcal{F}f)(y)\, \mathrm e^{\mathrm{i} y \cdot x} \,\mathrm{d} y \quad \in L^{\infty}(\R^n)\;.</math>
Dabei gilt: <math>\mathrm{d} x</math> und <math>\mathrm{d} y</math> sind <math>n</math>-dimensionale [[Volumenelement]]e, <math>\mathrm{i}</math> die [[imaginäre Einheit]] und <math>y \cdot x</math> das [[Standardskalarprodukt]] der Vektoren <math>y</math> und <math>x</math>.

Die Normierungskonstante ist in der Literatur nicht einheitlich. In der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren und in der Signalverarbeitung ist es üblich, den Faktor <math>1/(2\pi)^{n/2}</math> in der Transformation wegzulassen, sodass stattdessen die Rücktransformation den Vorfaktor <math>1/(2\pi)^n</math> erhält. Die Transformation lautet dann:

:<math>
(\mathcal{F}f)(y)
  = \int_{\R^n} f(x)\, \mathrm e^{-\mathrm{i} y \cdot x} \,\mathrm{d} x\;,
</math>
:<math>
f(x)
  = \frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\R^n} (\mathcal{F}f)(y)\, \mathrm e^{\mathrm{i} y \cdot x} \,\mathrm{d} y\;.
</math>

Hier taucht ein Vorfaktor auf, so dass die Anwendung des [[Satz von Plancherel|Satzes von Plancherel]] nicht direkt möglich ist, weil die Fouriertransformation dann keine [[unitäre Abbildung]] mehr auf <math>L^1( \mathbb{R}^n)\cap L^2( \mathbb{R}^n)</math> ist und so die [[Signalleistung]] ändert. Dies kann jedoch (wie bei allen Orthogonaltransformationen) einfach durch eine Substitution (Reskalierung der Abszisse) ausgeglichen werden und stellt damit kein grundlegendes Problem dar. Genau dies wird in der Literatur zu Signalverarbeitung und Systemtheorie vorgeschlagen, indem von der natürlichen Frequenz auf die Kreisfrequenz  <math>\omega=2\pi y</math> (die den Faktor beinhaltet) übergegangen wird:

:<math>
(\mathcal{F}f)(y)
  = \int_{\R^n} f(x)\, \mathrm e^{-2\pi \mathrm{i} y \cdot x} \,\mathrm{d} x\;
  = \int_{\R^n} f(x)\, \mathrm e^{-\mathrm{i} \omega \cdot x} \,\mathrm{d} x\;
</math>
:<math>
f(x)
  = \int_{\R^n} (\mathcal{F}f)(y)\, \mathrm e^{2\pi \mathrm{i} y \cdot x} \,\mathrm{d} y\;
= \int_{\R^n} (\mathcal{F}f)(y)\, \mathrm e^{\mathrm{i} \omega \cdot x} \,\mathrm{d} y\;.
</math>

Die reelle Form der Fourier-Transformation wird als [[Hartley-Transformation]] bezeichnet. Für reelle Funktionen <math>f</math> kann die Fourier-Transformation durch die [[Sinus- und Kosinus-Transformation]] substituiert werden.

== Anwendungsfälle ==

=== Kompressionsverfahren für die digitale Kommunikation ===
Die Kompression von digitalen Daten auf Basis der Fourier-Transformation ist eine zentrale Technologie für Kommunikation, Datenaustausch und [[Streaming Media|Streaming]] von Medien im (mobilen) Internet.<ref>{{Internetquelle |autor=Martin Donner |url=https://www.musikundmedien.hu-berlin.de/de/medienwissenschaft/medientheorien/hausarbeiten_essays/pdfs/fourier-neue-medien-web.pdf |titel=Fouriers Beitrag zur Geschichte der Neuen Medien |werk=Humboldt-Universität zu Berlin |datum=2006 |sprache=de |abruf=2021-07-30}}</ref>

Beispielsweise wird zur Kompression von Audio-Daten (etwa um eine [[MP3]] Datei zu erzeugen) das Audio-Signal in den Frequenz-Raum transformiert. Die Transformation erfolgt über das Verfahren der [[Modifizierte diskrete Kosinustransformation|(modifizierten) diskreten Kosinustransformation]], welches der [[Schnelle Fourier-Transformation|schnellen Fourier-Transformation]] ähnelt. Neben weiteren Methoden zur Datenreduktion werden im Frequenzraum alle Frequenzen, die Menschen nicht hören können oder die nur wenig zum subjektiven Empfinden des Klangs beitragen, entfernt. Das Ergebnis wird im letzten Schritt aus dem Frequenz-Raum [[Fourier-Transformation#Rücktransformationsformel|rücktransformiert]] – daraus erhält man, auf Grund des verringerten Frequenzumfangs, eine deutlich kleinere (komprimierte) Audio-Datei.<ref>{{Internetquelle |autor=Dirk Schulze |url=https://tu-dresden.de/ing/informatik/ti/vlsi/ressourcen/dateien/dateien_studium/dateien_lehstuhlseminar/vortraege_lehrstuhlseminar/hs_ss08/Vortrag.pdf?lang=en |titel=Digitale Audiokodierung mit  MP3, Varianten und  Anwendungsgebiete |werk=Technische Universität Dresden |datum=2008 |abruf=2021-07-30}}</ref>

In vergleichbaren Verfahren können Bilder ([[JPEG]] Kompression) oder Filme ([[MPEG-4]]) komprimiert werden.

=== Signalanalyse ===
In der [[Signalanalyse]] werden mittels Fourier-Transformation [[Frequenzanalyse]]n von Signalen durchgeführt. Hierzu wird das Verfahren der [[Diskrete Fourier-Transformation|diskreten Fourier-Transformation]] bzw. der [[Schnelle Fourier-Transformation|schnellen Fourier-Transformation]] genutzt. Ein Beispiel für die [[Schnelle Fourier-Transformation#Anwendungen|Vielzahl von technischen Anwendungen]] ist die Nutzung der Signalanalyse bei der Erstellung von Bildern mittels [[Magnetresonanztomographie]].<ref>{{Internetquelle |autor=Johannes Klotz |url=https://diglib.uibk.ac.at/ulbtirolhs/content/titleinfo/3580370/full.pdf |titel=Grundlagen der Fourier-Transformation und deren Anwendung in der Magnetresonanztomographie (MRT) |hrsg=Universität Innsbruck |datum=2019-04-30 |abruf=2021-07-30}}</ref>

=== Beispiel Signalanalyse in der Akustik ===
Der reine [[Kammerton]] <math>\bar{a}</math> ist eine Sinuswelle mit der Frequenz 440&nbsp;Hz, also 440 Schwingungen pro Sekunde. Eine ideale Stimmgabel gibt genau dieses Sinussignal ab. Der gleiche Ton gespielt mit einem anderen Musikinstrument (nicht-ideale Stimmgabel), ist eine Zusammensetzung/Überlagerung aus Wellen verschiedener Wellenlängen. Diese sind bezüglich ihrer Frequenz normalerweise ganzzahlige Vielfache der Frequenz des Grundtons. Die Zusammensetzung und jeweilige Amplitude dieser Wellen ist bestimmend für die [[Klangfarbe]] jedes Musikinstruments. Nur die Welle mit der größten Wellenlänge, der [[Grundfrequenz|Grundton]] des Signals, hat dabei die Frequenz 440&nbsp;Hz. Die anderen Wellen, die [[Harmonische|Obertöne]], haben höhere Frequenzen.

An der Fourier-Transformierten des Tonsignals kann man direkt die verschiedenen Frequenzen/Wellenlängen der Wellenzusammensetzung ablesen. Diese Eigenschaft kann man beispielsweise für die automatische Erkennung von Tonhöhen und Musikinstrumenten in einem Tonsignal ausnutzen.

== Beispiele ==

=== Wellenpaket im Zeit- und Frequenzbereich ===
Gegeben sei ein Signalimpuls als Summe zweier Cosinus-Funktionen mit Frequenzen <math>f_1 = 2{,}5\,\mathrm{Hz}</math> und <math>f_2 = 7\,\mathrm{Hz},</math> multipliziert mit einer [[Normalverteilung|Gauß-Glocke]] der Breite <math>\sigma_t = (2\pi)^{-0,5}\,\mathrm s \approx 0{,}4\,\mathrm s</math>:

[[Datei:Dual-freq wave packet Fourier-transformed.svg|mini|Oben das Wellenpaket <math>y(t)</math> im Zeitbereich, darunter dessen Amplitudenspektrum <math>|\mathcal F y|(f)</math>]]

: <math>y(t) = (4 \cos 2\pi f_1 t + 2 \cos 2\pi f_2 t)\,\mathrm e^{-0,5(t/\sigma_t)^2}</math>
Die spezielle Breite wurde gewählt, weil damit der Exponentialterm ohne weiteren Vorfaktor die Fläche 1&nbsp;s hat. Er hat somit auch die Amplitude 1, sodass der Funktionswert bei <math>t=0</math> die Summe der Kosinus-Amplituden ist <math>(4 + 2 = 6)</math>. 

Das obere Teildiagramm zeigt den Funktionsgraphen <math>y(t)</math>. Darunter dargestellt ist das Amplitudenspektrum, also der Betrag der Fourier-Transformierten, die eine komplexwertige Funktion der Frequenz <math>f</math> ist. Es besteht aus vier gaußförmigen Spektrallinien bei <math>\pm f_1</math> und <math>\pm f_2</math>. Die Linienbreite beträgt jeweils <math>\sigma_f = (2\pi)^{-0,5}\,\mathrm{Hz} \approx 0{,}4\,\mathrm{Hz}</math>. Ein breiteres Wellenpaket würde zu schmaleren Spektrallinien führen. Das Produkt der Breiten im Zeit- und Frequenzbereich ist dimensionslos und beträgt für gaußförmige Hüllkurven stets <math>\sigma_t\sigma_f = (2\pi)^{-1}</math>, eine Art [[Unschärferelation]]. Das Produkt wäre 1 bei Verwendung der ''Kreis''frequenz.

Falls <math>y</math> eine [[physikalische Größe]] ist, was bedeuten dann die Werte des Amplitudenspektrums? Für die Achsbeschriftung der Diagramme wurde vereinfacht angenommen, dass <math>y^2</math> als [[Leistungsgröße]] direkt die Einheit [[Watt (Einheit)|Watt]] hat, <math>y</math> als sog. ''Feldgröße'' also die Einheit √Watt. Damit beträgt die mittlere Leistung der beiden Kosinusfunktionen 0,5·4<sup>2</sup> bzw. 0,5·2<sup>2</sup>&nbsp;Watt, zusammen 10&nbsp;Watt, zu multiplizieren mit der Fläche der quadrierten Hüllkurve. Die Hüllkurve selbst ist normiert, Fläche 1&nbsp;s. Ihr Quadrat ist wieder eine Gauß-Glocke, hat gleiche Höhe (1), aber halbe Varianz, Fläche 1&nbsp;s/√2. Damit beträgt die Energie des Wellenpakets etwa 7,07&nbsp;[[Joule]]. Die numerische Integration, siehe den Python-Code auf der Bildbeschreibungsseite, liefert den gleichen Wert, auch für das Energiespektrum (Quadrat des Amplitudenspektrums). Die Werte des Amplitudenspektrums haben folglich die Einheit √Joule pro Hz. Da die Zahlenwerte der Breiten im Zeit- und Frequenzraum (nicht zufällig) gleich sind und die Zahl der Komponenten sich verdoppelt <math>(\pm f)</math>, halbieren sich die Zahlenwerte der Amplituden (Linienhöhen).

=== Beispielhafte Berechnung einer Fourier-Transformierten ===
Es soll das Frequenzspektrum einer gedämpften Schwingung mit ausreichend schwacher Dämpfung untersucht werden. Diese kann durch folgende Funktion beschrieben werden:

: <math> f(t) = x_0 \cdot \mathrm e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \cos(\omega_{\rm s} t) \Theta(t)</math>

oder in komplexer Schreibweise:

: <math> f(t) = x_0 \cdot \mathrm e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \tfrac{1}{2} (\mathrm e^{\mathrm{i}\omega_{\rm s} t}+\mathrm e^{-\mathrm{i}\omega_{\rm s} t}) \Theta(t)\;. </math>

Hier ist <math>x_0</math> die [[Amplitude]] und <math>\omega_{\rm s}</math> die [[Kreisfrequenz]] der Schwingung, <math>\tau</math> die Zeit, in der die Amplitude um den Faktor <math>1/e</math> abfällt, und <math>\Theta(t)</math> die [[Heaviside-Funktion]].
Das heißt, die Funktion ist nur für positive Zeiten nicht null.

Man erhält

: <math>\begin{align}
F(\omega)=(\mathcal{F}f)(\omega)
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}
     \int_{-\infty}^\infty f(t) \mathrm e^{-\mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d} t\\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}
     \int_{-\infty}^\infty x_0 \cdot \mathrm e^{-t/\tau}
           \cdot \tfrac{1}{2}
           \left(\mathrm e^{\mathrm{i}\omega_{\rm s} t}+\mathrm e^{-\mathrm{i}\omega_{\rm s} t}\right)
           \Theta(t) \cdot \mathrm e^{-\mathrm{i} \omega t}
           \,\mathrm{d} t\\
&= \frac{x_0}{\sqrt{2 \pi}}
      \int_{0}^\infty
        \mathrm e^{-t/\tau}
        \cdot \tfrac{1}{2}
        \left(\mathrm e^{\mathrm{i}\omega_{\rm s} t}+\mathrm e^{-\mathrm{i}\omega_{\rm s} t}\right)
        \cdot \mathrm e^{-\mathrm{i} \omega t}
        \,\mathrm{d} t\\
&= \frac{x_0}{2 \sqrt{2 \pi}}
     \int_{0}^\infty
     \left(
       \mathrm e^{-t\left(1/\tau - \mathrm{i}(\omega_{\rm s} - \omega)\right)}
     + \mathrm e^{-t\left(1/\tau + \mathrm{i}(\omega_{\rm s} + \omega)\right)}
     \right)
     \,\mathrm{d} t\\
&= \frac{x_0}{2 \sqrt{2 \pi}}
     \left[
     - \frac{1}{1/\tau -\mathrm{i}(\omega_{\rm s} - \omega ) }
        \mathrm e^{-t\left(1/\tau - \mathrm{i}(\omega_{\rm s} - \omega)\right)}
     - \frac{1}{1/\tau +\mathrm{i}(\omega_{\rm s} + \omega ) }
       \mathrm e^{-t\left(1/\tau + \mathrm{i}(\omega_{\rm s} + \omega)\right)}
     \right]_0^\infty\\
&= \frac{x_0}{2 \sqrt{2 \pi}}
     \left(
       \frac{1}{1/\tau - \mathrm{i}(\omega_{\rm s} - \omega)}
     + \frac{1}{1/\tau + \mathrm{i}(\omega_{\rm s} + \omega)}
     \right)\\
&= \frac{x_0}{\sqrt{2 \pi}}
     \frac{
       1/\tau + \mathrm{i} \omega
     }{
       (1/\tau + \mathrm{i} \omega)^2 + \omega_{\rm s}^2
     }\,.
\end{align}</math>

== Eigenschaften ==
=== Linearität ===
Die Fourier-Transformation <math>\mathcal{F}</math> ist ein [[linearer Operator]]. Das heißt, es gilt
<math>\mathcal{F}(a \cdot f + b \cdot g) = a \cdot \mathcal{F}(f) + b \cdot \mathcal{F}(g)</math>.

=== Stetigkeit ===
Die Fourier-Transformation ist ein stetiger Operator vom [[Lp-Raum|Raum der integrierbaren Funktionen]] <math>L^1(\R^n)</math> in den [[C0-Funktion|Raum der Funktionen <math>C_0(\R^n)</math>, die im Unendlichen verschwinden]]. Mit <math>C_0(\R^n)</math> ist die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet, welche für <math>|x| \to \infty</math> verschwinden. Die Tatsache, dass die Fourier-Transformierten im Unendlichen verschwinden, ist auch als [[Lemma von Riemann-Lebesgue]] bekannt. Außerdem gilt die Ungleichung
: <math>\|\mathcal{F}f\|_{L^\infty(\R^n)} \leq \frac{1}{(\sqrt{2\pi})^n}\|f\|_{L^1(\R^n)}</math>.

=== Differentiationsregeln ===
Sei <math>f \in S(\R^n) \subset L^1(\R^n)</math> eine [[Schwartz-Raum|Schwartz-Funktion]] und <math>\alpha \in \N_0^n</math> ein [[Multiindex]]. Dann gilt
* <math>\mathcal{F}f \in S(\R^n)</math> und <math>D^\alpha(\mathcal{F}f) = (-{\rm i})^{|\alpha|} \mathcal{F}(x^\alpha f)</math>.
* <math>(\mathcal{F}(D^\alpha f))(\xi) = {\rm i}^{|\alpha|} \xi^\alpha (\mathcal{F}f)(\xi)</math>.

=== Fixpunkt ===
Die Dichtefunktion
: <math>\varphi(x)=\frac {1}{(2\pi)^{n/2}} \cdot \mathrm e^{-\frac {1}{2} \|x\|^2}</math>
mit <math>x\in \R^n</math> der (<math>n</math>-dimensionalen) Gauß’schen [[Normalverteilung]] ist ein [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]] der Fourier-Transformation. Das heißt, es gilt für alle <math>x \in \R^n</math> die Gleichung
: <math> (\mathcal{F}\varphi)(x) = \varphi(x)</math>.
Insbesondere ist also <math>\varphi</math> eine [[Eigenfunktion]] der Fourier-Transformation zum [[Eigenwert]] <math>1</math>. Mit Hilfe des [[Residuensatz]]es oder mit Hilfe [[Partielle Integration|partieller Integration]] und Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung kann in diesem Fall das Fourier-Integral <math>\textstyle \tfrac {1}{(2\pi)^n} \int_{\R^n} \mathrm e^{{\rm i}x\cdot\xi}\mathrm e^{-\frac{1}{2} x^2} \mathrm{d} x</math> bestimmt werden.

=== Spiegelsymmetrie ===
Für <math>f \in S(\R^n)</math> gilt für alle <math>x \in \R^n</math> die Gleichung
: <math>(\mathcal{F}^2 f)(x) = (\mathcal{F}(\mathcal{F} f))(x) = f(-x)</math>.
Äquivalent lässt sich dies auf dem Schwartzraum <math>S(\R^n)</math> als Operatorgleichung
: <math>\mathcal{F}^2 = \mathcal{P}</math>
schreiben, wobei
: <math>\mathcal{P}:f\mapsto(x\mapsto f(-x))</math>
den Paritätsoperator bezeichnet.

=== Rücktransformationsformel ===
Sei <math>f \in L^1(\R^n)</math> eine integrierbare Funktion derart, dass auch <math>\mathcal{F}(f) \in L^1(\R^n)</math> gilt. Dann gilt die Rücktransformation
: <math>\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}(f))(x) = f(x)= \frac{1}{(2 \pi)^{\frac{n}{2}}} \int_{\R^n} \mathrm e^{\mathrm{i} t x} \mathcal{F}(f)(t) \,\mathrm{d} t.</math>
Diese wird auch [[Fouriersynthese]] genannt. Auf dem [[Schwartz-Raum]] <math>S(\R^n)</math> ist die Fouriertransformation ein [[Automorphismus]].

=== Faltungstheorem ===
Das [[Faltungstheorem]] für die Fourier-Transformation besagt, dass die [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] zweier Funktionen durch die Fourier-Transformation in ihrem Bildraum in eine Multiplikation reeller Zahlen überführt wird. Für <math>f,g\in L^1(\mathbb{R}^n)</math> gilt also
: <math>\mathcal{F}(f*g) = (2 \pi)^{\tfrac{n}{2}} \, \mathcal{F}(f)\cdot \mathcal{F}(g)</math>.
Die Umkehrung des Faltungssatzes besagt<ref>Beweis mittels Einsetzen der inversen Fouriertransformierten, z.&nbsp;B. wie in Tilman Butz: ''Fouriertransformation für Fußgänger.''  Ausgabe 7, Springer DE, 2011, ISBN 978-3-8348-8295-0, S. 53, [http://books.google.de/books?id=RNsgEcp_a4MC&lpg=PA51&ots=meOb8yOqO-&dq=faltung%20von%20fouriertransformierter&hl=de&pg=PA53#v=onepage&q=faltung%20von%20fouriertransformierter&f=false Google Books.]</ref>
: <math>\mathcal{F}(f)*\mathcal{F}(g) = (2 \pi)^{\tfrac{n}{2}} \mathcal{F}(f\cdot g)</math>.

== Fourier-Transformation von L<sup>2</sup>-Funktionen ==
=== Definition ===
Für eine Funktion <math>f \in L^2(\R^n)</math> ist die Fouriertransformation mittels eines Dichtheitsargumentes definiert durch
: <math>\mathcal{F}(f)(\xi) = \lim_{r \to \infty} \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}} \int_{B_r(0)} f(x) \mathrm e^{-\mathrm ix \xi} \mathrm{d} x</math>.
Die Konvergenz ist im Sinne von <math>L^2</math> zu verstehen und <math>B_r(0) = \{x \in \R^n : |x| \leq r\}</math> ist die Kugel um den Ursprung mit Radius <math>r</math>. Für Funktionen <math>f \in L^2(\R^n) \cap L^1(\R^n)</math> stimmt diese Definition mit der aus dem ersten Abschnitt überein.
Da die Fouriertransformation bezüglich des <math>L^2</math>-Skalarproduktes unitär ist (s. u.) und
<math>L^2(\R^n)\cap L^1(\R^n)</math> in <math>L^2(\R^n)</math> dicht liegt, folgt,
dass die Fouriertransformation ein isometrischer Automorphismus des <math>L^2(\R^n)</math> ist. Dies ist die Aussage des [[Satz von Plancherel|Satzes von Plancherel]].

=== Hausdorff-Young-Ungleichung ===
Seien <math>1 \leq p \leq 2</math> und <math>\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1</math>. Für <math>f \in L^p(\R^n)</math> ist <math>\mathcal{F}(f) \in L^q(\R^n)</math> und es gilt
: <math>\|\mathcal{F}(f)\|_{L^q(\R^n)} \leq \frac{1}{(2 \pi)^{n\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{2}\right)}} \|f\|_{L^p(\R^n)}</math>.
Die Fourier-Transformation <math>\mathcal{F} : L^2(\R^n) \to L^2(\R^n)</math> hat also eine [[Stetige Fortsetzung|Fortsetzung]] zu einem stetigen Operator <math>\mathcal{F} : L^p(\R^n) \to L^q(\R^n)</math>, der durch
: <math>\mathcal{F}(f)(\xi) = \lim_{r \to \infty} \frac{1}{(2 \pi)^\frac{n}{2}} \int_{B_r(0)} f(x) \mathrm e^{-\mathrm ix \xi} \mathrm{d} x</math>
beschrieben wird. Der Grenzwert ist hier im Sinne von <math>L^q</math> zu verstehen.

=== Differentiationsregel ===
Falls die Funktion <math>f</math> schwach differenzierbar ist, gibt es eine Differentiationsregel analog zu denen für Schwartzfunktionen. Sei also <math>f \in W^{k,2}(\R^n) = H^k(\R^n)</math> eine [[Sobolew-Raum#Sobolew-Raum (schwache Ableitungen)|k-mal schwach differenzierbare L<sup>2</sup>-Funktion]] und <math>\alpha</math> ein [[Multiindex]] mit <math>|\alpha| \leq k</math>. Dann gilt
: <math>\mathcal{F}(D^\alpha f)(\xi) = \mathrm i^{|\alpha|} \xi^\alpha \mathcal{F}(f)(\xi)</math>.

=== Unitäre Abbildung ===
Die Fourier-Transformation ist bezüglich des komplexen <math>L^2</math>-Skalarproduktes ein [[unitärer Operator]], das heißt, es gilt
: <math>\langle\mathcal{F}(f), g \rangle_{L^2} = \int_{\R^n} \overline{\mathcal{F}(f)}(x) g(x) \mathrm{d} x = \int_{\R^n} \overline{f}(x) \mathcal{F}^{-1}(g)(x) \mathrm{d} x = \langle f, \mathcal{F}^{-1}(g) \rangle_{L^2}.</math>
Damit liegt das [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]] der Fourier-Transformation auf der [[Einheitskreis]]linie. Im eindimensionalen Fall (<math>n=1</math>) bilden ferner die [[Hermite-Funktion]]en <math>\left(h_n\right)_{n\in\N_0}</math> im [[Lp-Raum#Der Hilbertraum L2|Raum <math>L^2\left(\R\right)</math>]] ein [[vollständiges Orthonormalsystem]] von [[Eigenfunktionen]] zu den Eigenwerten <math>\left(-\mathrm{i}\right)^n</math>.<ref>Helmut Fischer, Helmut Kaul: ''Mathematik für Physiker''. Band 2: ''Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, mathematische Grundlagen der Quantenmechanik.'' 2.&nbsp;Auflage. B.G. Teubner, Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-12080-1, §&nbsp;12, Abschn.&nbsp;4.2, S.&nbsp;300–301.</ref>

== Fourier-Transformation im Raum der temperierten Distributionen ==
{{Hauptartikel|Temperierte Distribution}}

Sei <math>u \in S'(\R^n)</math> eine temperierte Distribution, die Fourier-Transformierte <math>\mathcal{F}(u)</math> ist für alle <math>\phi \in S(\R^n)</math> definiert durch
: <math>\mathcal{F}(u)(\phi) := u(\mathcal{F}(\phi))</math>.
Stattet man den Raum <math>S'(\R^n)</math> mit der [[Schwach-*-Topologie]] aus, dann ist die Fourier-Transformation eine stetige, bijektive Abbildung auf <math>S'(\R^n)</math>. Ihre Umkehrabbildung lautet
: <math>u(\phi)(-x) = \frac{1}{(2\pi)^n}\mathcal{F}(\mathcal{F}(u))(\phi)(x)</math>.

== Fourier-Transformation von Maßen ==
Die Fourier-Transformation wird allgemein für endliche [[Borel-Maß]]e auf <math>\R^n</math> definiert:
: <math>\check \mu(x) = \int \mathrm e^{\mathrm i xy} \mu (\mathrm dy)</math>
heißt ''inverse Fourier-Transformierte'' des Maßes. Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] ist dann die inverse Fourier-Transformierte einer [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]].

== Partielle Differentialgleichungen ==
In der [[Partielle Differentialgleichung|Theorie der partiellen Differentialgleichungen]] spielt die Fourier-Transformation eine wichtige Rolle. Mit ihrer Hilfe kann man Lösungen bestimmter Differentialgleichungen finden. Die [[#Differentiationsregel|Differentiationsregel]] und das [[Faltungstheorem]] sind dabei von essentieller Bedeutung.
Am Beispiel der [[Wärmeleitungsgleichung]] wird nun gezeigt, wie man mit der Fourier-Transformation eine partielle Differentialgleichung löst. Das Anfangswertproblem der Wärmegleichung lautet
: <math>\left\{\begin{array}{rcll}
\frac{\partial u}{\partial t} (x,t) &=& \Delta_x u(x,t) &\text{in } \R^n \times ]0,\infty[\\
u(x,t) &=& g(x,t) &\text{auf } \R^n \times \{t = 0\}\,.
\end{array}\right.</math>
Hierbei bezeichnet <math>\Delta_x</math> den [[Laplace-Operator]], der nur auf die <math>x</math>-Variablen wirkt. Anwenden der Fourier-Transformation auf beide Gleichungen bezüglich der <math>x</math>-Variablen und Anwenden der Differentiationsregel ergibt
: <math>\left\{\begin{array}{rcll}
\mathcal{F}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right) (\xi,t) &=& -|\xi|^2 \mathcal{F}(u)(\xi,t) &\text{in } \R^n \times ]0,\infty[\\
\mathcal{F}(u)(\xi,t) &=& \mathcal{F}(g)(\xi,t) &\text{auf } \R^n \times \{t = 0\}\,.
\end{array}\right.</math>
Hierbei handelt es sich nun um eine [[gewöhnliche Differentialgleichung]], die die Lösung
: <math>\mathcal{F}(u)(\xi,t) = \mathrm e^{-t|\xi|^2} \mathcal{F}(g)(\xi,t)</math>
hat. Daraus folgt <math>\textstyle u(x,t) = \mathcal{F}^{-1}\left(\exp(-t|\xi|^2) \mathcal{F}(g)\right)(x,t)</math> und aufgrund des Faltungstheorems gilt
: <math>u(x,t) = \frac{g(x,t) * F(x,t)}{(2 \pi)^{\frac{n}{2}}}</math>
mit <math>\mathcal{F}(F)(\xi,t) = \exp(-t |\xi|^2).</math> Daraus folgt
: <math>F(x,t) = \frac{1}{(2 \pi)^\frac{n}{2}} \int_{\R^n} \mathrm e^{\mathrm ix \cdot y - t|y|^2} \mathrm{d} y = \frac{1}{(2t)^\frac{n}{2}} \mathrm e^{\frac{-|x|^2}{4t}}\,.</math>
Das ist die [[Fundamentallösung]] der Wärmegleichung. Die Lösung des hier betrachteten Anfangswertproblems hat daher die Darstellung
: <math>u(x,t) = \frac{g(x,t) * F(x,t)}{(2 \pi)^{\frac{n}{2}}} = \frac{1}{(4 \pi t)^{\frac{n}{2}}} \int_{\R^n} \mathrm e^{-\frac{|x-\xi|^2}{4t}} g(\xi) \mathrm{d}\xi\,.</math>

== Tabelle wichtiger Fourier-Transformations-Paare ==
In diesem Kapitel folgt eine Zusammenstellung wichtiger Fourier-Transformations-Paare.

{| class=wikitable
|- class=hintergrundfarbe9
! Signal !! Fouriertransformierte<br />Kreisfrequenz !! Fouriertransformierte<br />Frequenz !! Hinweise
|-
|style="width: 10em"|<math> g(t)</math>
| <math>G(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} g(t) \mathrm e^{-\mathrm i \omega t} \mathrm{d}t </math>
| <math> G(f)=\int_{-\infty}^{\infty} g(t) \mathrm e^{-\mathrm i 2\pi f t} \mathrm{d}t </math>
|
|-
|<math>g(t - a)</math>
|<math>\mathrm e^{- \mathrm i a \omega} G(\omega)</math>
|<math>\mathrm e^{- \mathrm i 2\pi a f} G(f)</math>
|Zeitverschiebung
|-
|<math>\mathrm e^{\mathrm iat} g(t)</math>
|<math>G(\omega - a)</math>
|<math>G \left(f - \frac{a}{2\pi}\right)</math>
|Frequenzverschiebung
|-
|<math>g(a t)</math>
|<math>\frac{1}{|a|} G \left( \frac{\omega}{a} \right)</math>
|<math>\frac{1}{|a|} G \left( \frac{f}{a} \right)</math>
|Frequenzskalierung
|-
|<math>g^{(n)}(t)</math>
|<math>(\mathrm i\omega)^n G(\omega)</math>
|<math>(\mathrm i 2\pi f)^n G(f)</math>
|Hier ist <math>n</math> eine [[natürliche Zahl]] und g eine [[Schwartz-Raum|Schwartz-Funktion]]. <math>g^{(n)}</math> bezeichnet die <math>n</math>-te Ableitung von g.
|}

=== Quadratisch integrierbare Funktionen ===
{| class=wikitable
|- class=hintergrundfarbe9
! Signal !! Fouriertransformierte<br />Kreisfrequenz !! Fouriertransformierte<br />Frequenz !! Hinweise
|-
|style="width: 10em"|<math> g(t)</math>
|<math>G(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} g(t) \mathrm e^{-\mathrm i \omega t} \mathrm{d}t </math>
|<math>G(f) = \int_{-\infty}^{\infty} g(t) \mathrm e^{-\mathrm i 2\pi f t} \mathrm{d}t </math>
|
|-
|<math>\exp\left(-\frac{a t^2}{2}\right)</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot \exp\left(-\frac{\omega^2}{2a}\right)</math>
|<math>\sqrt{\frac{2\pi}{a}} \exp\left(-\frac{2\pi}{a}\cdot \pi f^2\right)</math>
|Die Gaußsche Funktion <math>\exp(-t^2/2)</math> ergibt fouriertransformiert wieder dieselbe Funktion. Für die Integrierbarkeit muss <math>\mathrm{Re}(a)>0</math> sein.
|-
|<math>\operatorname{rect}(a t) </math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2 \pi} |a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)</math>
|<math>\frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{f}{a}\right)</math>
|Die [[Rechteckfunktion]] und die [[sinc-Funktion]] (<math>\operatorname{sinc}(x) = \sin(\pi x)/(\pi x)</math>).
|-
|<math>\operatorname{sinc}(a t) </math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi} |a|} \cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)</math>
|<math>\frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{f}{a} \right)</math>
|Die Rechteckfunktion ist ein idealisierter Tiefpassfilter, und die sinc-Funktion ist die akausale Stoßantwort eines solchen Filters (<math>\operatorname{sinc}(x) = \sin(\pi x)/(\pi x)</math>).
|-
|<math>\exp\left(-a|t|\right)</math>
|<math>\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{a}{\omega^{2}+a^{2}}</math>
|<math>\frac{2a}{(2\pi f)^{2}+a^{2}}</math>
|<math>a>0.</math> Die FT der um den Ursprung [[Exponentialfunktion|exponentiell]] abfallenden Funktion ist eine [[Lorentzkurve]].
|-
|<math>\frac{1}{t^{2}+a^{2}}</math>
|<math>\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{a}\exp\left(-a|\omega|\right)</math>
|<math>\frac{\pi}{a}\exp\left(-2\pi a|f|\right)</math>
|
|}

=== Distributionen ===
{| class=wikitable
|- class=hintergrundfarbe9
! Signal !! Fouriertransformierte<br />Kreisfrequenz !! Fouriertransformierte<br />Frequenz !! Hinweise
|-
|style="width: 10em"|<math>g(t)</math>
| <math>G(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} g(t) \mathrm e^{-\mathrm i \omega t} \mathrm{d}t </math>
| <math>G(f) = \int_{-\infty}^{\infty} g(t) \mathrm e^{-\mathrm i 2\pi f t} \mathrm{d}t </math>
|
|-
|<math>\mathrm e^{\mathrm i a t}</math>
|<math>\sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)</math>
|<math>\delta\left(f - \frac{a}{2\pi}\right)</math>
|
|-
|<math>\cos (a t)</math>
|<math>\sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega - a) + \delta(\omega + a)}{2}</math>
|<math>\frac{\delta(f - \frac{a}{2\pi}) + \delta(f + \frac{a}{2\pi})}{2}</math>
|
|-
|<math>\sin(at)</math>
|<math>\sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega - a) - \delta(\omega + a)}{2\mathrm i}</math>
|<math>\frac{\delta(f - \frac{a}{2\pi}) - \delta(f + \frac{a}{2\pi})}{2\mathrm i}</math>
|
|-
|<math>t^n</math>
|<math>\mathrm i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)</math>
|<math>\left(\frac{\mathrm i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (f)</math>
|Hier ist <math>n</math> eine [[natürliche Zahl]] und <math>\delta^{(n)}</math> die <math>n</math>-te Ableitung der [[Delta-Distribution]].
|-
|<math>\frac{1}{t^n}</math>
|<math>-\mathrm i \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-\mathrm i\omega)^{n-1}}{(n-1)!} \sgn(\omega)</math>
|<math>-\mathrm i\pi \frac{(-\mathrm i 2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!} \sgn(f)</math>
|
|-
|<math>\sgn(t)</math>
|<math>\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{1}{\mathrm i\ \omega }</math>
|<math>\frac{1}{\mathrm i\pi f}</math>
|
|-
|<math>\Theta(t) </math>
|<math>\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{\mathrm i \pi \omega} + \delta(\omega)\right)</math>
|<math>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\mathrm i \pi f} + \delta(f)\right)</math>
|<math>\Theta(t)</math> ist der Einheitssprung ([[Heaviside-Funktion]]).
|-
|<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) </math>
|<math>\frac{2\pi}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -k \frac{2\pi }{T} \right)</math>
|<math>\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( f -\frac{k }{T}\right) </math>
|Das Signal heißt [[Dirac-Kamm]].
|}

== Siehe auch ==
* [[Diskrete Fourier-Transformation]]
* [[Kurzzeit-Fourier-Transformation]]
* [[Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale]]
* [[Schnelle Fourier-Transformation]]
* [[IFFT|Inverse schnelle Fourier-Transformation]]

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Rolf Brigola
   |Titel=Fourier-Analysis und Distributionen
   |Verlag=edition swk
   |Ort=Hamburg
   |Datum=2013
   |ISBN=978-3-8495-2892-8
   |Seiten=}}
* [[Salomon Bochner|S. Bochner]], [[K. Chandrasekharan]]: ''Fourier Transforms.'' Princeton University Press, Princeton NJ 1949 (''Annals of mathematics studies'' 19, {{ISSN|0066-2313}}).
* [[Otto Föllinger]]: ''Laplace-, Fourier- und z-Transformation.'' Bearbeitet von Mathias Kluwe. 8. überarbeitete Auflage. Hüthig, Heidelberg 2003, ISBN 3-7785-2911-0 (''Studium'').
* [[Lars Hörmander]]: ''The Analysis of Linear Partial Differential Operators I''. Second Edition. Springer-Verlag, ISBN 3-540-52345-6.
* Burkhard Lenze: ''Einführung in die Fourier-Analysis.'' 3. durchgesehene Auflage. Logos Verlag, Berlin 2010, ISBN 3-931216-46-2.
* [[Michael James Lighthill|M. J. Lighthill]]: ''Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions.'' Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-09128-4 (''Cambridge Monographs on Mechanics and Applied Mathematics'').
* {{EoM
| Titel = Fourier Transform
| Autor = P. I. Lizorkin
| Url = http://eom.springer.de/F/f041150.htm
}}
* Athanasios Papoulis: ''The Fourier Integral and Its Applications.'' Reissued. McGraw-Hill, New York NY u.&nbsp;a. 1987, ISBN 0-07-048447-3 (''McGraw-Hill Classic Textbook Reissue Series'').
* [[Lothar Papula]]: ''Mathematische Formelsammlung''. 11. Auflage. Springer Verlag. Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-8348-2311-3.
* Herbert Sager: ''Fourier-Transformation.'' 1. Auflage. vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zürich, Zürich  2012, ISBN 978-3-7281-3393-9.
* [[Elias M. Stein]], Rami Shakarchi: ''Princeton Lectures in Analysis.'' Band 1: ''Fourier Analysis. An Introduction.'' Princeton University Press, Princeton NJ 2003, ISBN 0-691-11384-X.
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' Springer-Verlag, 6. Auflage, ISBN 978-3-540-72533-6.
* Jörg Lange, [[Tatjana Lange]]: ''Fourier-Transformation zur Signal- und Systembeschreibung. Kompakt, visuell, intuitiv verständlich''. Springer Vieweg, 2019, ISBN 978-3-658-24849-9.

== Weblinks ==
{{commonscat|Fourier transformation}}
* {{MathWorld |id=FourierTransform |title=Fourier Transform}}
* {{YouTube|spUNpyF58BY|Was ist eine Fourier-Transformation? Eine visuelle Einführung|2023-04-15}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4018014-1}}

{{SORTIERUNG:Fouriertransformation}}
[[Kategorie:Harmonische Analyse]]
[[Kategorie:Integraltransformation]]
[[Kategorie:Joseph Fourier als Namensgeber]]