Quelltext der Seite Formelsammlung Trigonometrie

{{Formelsammlung|[[Trigonometrie]]}}

== Dreieckberechnung ==
[[Datei:01-Dreieck, allgemein -2.svg|rechts|300px|Ein Dreieck mit den üblichen Bezeichnungen]]
Die folgende Liste enthält die meisten bekannten '''Formeln aus der Trigonometrie in der Ebene'''. Die meisten dieser Beziehungen verwenden [[trigonometrische Funktion]]en.

Dabei werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: Das [[Dreieck]] <math>ABC</math> habe die Seiten <math>a = BC</math>, <math>b = CA</math> und <math>c = AB</math>, die [[Winkel]] <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> bei den [[Ecke]]n <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math>. Ferner seien <math>r</math> der [[Umkreis]]radius, <math>\rho</math> der [[Inkreis]]radius und <math>\rho_a</math>, <math>\rho_b</math> und <math>\rho_c</math> die [[Ankreis]]radien (und zwar die Radien der Ankreise, die den Ecken <math>A</math>, <math>B</math> bzw. <math>C</math> gegenüberliegen) des Dreiecks <math>ABC</math>. Die Variable <math>s</math> steht für den halben Umfang des Dreiecks <math>ABC</math>:
:<math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>.
Schließlich wird die Fläche des Dreiecks <math>ABC</math> mit <math>F</math> bezeichnet. Alle anderen Bezeichnungen werden jeweils in den entsprechenden Abschnitten, in denen sie vorkommen, erläutert.

Es ist zu beachten, dass hier die Bezeichnungen für den Umkreisradius <math>r</math>, den Inkreisradius <math>\rho</math> und die drei Ankreisradien <math>\rho_a</math>, <math>\rho_b</math>, <math>\rho_c</math> benutzt werden. Oft werden davon abweichend für dieselben Größen auch die Bezeichnungen <math>R</math>, <math>r</math>, <math>r_a</math>, <math>r_b</math>, <math>r_c</math> verwendet.

=== Winkelsumme ===
: <math>\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}</math>

=== [[Sinussatz]] ===

Formel 1:

:<math>\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2r= \frac{a b c}{2 F}</math>

Formel 2:

wenn <math>\alpha = 90^\circ</math>

:<math>\sin \beta =\frac{b}{a}</math>

:<math>\sin \gamma =\frac{c}{a}</math>

wenn <math>\beta= 90^\circ</math>

:<math>\sin \alpha =\frac{a}{b}</math>

:<math>\sin \gamma =\frac{c}{b}</math>

wenn <math>\gamma = 90^\circ</math>

:<math>\sin \alpha =\frac{a}{c}</math>

:<math>\sin \beta =\frac{b}{c}</math>

=== [[Kosinussatz]] ===

Formel 1:

:<math>a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos \alpha</math>

:<math>b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\ \cos \beta</math>

:<math>c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\ \cos \gamma</math>

Formel 2:

wenn <math>\alpha = 90^\circ</math>

:<math>\cos \beta = \frac{c}{a}</math>

:<math>\cos \gamma = \frac{b}{a}</math>

wenn <math>\beta = 90^\circ</math>

:<math>\cos \alpha = \frac{c}{b}</math>

:<math>\cos \gamma = \frac{a}{b}</math>

wenn <math>\gamma = 90^\circ</math>

:<math>a^2 + b^2 = c^2 </math> ([[Satz des Pythagoras]])

:<math>\cos \alpha = \frac{b}{c}</math>

:<math>\cos \beta = \frac{a}{c}</math>

=== Projektionssatz ===

:<math>
\begin{align}
a &= b\,\cos\gamma + c\,\cos\beta \\
b &= c\,\cos\alpha + a\,\cos\gamma \\
c &= a\,\cos\beta + b\,\cos\alpha
\end{align}
</math>

=== Die [[Mollweidesche Formeln|Mollweideschen Formeln]] ===

:<math>\frac{b+c}{a} = \frac{\cos \frac{\beta  -\gamma }{2} } {\sin \frac{\alpha }{2}},\quad
\frac{c+a}{b} = \frac{\cos \frac{\gamma -\alpha }{2} } {\sin \frac{\beta  }{2}},\quad
\frac{a+b}{c} = \frac{\cos \frac{\alpha -\beta  }{2} } {\sin \frac{\gamma }{2}}</math>

:<math>\frac{b-c}{a} = \frac{\sin \frac{\beta  -\gamma }{2} } {\cos \frac{\alpha }{2}},\quad
\frac{c-a}{b} = \frac{\sin \frac{\gamma -\alpha }{2} } {\cos \frac{\beta  }{2}},\quad
\frac{a-b}{c} = \frac{\sin \frac{\alpha -\beta  }{2} } {\cos \frac{\gamma }{2}}</math>

=== [[Tangenssatz]] ===

Formel 1:

: <math>\frac{b+c}{b-c}=\frac{\tan \frac{\beta +\gamma }{2}}{\tan \frac{\beta
  -\gamma }{2}}=\frac{\cot \frac{\alpha}{2}}{\tan \frac{\beta -\gamma }{2}}</math>

Analoge Formeln gelten für <math>\frac{a+b}{a-b}</math> und <math>\frac{c+a}{c-a}</math>:

: <math>\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan \frac{\alpha +\beta }{2}}{\tan \frac{\alpha
  -\beta }{2}}=\frac{\cot \frac{\gamma}{2}}{\tan \frac{\alpha -\beta }{2}}</math>

: <math>\frac{c+a}{c-a}=\frac{\tan \frac{\gamma +\alpha }{2}}{\tan \frac{\gamma
  -\alpha }{2}}=\frac{\cot \frac{\beta}{2}}{\tan \frac{\gamma -\alpha }{2}}</math>

Wegen <math>\tan(-x) = -\tan(x)</math> bleibt eine dieser Formeln gültig, wenn sowohl die Seiten als auch die zugehörigen Winkel vertauscht werden, also etwa:

: <math>\frac{a+c}{a-c}=\frac{\tan \frac{\alpha +\gamma }{2}}{\tan \frac{\alpha
  -\gamma }{2}}=\frac{\cot \frac{\beta}{2}}{\tan \frac{\alpha -\gamma }{2}}</math>

Formel 2:

wenn <math>\alpha = 90^\circ</math>

:<math>\tan \beta =\frac{b}{c}</math>

:<math>\tan \gamma =\frac{c}{b}</math>

wenn <math>\beta = 90^\circ</math>

:<math>\tan \alpha =\frac{a}{c}</math>

:<math>\tan \gamma =\frac{c}{a}</math>

wenn <math>\gamma = 90^\circ</math>

:<math>\tan \alpha =\frac{a}{b}</math>

:<math>\tan \beta =\frac{b}{a}</math>

=== Formeln mit dem halben Umfang ===

Im Folgenden bedeutet <math>s</math> immer die Hälfte des Umfangs des Dreiecks <math>ABC</math>, also <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>.

:<math> s-a = \frac{b+c-a}{2}</math>

:<math> s-b = \frac{c+a-b}{2}</math>

:<math> s-c = \frac{a+b-c}{2}</math>

:<math> \left( s-b\right) +\left( s-c\right) =a</math>

:<math> \left( s-c\right) +\left( s-a\right) =b</math>

:<math> \left( s-a\right) +\left( s-b\right) =c</math>

:<math> \left( s-a\right) +\left( s-b\right) +\left( s-c\right) =s</math>

:<math>\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-b\right) \left( s-c\right) }{bc}}</math>

:<math>\sin \frac{\beta }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-c\right) \left( s-a\right) }{ca}}</math>

:<math>\sin \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-a\right) \left( s-b\right) }{ab}}</math>

:<math>\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{s\left( s-a\right) }{bc}}</math>

:<math>\cos \frac{\beta }{2}=\sqrt{\frac{s\left( s-b\right) }{ca}}</math>

:<math>\cos \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{s\left( s-c\right) }{ab}}</math>

:<math>\tan \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s\left( s-a\right) }}</math>

:<math>\tan \frac{\beta }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-c\right) \left( s-a\right) }{s\left( s-b\right) }}</math>

:<math>\tan \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-a\right) \left( s-b\right) }{s\left( s-c\right) }}</math>

:<math>s=4r\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}</math>

:<math>s-a=4r\cos \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}</math>

=== Flächeninhalt und Umkreisradius ===

Der Flächeninhalt des Dreiecks wird hier mit <math>F</math> bezeichnet (nicht, wie heute üblich, mit <math>A</math>, um eine Verwechselung mit der Dreiecksecke <math>A</math> auszuschließen):

'''[[Satz des Heron|Heronsche Formel:]]'''

:<math>F=\sqrt{s\left( s-a\right) \left( s-b\right) \left( s-c\right) }=\frac{1}{4}\sqrt{\left( a+b+c\right) \left( b+c-a\right) \left( c+a-b\right) \left(a+b-c\right) }</math>

: <math>F=\frac{1}{4}\sqrt{2\left(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\right) -\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right) }</math>

'''Weitere Flächenformeln:'''

: <math>F=\frac{1}{2}bc\sin \alpha =\frac{1}{2}ca\sin \beta =\frac{1}{2}ab\sin\gamma</math>

: <math>F=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}</math>, wobei <math>h_a</math>, <math>h_b</math> und <math>h_c</math> die Längen der von <math>A</math>, <math>B</math> bzw. <math>C</math> ausgehenden Höhen des Dreiecks <math>ABC</math> sind.

: <math>F= 2 r^{2} \sin\,\alpha\,\sin\,\beta\,\sin\,\gamma</math>

: <math>F=\frac{abc}{4r}</math>

: <math>F=\rho s = \rho_{a}\left( s-a\right) = \rho_{b}\left( s-b\right) =\rho_{c}\left( s-c\right)</math>

: <math>F=\sqrt{\rho \rho_{a}\rho_{b}\rho_{c}}</math>

: <math>F=4\rho r \cos\,\frac{\alpha}{2}\,\cos\,\frac{\beta}{2}\,\cos\,\frac{\gamma}{2}</math>

: <math>F=s^{2} \tan\,\frac{\alpha}{2}\,\tan\,\frac{\beta}{2}\,\tan\,\frac{\gamma}{2}</math>

: <math>F = \rho^2 \sqrt{\dfrac{h_a\, h_b\, h_c}{(h_a-2\rho)(h_b-2\rho)(h_c-2\rho)} }</math>, mit <math>\dfrac{1}{\rho}= \dfrac{1}{h_a} + \dfrac{1}{h_b} + \dfrac{1}{h_c}</math>

: <math>F = \sqrt{\dfrac{r\, h_a\, h_b\, h_c}{2} }</math>

: <math>F = \dfrac{\, h_a\, h_b\, h_c}{2\rho\,{(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma)}}</math>

'''Erweiterter Sinussatz:'''

<math>\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2r=\frac{a b c}{2 F}</math>

: <math>a = 2 r\,\sin \alpha</math>

: <math>b = 2 r\,\sin \beta</math>

: <math>c = 2 r\,\sin \gamma</math>

: <math>r =\frac{abc}{4F}</math>

=== In- und Ankreisradien ===
In diesem Abschnitt werden Formeln aufgelistet, in denen der [[Inkreis#Inkreis eines Dreiecks | Inkreisradius]] <math>\rho</math> und die [[Ankreis]]radien <math>\rho_a</math>, <math>\rho_b</math> und <math>\rho_c</math> des Dreiecks <math>ABC</math> vorkommen.

: <math>\rho =\left( s-a\right) \tan \frac{\alpha }{2}=\left( s-b\right) \tan \frac{\beta }{2}=\left( s-c\right) \tan \frac{\gamma }{2}</math>

: <math>\rho =4r\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}=s\tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\beta }{2}\tan \frac{\gamma }{2}</math>

: <math>\rho =r\left( \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1\right)</math>

: <math>\rho =\frac{F}{s}=\frac{abc}{4rs}</math>

: <math>\rho =\sqrt{\frac{\left( s-a\right) \left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\left( b+c-a\right) \left( c+a-b\right) \left(a+b-c\right) }{a+b+c}}</math>

: <math>\rho =\frac{a}{\cot \frac{\beta }{2}+\cot \frac{\gamma }{2}}=\frac{b}{\cot
  \frac{\gamma }{2}+\cot \frac{\alpha }{2}}=\frac{c}{\cot \frac{\alpha }{2}+\cot \frac{\beta }{2}}</math>

:<math>a\cdot b + b\cdot c + c\cdot a = s^2 + \rho^2 + 4\cdot\rho\cdot r</math> <ref>[[Die Wurzel]] 2006/04+05, 104ff., ohne Beweis</ref>

Wichtige Ungleichung: <math>2\rho \leq r</math>; Gleichheit tritt nur dann ein, wenn Dreieck <math>ABC</math> gleichseitig ist.

: <math>\rho_{a} = s\tan \frac{\alpha }{2}=\left( s-b\right) \cot \frac{\gamma }{2}=\left( s-c\right) \cot \frac{\beta }{2}</math>

: <math>\rho_{a} = 4r\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}=\left( s-a\right) \tan \frac{\alpha }{2}\cot \frac{\beta }{2}\cot \frac{\gamma }{2}</math>

: <math>\rho_{a} = r\left( -\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma +1\right)</math>

: <math>\rho_{a} = \frac{F}{s-a}=\frac{abc}{4r\left( s-a\right) }</math>

: <math>\rho_{a} = \sqrt{\frac{s\left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s-a}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\left( a+b+c\right) \left( c+a-b\right) \left( a+b-c\right) }{b+c-a}}</math>

Die Ankreise sind gleichberechtigt: Jede Formel für <math>\rho_a</math> gilt in analoger Form für <math>\rho_b</math> und <math>\rho_c</math>.

: <math>\frac{1}{\rho } = \frac{1}{\rho_{a}}+\frac{1}{\rho_{b}}+\frac{1}{\rho_{c}}</math>

=== Höhen ===
Die Längen der von <math>A</math>, <math>B</math> bzw. <math>C</math> ausgehenden Höhen des Dreiecks <math>ABC</math> werden mit <math>h_a</math>, <math>h_b</math> und <math>h_c</math> bezeichnet.

: <math>h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta =\frac{2F}{a}=2r\sin \beta \sin \gamma=2r\left( \cos \alpha +\cos \beta\cos \gamma\right)</math>

: <math>h_{b}=c\sin \alpha =a\sin \gamma =\frac{2F}{b}=2r\sin \gamma \sin \alpha=2r\left( \cos \beta +\cos \alpha\cos \gamma\right)</math>

: <math>h_{c}=a\sin \beta =b\sin \alpha =\frac{2F}{c}=2r\sin \alpha \sin \beta=2r\left( \cos \gamma +\cos \alpha\cos \beta\right)</math>

: <math>h_{a}=\frac{a}{\cot \beta +\cot \gamma };\;\;\;\;\;h_{b}=\frac{b}{\cot\gamma +\cot \alpha };\;\;\;\;\;h_{c}=\frac{c}{\cot \alpha +\cot \beta }</math>

: <math>F=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}</math>

: <math>\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{\rho }=\frac{1}{\rho _{a}}+\frac{1}{\rho _{b}}+\frac{1}{\rho _{c}}</math>

Hat das Dreieck <math>ABC</math> einen rechten Winkel bei <math>C</math> (ist also <math>\gamma = 90^\circ</math>), dann gilt
: <math>h_{c} = \frac{a b}{c}</math>

: <math>h_{a} = b</math>

: <math>h_{b} = a</math>

=== Seitenhalbierende ===

Die Längen der von <math>A</math>, <math>B</math> bzw. <math>C</math> ausgehenden Seitenhalbierenden des Dreiecks <math>ABC</math> werden <math>s_a</math>, <math>s_b</math> und <math>s_c</math> genannt.

: <math>s_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}+2bc\cos \alpha }=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+bc\cos \alpha }</math>

: <math>s_{b}=\frac{1}{2}\sqrt{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{c^{2}+a^{2}+2ca\cos \beta }=\sqrt{\frac{b^{2}}{4}+ca\cos \beta }</math>

: <math>s_{c}=\frac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }=\sqrt{\frac{c^{2}}{4}+ab\cos \gamma }</math>

: <math>s_{a}^{2}+s_{b}^{2}+s_{c}^{2}=\frac{3}{4}\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)</math>

=== Winkelhalbierende ===

Wir bezeichnen mit <math>w_\alpha</math>, <math>w_\beta</math> und <math>w_\gamma</math> die Längen der von <math>A</math>, <math>B</math> bzw. <math>C</math> ausgehenden Winkelhalbierenden im Dreieck <math>ABC</math>.

: <math>w_{\alpha }=\frac{2bc\cos \frac{\alpha }{2}}{b+c}=\frac{2F}{a\cos \frac{\beta -\gamma }{2}}=\frac{\sqrt{bc(b+c-a)(a+b+c)}}{b+c}</math>

: <math>w_{\beta }=\frac{2ca\cos \frac{\beta }{2}}{c+a}=\frac{2F}{b\cos \frac{\gamma -\alpha }{2}}=\frac{\sqrt{ca(c+a-b)(a+b+c)}}{c+a}</math>

: <math>w_{\gamma }=\frac{2ab\cos \frac{\gamma }{2}}{a+b}=\frac{2F}{c\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}=\frac{\sqrt{ab(a+b-c)(a+b+c)}}{a+b}</math>

== Allgemeine Trigonometrie in der Ebene ==
[[Datei:Trigonomatric-functions.svg|300px|mini|Die trigonometrischen Funktionen am [[Einheitskreis]]:<br />
{| style="text-align:center; width:100%;"
| <math>\overline{CP} = \sin b</math> ||<math>\overline{SP} = \cos b</math>
|--
|<math>\overline{DT} = \tan b</math> || <math>\overline{EK} = \cot b</math>
|--
|<math>\overline{OT} = \operatorname{sec} \, b</math> || <math>\overline{OK} = \operatorname{csc} \, b</math>
|}]]
=== Periodizität ===
:<math>\sin x \quad = \quad \sin(x + 2 n \pi); \quad n \in \mathbb{Z}</math>
:<math>\cos x \quad = \quad \cos(x + 2 n \pi); \quad n \in \mathbb{Z}</math>
:<math>\tan x \quad = \quad \tan(x + n \pi); \quad n \in \mathbb{Z}</math>
:<math>\cot x \quad = \quad \cot(x + n \pi); \quad n \in \mathbb{Z}</math>

=== Gegenseitige Darstellung ===
Die trigonometrischen Funktionen lassen sich ineinander umwandeln oder gegenseitig darstellen. Es gelten folgende Zusammenhänge:
: <math>\tan x = \frac{ \sin x }{ \cos x }</math>

: <math>\sin ^{2}x + \cos ^{2}x = 1</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp;(„[[Trigonometrischer Pythagoras]]“)

: <math>1+\tan ^{2}x=\frac{1}{\cos ^{2}x}=\sec ^{2}x</math>

: <math>1+\cot ^{2}x=\frac{1}{\sin ^{2}x}=\csc ^{2}x</math>

(Siehe auch den Abschnitt [[Formelsammlung Trigonometrie#Phasenverschiebungen|Phasenverschiebungen]].)

Mittels dieser Gleichungen lassen sich die drei vorkommenden Funktionen durch eine der beiden anderen darstellen:
{| border="0" cellpadding="10"
|--
| <math>\sin x \; = \; \sqrt{ 1 - \cos^2 x }</math>
| für
| <math>x \in \left[0,\pi \right[ \quad = \quad [0^\circ,180^\circ[</math>
|--
| <math>\sin x \; = \; - \sqrt{ 1 - \cos^2 x }</math>
| für
| <math>x \in \left[ \pi , 2\pi \right[ \quad = \quad [180^\circ,360^\circ[</math>
|--
| <math>\sin x \; = \; \frac{ \tan x }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } }</math>
| für
| <math>x \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right[ \; \cup \; \left] \frac{3\pi}{2},2\pi\right[ \quad = \quad [0^\circ,90^\circ[ \; \cup \; ]270^\circ, 360^\circ[</math>
|--
| <math>\sin x \; = \; - \frac{ \tan x }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } }</math>
| für
| <math>x \in \left] \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right[ \quad = \quad ]90^\circ,270^\circ[</math>
|--
| <math> \cos x \; = \; \sqrt{ 1 - \sin^2 x }</math>
| für
| <math>x \in \left[ 0,\frac{\pi}{2} \right[ \; \cup \; \left[\frac{3\pi}{2},2\pi \right[ \quad = \quad [0^\circ,90^\circ [ \; \cup \; [270^\circ,360^\circ [ </math>
|--
| <math> \cos x \; = \; - \sqrt{ 1 - \sin^2 x }</math>
| für
| <math> x\in \left[ \frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2} \right[ \quad = \quad [90^\circ ,270^\circ[</math>
|--
| <math> \cos x = \frac{1}{\sqrt{ 1 + \tan^2 x } }</math>
| für
| <math>x \in \left[ 0,\frac{\pi}{2}\right[ \; \cup \; \left] \frac{3\pi}{2},2\pi\right[ \quad = \quad [0^\circ,90^\circ[ \; \cup \; ] 270^\circ , 360^\circ [</math>
|--
| <math> \cos x = - \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } }</math>
| für
| <math>x \in \left] \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2} \right[ \quad = \quad ]90^\circ,270^\circ[</math>
|--
| <math> \tan x = \frac{ \sqrt{ 1 - \cos^2 x } }{ \cos x }</math>
| für
| <math>x \in \left[0,\frac{\pi}{2} \right[ \; \cup \; \left] \frac{\pi}{2},\pi \right[ \quad = \quad [0^\circ,90^\circ[ \; \cup \; ] 90^\circ,180^\circ [ </math>
|--
| <math> \tan x = - \frac{ \sqrt{ 1 - \cos^2 x } }{ \cos x }</math>
| für
| <math>x \in \left[\pi,\frac{3\pi}{2} \right[ \; \cup \; \left] \frac{3\pi}{2},2\pi \right[ \quad = \quad [ 180^\circ , 270^\circ [ \; \cup \; ] 270^\circ,360^\circ[</math>
|--
| <math> \tan x = \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 1 - \sin^2 x } }</math>
| für
| <math>x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right[ \; \cup \; \left]\frac{3\pi}{2},2\pi\right[ \quad = \quad [0^\circ,90^\circ[ \; \cup \; ]270^\circ,360^\circ[</math>
|--
| <math> \tan x = - \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 1 - \sin^2 x } }</math>
| für
| <math> x\in \left] \frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2} \right[ \quad = \quad ]90^\circ,270^\circ[</math>
|}

=== Vorzeichen der Winkelfunktionen ===

: <math> \sin x > 0 \quad \text{für} \quad x\in \left] 0^{\circ },180^\circ\right[</math>

: <math> \sin x < 0 \quad \text{für} \quad x\in \left] 180^{\circ },360^\circ\right[</math>

: <math> \cos x > 0 \quad \text{für} \quad x\in \left[ 0^\circ,90^\circ\right[ \cup \left] 270^\circ,360^\circ\right]</math>

: <math> \cos x < 0 \quad \text{für} \quad x\in \left] 90^{\circ },270^\circ\right[</math>

: <math> \tan x > 0 \quad \text{für} \quad x\in \left] 0^{\circ },90^\circ\right[ \cup \left] 180^\circ,270^\circ\right[</math>

: <math> \tan x < 0 \quad \text{für} \quad x\in \left] 90^{\circ },180^\circ\right[ \cup \left] 270^\circ,360^\circ\right[</math>

Die [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] von <math>\cot</math>, <math>\sec</math> und <math>\csc</math> stimmen überein mit denen ihrer Kehrwertfunktionen <math>\tan</math>, <math>\cos</math> bzw. <math>\sin</math>.

=== Wichtige Funktionswerte ===

[[Datei:Unit circle angles color.svg|mini|hochkant=2.0|Darstellung wichtiger Funktionswerte von Kosinus (1. Klammerwert) und Sinus (2. Klammerwert) auf dem Einheitskreis]]

{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe5"
! <math>\alpha</math>
! <math>\alpha</math> (rad)
! <math>\sin \alpha</math>
! <math>\cos \alpha</math>
! <math>\tan \alpha</math>
! <math>\cot \alpha</math>
|--
|- style="text-align:center"
| <math>0^\circ</math>
| <math>\,0</math>
| <math>\,0</math>
| <math>\,1</math>
| <math>\,0</math>
| <math>\pm\infty</math>
|--
|- style="text-align:center"
| <math>15^\circ</math>
| <math>\tfrac{\pi}{12}</math>
| <math>\tfrac14(\sqrt{6}-\sqrt{2})</math>
| <math>\tfrac14(\sqrt{6}+\sqrt{2})</math>
| <math>2-\sqrt{3}</math>
| <math>2+\sqrt{3}</math>
|--
|- style="text-align:center"
| <math>18^\circ</math>
| <math>\tfrac{\pi}{10}</math>
| <math>\tfrac{1}{4}\left(\sqrt{5}-1\right)</math>
| <math>\tfrac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}</math>
| <math>\tfrac{1}{5}\sqrt{25-10\sqrt{5}}</math>
| <math>\sqrt{5+ 2\sqrt{5}}</math>
|--
|- style="text-align:center"
| <math>30^\circ</math>
| <math>\tfrac{\pi}{6}</math>
| <math>\tfrac12</math>
| <math>\tfrac12\sqrt3</math>
| <math>\tfrac13\sqrt3</math>
| <math>\sqrt3</math>
|--
|- style="text-align:center"
| <math>36^\circ</math>
| <math>\tfrac{\pi}{5}</math>
| <math>\tfrac{1}{4} \sqrt{10- 2\sqrt{5}}</math>
| <math>\tfrac{1}{4} \left (1+ \sqrt{5} \right)</math>
| <math>\sqrt{5- 2\sqrt{5}}</math>
| <math>\tfrac{1}{5} \sqrt{25+ 10\sqrt{5}}</math>
|--
|- style="text-align:center"
| <math>45^\circ</math>
| <math>\tfrac{\pi}{4}</math>
| <math>\tfrac12\sqrt2</math>
| <math>\tfrac12\sqrt2</math>
| <math> 1\,</math>
| <math> 1\,</math>
|--
|- style="text-align:center"
| <math>54^\circ</math>
| <math>\tfrac{3\pi}{10}</math>
| <math>\tfrac{1}{4} \left (1+ \sqrt{5} \right)</math>
| <math>\tfrac{1}{4} \sqrt{10- 2\sqrt{5}}</math>
| <math>\tfrac{1}{5} \sqrt{25+ 10\sqrt{5}}</math>
| <math>\sqrt{5- 2\sqrt{5}}</math>
|--
|- style="text-align:center"
| <math>60^\circ</math>
| <math>\tfrac{\pi}{3}</math>
| <math>\tfrac12\sqrt3</math>
| <math>\tfrac12</math>
| <math>\sqrt3</math>
| <math>\tfrac13\sqrt3</math>
|--
|- style="text-align:center"
| <math>72^\circ</math>
| <math>\tfrac{2\pi}{5}</math>
| <math>\tfrac{1}{4} \sqrt{10+ 2\sqrt{5}}</math>
| <math>\tfrac{1}{4} \left (\sqrt{5}-1 \right)</math>
| <math>\sqrt{5+ 2\sqrt{5}}</math>
| <math>\tfrac{1}{5} \sqrt{25 - 10\sqrt{5}}</math>
|--
|- style="text-align:center"
| <math>75^\circ</math>
| <math>\tfrac{5\pi}{12}</math>
| <math>\tfrac14(\sqrt{6}+\sqrt{2})</math>
| <math>\tfrac14(\sqrt{6}-\sqrt{2})</math>
| <math>2+\sqrt{3}</math>
| <math>2-\sqrt{3}</math>
|--
|- style="text-align:center"
| <math>90^\circ</math>
| <math>\tfrac{\pi}{2}</math>
| <math>\,1</math>
| <math>\,0</math>
| <math>\pm\infty</math>
| <math>\,0</math>
|--
|- style="text-align:center"
| <math>108^\circ</math>
| <math>\tfrac{3\pi}{5}</math>
| <math>\tfrac{1}{4} \sqrt{10+ 2\sqrt{5}}</math>
| <math>\tfrac{1}{4} \left (1- \sqrt{5} \right)</math>
| <math>-\sqrt{5+ 2\sqrt{5}}</math>
| <math>-\tfrac{1}{5} \sqrt{25 - 10\sqrt{5}}</math>
|--
|- style="text-align:center"
| <math>120^\circ</math>
| <math>\tfrac{2\pi}{3}</math>
| <math>\tfrac12\sqrt3</math>
| <math>-\tfrac12</math>
| <math>-\sqrt3</math>
| <math>-\tfrac13\sqrt3</math>
|--
|- style="text-align:center"
| <math>135^\circ</math>
| <math>\tfrac{3\pi}{4}</math>
| <math>\tfrac12\sqrt2</math>
| <math>-\tfrac12\sqrt2</math>
| <math>-1\,</math>
| <math>-1\,</math>
|--
|- style="text-align:center"
| <math>180^\circ</math>
| <math>\pi\,</math>
| <math>\,0</math>
| <math>\,-1</math>
| <math>\,0</math>
| <math>\pm\infty</math>
|--
|- style="text-align:center"
| <math>270^\circ</math>
| <math>\tfrac{3\pi}{2}</math>
| <math>\,-1</math>
| <math>\,0</math>
| <math>\pm\infty</math>
| <math>\,0</math>
|--
|- style="text-align:center"
| <math>360^\circ</math>
| <math>2\pi</math>
| <math>\,0</math>
| <math>\,1</math>
| <math>\,0</math>
| <math>\pm\infty</math>
|}

Mit Hilfe der Additionstheoreme sind noch viele weitere Werte durch algebraische Ausdrücke (ggfs. mit verschachtelten Quadratwurzeln) darstellbar, zum Beispiel alle ganzzahligen Vielfachen von <math>3^\circ</math> durch die Subtraktionen: <math>18^\circ-15^\circ</math>, <math>36^\circ-30^\circ</math>, <math>45^\circ-36^\circ</math> usw.<ref>Joachim Mohr: [https://kilchb.de/cosinuswerte.php ''Kosinus-, Sinus und Tangenswerte''], abgerufen am 1. Juni 2016</ref>
<!---Denn 3°=18°-15°, also sin(3°)=sin(18°)cos(15°)-sin(15°)cos(18°) usw.--->

=== Symmetrien ===

Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien:
:<math>\begin{align}
\sin (-x) &= - \sin (x) \\
\cos (-x) &= + \cos (x) \\
\tan (-x) &= - \tan (x) \\
\cot (-x) &= - \cot (x) \\
\sec (-x) &= + \sec (x) \\
\csc (-x) &= - \csc (x) \\
\end{align}</math>

=== Phasenverschiebungen ===
: <math> \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x \; \quad \text{bzw.} \quad \sin \left(x + 90^{\circ } \right) = \cos x \; </math>
: <math> \cos \left(x + \frac{\pi}{2}\right) = - \sin x \;\quad \text{bzw.} \quad \cos \left(x + 90^{\circ } \right) = - \sin x \; </math>

: <math> \tan \left(x + \frac{\pi}{2}\right) = - \cot x \; \quad \text{bzw.} \quad\tan \left(x + 90^{\circ } \right) = - \cot x \; </math>

: <math> \cot \left(x + \frac{\pi}{2}\right) = - \tan x \;\quad \text{bzw.} \quad\cot \left(x + 90^{\circ } \right) = - \tan x \; </math>

=== Rückführung auf spitze Winkel ===
: <math> \sin x\ \; = \;\;\; \sin \left(\pi-x\right)  \,   \quad \text{bzw.} \quad
         \sin x\ = \;\;\; \sin \left(180^{\circ }-x\right) </math>
: <math> \cos x\ \, = -\cos \left(\pi-x\right)     \quad \text{bzw.} \quad
         \cos x\ = -\cos \left(180^{\circ }-x\right) </math>
: <math> \tan x\ = -\tan \left(\pi-x\right)     \quad \text{bzw.} \quad
         \tan x\ = -\tan \left(180^{\circ }-x\right) </math>

=== Darstellung durch den Tangens des halben Winkels ===

Mit der Bezeichnung <math>t = \tan\tfrac{x}{2}</math>
gelten die folgenden Beziehungen für beliebiges <math>x</math>

{| cellpadding=5 style="margin-left: 2em;"
|<math>\sin x = \frac{2t}{1 + t^2},</math>
|&nbsp;
|<math>\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2},</math>
|-
|<math>\tan x = \frac{2t}{1 - t^2},</math>
|&nbsp;
|<math>\cot x = \frac{1 - t^2}{2t},</math>
|-
|<math>\sec x = \frac{1 + t^2}{1 - t^2},</math>
|&nbsp;
|<math>\csc x = \frac{1 + t^2}{2t}.</math>
|}

=== Additionstheoreme ===
[[Datei:Additionstheoreme Beweisfigur 1.svg|mini|''Figur 1'']]
[[Datei:Additionstheoreme Beweisfigur 2.svg|mini|''Figur 2'']]
Für [[Sinus und Kosinus]] lassen sich die Additionstheoreme aus der Verkettung zweier Drehungen um den Winkel <math>x</math> bzw. <math>y</math> herleiten. Das ist elementargeometrisch möglich; sehr viel einfacher ist das koordinatenweise Ablesen der Formeln aus dem [[Drehmatrix|Produkt zweier Drehmatrizen der Ebene <math>\R^2</math>]]. Alternativ folgen die Additionstheoreme aus der Anwendung der [[Eulersche Formel#Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] auf die Beziehung <math>\textstyle e^{i(x +y)} = e^{ix} \cdot e^{iy}</math>. Die Ergebnisse für das Doppelvorzeichen ergeben sich durch Anwendung der [[Formelsammlung Trigonometrie#Symmetrien|Symmetrien]].<ref>Ausführliche Beweise in ''[https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Geometrie:_Trigonometrie:_Additionstheoreme Wikibooks Beweisarchiv.]''</ref>

: <math> \sin ( x \pm y ) = \sin x \cdot \cos y \pm \cos x \cdot \sin y </math><ref name="forster anal1">Otto Forster: ''Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' vieweg 1983, Seite 87.</ref>

: <math> \cos ( x \pm y ) = \cos x \cdot \cos y \mp \sin x \cdot \sin y </math><ref name="forster anal1" />

Geometrische Herleitungen sind in ''Figur 1'' und ''Figur 2'' für Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> zwischen 0° und 90° veranschaulicht.<ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte'', Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag [[Berlin]] [[Heidelberg]] 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 44</ref>

''Zu Figur 1:''
:<math>\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta + \cos\alpha \cdot \sin\beta</math>
:<math>\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta - \sin\alpha \cdot \sin\beta</math>
''Zu Figur 2:''
:<math>\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta - \cos\alpha \cdot \sin\beta</math>
:<math>\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta + \sin\alpha \cdot \sin\beta</math>

Durch Erweiterung mit <math>\textstyle {1 \over \cos x \cos y}</math> bzw. <math>\textstyle {1 \over \sin x \sin y}</math> und Vereinfachung des Doppelbruchs erhält man

: <math> \tan ( x \pm y ) = \frac{ \sin (x \pm y) }{ \cos (x \pm y) } = \frac{ \tan x \pm \tan y }{ 1 \mp \tan x \; \tan y } </math>,

: <math> \cot ( x \pm y ) = \frac{ \cos (x \pm y) }{ \sin (x \pm y) } = \frac{ \cot x \cot y \mp 1 }{ \cot y \pm \cot x } </math>.

Für <math>x=y</math> folgen hieraus die [[Formelsammlung Trigonometrie#Doppelwinkelfunktionen|Doppelwinkelfunktionen]], für <math>y = \pi/2</math> die [[Formelsammlung Trigonometrie#Phasenverschiebungen|Phasenverschiebungen]].

: <math> \sin ( x + y ) \cdot \sin ( x - y ) = \cos^2 y - \cos^2 x = \sin^2 x - \sin^2 y </math>

: <math> \cos ( x + y ) \cdot \cos ( x - y ) = \cos^2 y - \sin^2 x = \cos^2 x - \sin^2 y </math>

=== Additionstheoreme für Arkusfunktionen ===
Für die [[Arkusfunktion]]en gelten folgende Additionstheoreme<ref>I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: ''Taschenbuch der Mathematik''. 19. Auflage, 1979. B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig. S.&nbsp;237.</ref>

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|- class="hintergrundfarbe5"
! Summanden
! Summenformel
! Gültigkeitsbereich
|-
| rowspan="3" | <math>\arcsin x + \arcsin y=</math>
| <math>\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right)</math>
| <math>xy\leq 0</math> oder <math>x^2+y^2\leq 1</math>
|-
| <math>\pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+ y\sqrt{1-x^2}\right)</math>
| <math>x>0</math> und <math>y>0</math> und <math>x^2+y^2> 1</math>
|-
| <math>-\pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+ y\sqrt{1-x^2}\right)</math>
| <math>x<0</math> und <math>y<0</math> und <math>x^2+y^2> 1</math>
|-
| rowspan="3" | <math>\arcsin x - \arcsin y=</math>
| <math>\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}- y\sqrt{1-x^2}\right)</math>
| <math>xy\geq 0</math> oder <math>x^2+y^2\leq 1</math>
|-
| <math>\pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}- y\sqrt{1-x^2}\right)</math>
| <math>x>0</math> und <math>y<0</math> und <math>x^2+y^2> 1</math>
|-
| <math>-\pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}- y\sqrt{1-x^2}\right)</math>
| <math>x<0</math> und <math>y>0</math> und <math>x^2+y^2> 1</math>
|-
| rowspan="2" | <math>\arccos x + \arccos y=</math>
| <math>\arccos\left(xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right)</math>
| <math>x+y\geq 0</math>
|-
| <math>2\pi - \arccos\left(xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right)</math>
| <math>x+y<0</math>
|-
| rowspan="2" | <math>\arccos x - \arccos y=</math>
| <math>-\arccos\left(xy+\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right)</math>
| <math>x\geq y</math>
|-
| <math>\arccos\left(xy+\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right)</math>
| <math>x<y</math>
|-
| rowspan="3" | <math>\arctan x + \arctan y=</math>
| <math>\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)</math>
| <math>xy< 1</math>
|-
| <math>\pi + \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)</math>
| <math>x>0</math> und <math>xy>1</math>
|-
| <math>-\pi + \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)</math>
| <math>x<0</math> und <math>xy>1</math>
|-
| rowspan="3" | <math>\arctan x - \arctan y=</math>
| <math>\arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)</math>
| <math>xy> -1</math>
|-
| <math>\pi + \arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)</math>
| <math>x>0</math> und <math>xy<-1</math>
|-
| <math>-\pi + \arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)</math>
| <math>x<0</math> und <math>xy<-1</math>
|}

=== Doppelwinkelfunktionen ===
[[Datei:Sinus Doppelwinkel.svg|mini|hochkant=3|''Figur 3'']]
: <math> \sin (2x)= 2 \sin x \cdot\; \cos x = \frac{2 \tan x}{ 1 + \tan^2 x } </math>
Eine geometrische Herleitung ist in ''Figur 3'' für Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> zwischen 0° und 90° veranschaulicht.<ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte'', Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag [[Berlin]] [[Heidelberg]] 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 46</ref>

''Zu Figur 3:''
:Aus der Berechnung der Flächeninhalte der beiden grauen Dreiecke ergibt sich <math>\frac{1}{2}\cdot 2\sin\alpha\cdot 2\cos\alpha = \frac{1}{2}\cdot 2\cdot\sin(2\alpha)</math>. Hieraus folgt <math>2\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\sin(2\alpha)</math>.

Weitere Beziehungen:
: <math> \cos (2x)= \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = \frac{ 1 - \tan^2 x }{ 1 + \tan^2 x } </math>

: <math> \tan (2x)= \frac{ 2 \tan x }{ 1 - \tan^2 x } = \frac{2}{ \cot x - \tan x } </math>

: <math> \cot (2x)= \frac{ \cot^2 x - 1 }{2 \cot x } = \frac{ \cot x - \tan x}{2} </math>

=== Winkelfunktionen für weitere Vielfache ===

Die Formeln für Vielfache berechnen sich normalerweise über die komplexen Zahlen aus der Euler-Formel
<math> z = r \left(\cos\phi+i\sin\phi\right) \iff z^n = r^n \left(\cos\phi+i\sin\phi\right)^n </math>
und der DeMoivre-Formel
<math> z^n = r^n \left(\cos\left(n\phi\right)+i\sin\left(n\phi\right)\right) </math>.
Damit ergibt sich
<math> \cos\left(n\phi\right)+i\sin\left(n\phi\right) = \left(\cos\phi+i\sin\phi\right)^n </math>.
Zerlegung in Real- und Imaginärteil liefert dann die Formeln für
<math> \cos </math>
und
<math> \sin </math>
bzw. die allgemeine Reihendarstellung.

Die Formel für <math>\cos(nx)</math> steht über <math>T_n(\cos x)=\cos(n x)</math><ref>Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, '''[https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/abramowitz_and_stegun.pdf 22.3.15]''', (s.&nbsp;a. oben „Weblinks“)</ref> mit den [[Tschebyschow-Polynom]]en in Beziehung.

: <math> \sin (3x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x \,</math><ref>Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, '''[https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/abramowitz_and_stegun.pdf 4.3.27]''', (s.&nbsp;a. oben „Weblinks“)</ref>
:: <math> = \; \sin x \left( 4 \cos^2 x - 1 \right) </math>

: <math> \sin (4x) = 8 \sin x \; \cos^3 x - 4 \sin x \; \cos x </math><ref>Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, '''[https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/abramowitz_and_stegun.pdf 4.3.29]''', (s.&nbsp;a. oben „Weblinks“)</ref>
:: <math> = \; \sin x \left( 8 \cos^3 x - 4 \cos x \right) </math>

: <math> \sin (5x) = 5 \sin x - 20\sin^3 x + 16 \sin^5 x \;</math><ref>[[Gradshteyn-Ryzhik|I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik]], ''Table of Integrals, Series, and Products'', Academic Press, 5th edition (1994), ISBN 0-12-294755-X '''1.333.4'''</ref>
::<math> = \; \sin x \left( 16 \cos^4 x - 12 \cos^2 x + 1 \right) </math>

: <math> \sin (nx) = n \; \sin x \; \cos^{n - 1} x - {n \choose 3} \sin^3 x \; \cos^{n - 3} x + {n \choose 5} \sin^5 x \; \cos^{n - 5} x \; - \ldots + \ldots </math><ref>I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda '''1.331.3''' (Bei dieser Formel enthält Gradshteyn/Ryzhik allerdings einen Vorzeichenfehler)</ref><ref name="Bronstein2.5.2.1.3">I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, [[Taschenbuch der Mathematik]], B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig. 19. Auflage 1979. '''2.5.2.1.3'''</ref>
:: <math> = \; \sum_{j=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor} (-1)^{j} {n \choose 2j + 1} \sin^{2j+1} x \; \cos^{n - 2j - 1} x </math>
:: <math> = \; \sin x \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor} (-1)^k {n-k-1 \choose k} 2^{n-2k-1} \cos^{n-2k-1} x </math>

: <math> \sin(nx) \; \sin(x) = \frac{\cos((n-1)\,x) - \cos((n+1)\,x)}{2}</math>

: <math> \cos (3x) = 4 \cos^3 x - 3 \cos x \,</math><ref>Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, '''[https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/abramowitz_and_stegun.pdf 4.3.28]''', (s.&nbsp;a. oben „Weblinks“)</ref>

: <math> \cos (4x) = 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x + 1 \,</math><ref>Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, '''[https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/abramowitz_and_stegun.pdf 4.3.30]''', (s.&nbsp;a. oben „Weblinks“)</ref>

: <math> \cos (5x) = 16 \cos^5 x - 20 \cos^3 x + 5 \cos x \,</math><ref>I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda '''1.335.4'''</ref>

: <math> \cos (6x) = 32 \cos^6 x - 48 \cos^4 x + 18 \cos^2 x - 1 \,</math><ref>I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda '''1.335.5'''</ref>

: <math> \cos (nx) = \cos^n x - {n \choose 2} \sin^2 x \; \cos^{n - 2} x + {n \choose 4} \sin^4 x \; \cos^{n - 4} x \; - \ldots + \ldots </math><ref name="Bronstein2.5.2.1.3" /><ref>I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda '''1.331.3'''</ref>
:: <math> = \; \sum_{j=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} (-1)^{j} {n \choose 2j} \sin^{2j} x \; \cos^{n - 2j} x </math>

: <math> \cos(nx) \; \cos(x) = \frac{\cos((n-1)\,x) + \cos((n+1)\,x)}{2}</math>

: <math> \tan (3x) = \frac{ 3 \tan x - \tan^3 x }{ 1 - 3 \tan^2 x }</math><ref name="Bronstein2.5.2.1.3" />

: <math> \tan (4x) = \frac{ 4 \tan x - 4 \tan^3 x }{ 1 - 6 \tan^2 x + \tan^4 x }</math><ref name="Bronstein2.5.2.1.3" />

: <math> \cot (3x) = \frac{ \cot^3 x - 3 \cot x }{ 3 \cot^2 x - 1 }</math><ref name="Bronstein2.5.2.1.3" />

: <math> \cot (4x) = \frac{ \cot^4 x - 6 \cot^2 x + 1 }{ 4 \cot^3 x - 4 \cot x }</math><ref name="Bronstein2.5.2.1.3" />

=== Halbwinkelformeln ===
[[Datei:Tangens Halbwinkel.svg|mini|hochkant=2|''Figur 4'']]
Zur Berechnung des Funktionswertes des halben Arguments dienen die '''Halbwinkelformeln'''<ref name="Bronstein2.5.2.1.3" />, welche sich mittels Substitution aus den Doppelwinkelformeln herleiten lassen:

: <math>\sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}} \quad\text{für}\quad x \in \left[0,2\pi\right]</math>

: <math>\cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}} \quad\text{für}\quad x \in \left[-\pi,\pi\right]</math>

: <math>\tan \frac{x}{2} = \frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x} \quad\text{für}\quad x \in \R \setminus \pi(2\Z + 1)</math>

: <math>\cot \frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1-\cos x} \quad\text{für}\quad x \in \R \setminus 2\pi \Z</math>
Eine geometrische Herleitung der dritten Formel ist in ''Figur 4'' für Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> zwischen 0° und 90° veranschaulicht.<ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte'', Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag [[Berlin]] [[Heidelberg]] 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 49</ref> Aus der Berechnung der Flächeninhalte der beiden grauen Dreiecke ergibt sich unmittelbar <math>\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}</math>.

Außerdem gilt:

: <math>\tan\frac{x}{2} = \frac{\tan x}{1 + \sqrt{1+\tan^2 x}} \quad\text{für}\quad x \in \left]-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right[</math>

: <math>\cot\frac{x}{2} = \cot x + \sqrt{1+\cot^2 x} \quad\text{für}\quad x \in \left]0,\pi\right[</math>

''Siehe auch:'' [[Halbwinkelsatz]]

=== Summen zweier trigonometrischer Funktionen (Identitäten) ===
Aus den [[Formelsammlung Trigonometrie#Additionstheoreme|Additionstheoremen]] lassen sich Identitäten ableiten, mit deren Hilfe die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt dargestellt werden kann:<ref name="Bronstein2.5.2.1.3" />
: <math>\begin{align}
\sin x+\sin y&=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}\\
\sin x-\sin y&=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}\\
\cos x+\cos y&=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}\\
\cos x-\cos y&=-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}\end{align}</math>

: <math>
  \left. \begin{matrix}
    \tan x+\tan y=\dfrac{\sin (x+y) }{\cos x\cos y}\\[1em]
    \tan x-\tan y=\dfrac{\sin (x-y) }{\cos x\cos y}
  \end{matrix} \right\} \Rightarrow \tan x \pm \tan y=\frac{\sin (x \pm y) }{\cos x\cos y}
  </math>

: <math>
  \left. \begin{matrix}
    \cot x + \cot y = \dfrac{\sin (y+x) }{\sin x\sin y}\\[1em]
    \cot x - \cot y = \dfrac{\sin (y-x) }{\sin x\sin y}
  \end{matrix} \right\} \Rightarrow \cot x \pm \cot y=\frac{\sin (y \pm x) }{\sin x\sin y}
  </math>

Daraus ergeben sich noch Spezialfälle:

: <math>\begin{align}\cos x + \sin x &= \sqrt{2}\cdot\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cdot\cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right)\\
\cos x - \sin x &= \sqrt{2}\cdot\cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}\cdot\sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)\end{align}</math>

=== Produkte der Winkelfunktionen ===
Produkte der trigonometrischen Funktionen lassen sich mit folgenden Formeln berechnen:<ref name="Bronstein2.5.2.1.3" />
: <math>\sin x \; \sin y = \frac{1}{2}\Big(\cos (x-y) - \cos (x+y)\Big)</math>

: <math>\cos x \; \cos y = \frac{1}{2}\Big(\cos (x-y) + \cos (x+y)\Big)</math>

: <math>\sin x \; \cos y = \frac{1}{2}\Big(\sin (x-y) + \sin (x+y)\Big)</math>

: <math>\tan x \; \tan y = \frac{\tan x + \tan y}{\cot x + \cot y} = - \frac{\tan x - \tan y}{\cot x - \cot y} </math>

: <math>\cot x \; \cot y = \frac{\cot x + \cot y}{\tan x + \tan y} = - \frac{\cot x - \cot y}{\tan x - \tan y} </math>

: <math>\tan x \; \cot y = \frac{\tan x + \cot y}{\cot x + \tan y} = - \frac{\tan x - \cot y}{\cot x - \tan y} </math>

: <math>\sin x \; \sin y \; \sin z = \frac{1}{4} \Big(\sin (x+y-z) + \sin (y+z-x) + \sin (z+x-y) - \sin (x+y+z)\Big)</math>

: <math>\cos x \; \cos y \; \cos z = \frac{1}{4} \Big(\cos (x+y-z) + \cos (y+z-x) + \cos (z+x-y) + \cos (x+y+z)\Big)</math>

: <math>\sin x \; \sin y \; \cos z = \frac{1}{4} \Big(- \cos (x+y-z) + \cos (y+z-x) + \cos (z+x-y) - \cos (x+y+z)\Big)</math>

: <math>\sin x \; \cos y \; \cos z = \frac{1}{4} \Big(\sin (x+y-z) - \sin (y+z-x) + \sin (z+x-y) + \sin (x+y+z)\Big)</math>
:<math>\prod_{m=1}^{n} \cos(x_m) = \frac{1}{2^n} \sum_{k_1=1}^{2}\cdots \sum_{k_n=1}^{2} \left[\exp\left( \text{i} \sum_{\nu=1}^{n} (-1)^{k_\nu} x_\nu \right) \right]
= \frac{1}{2^{n-1}} \sum_{k_2=1}^{2} \cdots \sum_{k_n=1}^{2} \left[ \cos\left(x_1 + \sum_{\nu=2}^{n} (-1)^{k_\nu} x_{\nu} \right)\right] </math>
:<math>\prod_{m=1}^{n} \sin(x_m) = \frac{1}{(2\text{i})^n} \sum_{k_1=1}^{2}\cdots \sum_{k_n=1}^{2}\left[\prod_{\mu=1}^{n}(-1)^{k_\mu}\cdot \exp\left( \text{i} \sum_{\nu=1}^{n} (-1)^{k_\nu} x_\nu \right)\right]
= 
\frac{1}{2^{n-1}} \sum_{k_2=1}^{2} \cdots \sum_{k_n=1}^{2}\left[ \prod_{\mu=2}^{n} (-1)^{k_\mu} \cdot
\begin{cases}
\displaystyle (-1)^{n/2} \cdot \cos\left( x_1 + \sum_{\nu=2}^{n} (-1)^{k_\nu} x_\nu \right) & \text{gerade} \; n \\
\displaystyle (-1)^{(n-1)/2} \cdot \sin\left( x_1 + \sum_{\nu=2}^{n} (-1)^{k_\nu} x_\nu \right) & \text{ungerade} \; n
\end{cases}
\right]
 
 </math>

Aus der [[Formelsammlung Trigonometrie#Doppelwinkelfunktionen|Doppelwinkelfunktion]] für <math>\sin(2x)</math> folgt außerdem:
: <math>\sin x \; \cos x = \frac{1}{2} \sin (2x)</math>

=== Potenzen der Winkelfunktionen ===
==== Sinus ====
: <math>\sin^2 x = \frac{1}{2}\ \Big(1 - \cos (2x) \Big) </math><ref name="Bronstein2.5.2.1.3" /><ref>I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda '''1.321.1'''</ref>

: <math>\sin^3 x = \frac{1}{4}\ \Big(3\, \sin x - \sin (3x) \Big) </math><ref name="Bronstein2.5.2.1.3" /><ref>I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda '''1.321.2'''</ref>

: <math>\sin^4 x = \frac{1}{8}\ \Big(3 - 4\, \cos (2x) + \cos (4x) \Big) </math><ref name="Bronstein2.5.2.1.3" /><ref>I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda '''1.321.3'''</ref>

: <math>\sin^5 x = \frac{1}{16}\ \Big(10\, \sin x - 5\, \sin (3x) + \sin (5x) \Big) </math><ref>I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda '''1.321.4'''</ref>

: <math>\sin^6 x = \frac{1}{32}\ \Big(10 - 15\, \cos (2x) + 6\, \cos (4x) - \cos (6x) \Big) </math><ref>I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda '''1.321.5'''</ref>

: <math>\sin^n x = \frac{1}{2^n}\, \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}\, \cos \left( (n-2k) \left(x-\frac{\pi}{2}\right) \right) \ ; \quad n \in \mathbb{N}</math>

: <math>\sin^n x = \frac{1}{2^n}\, {n \choose \frac{n}{2}} + \frac{1}{2^{n-1}} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{\frac{n}{2}-k}\, {n \choose k}\, \cos{((n-2k) x)} ; \quad n \in \mathbb{N} \text{ und } n \text{ gerade }</math>

: <math>\sin^n x = \frac{1}{2^{n-1}}\, \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{\frac{n-1}{2}-k}\, {n \choose k}\, \sin{((n-2k) x)} ; \quad n \in \mathbb{N} \text{ und } n \text{ ungerade}</math>

==== Kosinus ====
: <math>\cos^2 x = \frac{1}{2}\ \Big(1 + \cos (2x) \Big) </math><ref name="Bronstein2.5.2.1.3" /><ref>I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda '''1.323.1'''</ref>

: <math>\cos^3 x = \frac{1}{4}\ \Big(3\, \cos x + \cos (3x) \Big) </math><ref name="Bronstein2.5.2.1.3" /><ref>I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda '''1.323.2'''</ref>

: <math>\cos^4 x = \frac{1}{8}\ \Big(3 + 4\, \cos (2x) + \cos (4x) \Big) </math><ref name="Bronstein2.5.2.1.3" /><ref>I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda '''1.323.3'''</ref>

: <math>\cos^5 x = \frac{1}{16}\ \Big(10\, \cos x + 5\, \cos (3x) + \cos (5x) \Big) </math><ref>I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda '''1.323.4'''</ref>

: <math>\cos^6 x = \frac{1}{32}\ \Big(10 + 15\, \cos (2x) + 6\, \cos (4x) + \cos (6x) \Big) </math><ref>I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda '''1.323.5'''</ref>

: <math>\cos^n x = \frac{1}{2^n}\, \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}\, \cos((n-2k)x) ; \quad n \in \mathbb{N}</math>

: <math>\cos^n x = \frac{1}{2^n}\, {n \choose \frac{n}{2}} + \frac{1}{2^{n-1}} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} {n \choose k}\, \cos{((n-2k) x)} ; \quad n \in \mathbb{N} \text{ und } n \text{ gerade }</math>

: <math>\cos^n x = \frac{1}{2^{n-1}}\, \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} {n \choose k}\, \cos{((n-2k) x)} ; \quad n \in \mathbb{N} \text{ und } n \text{ ungerade}</math>

==== Tangens ====
: <math>\tan^2 x = \frac{1 - \cos (2x)}{1 + \cos (2x)} = \sec^2 (x) -1 </math>

=== Umrechnung in andere trigonometrische Funktionen ===

:<math>\sin(\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}</math>

:<math>\sin(\arctan x) = \cos(\arccot x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>

:<math>\sin(\arccot x) = \cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>

:<math>\tan(\arcsin x) = \cot(\arccos x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>

:<math>\tan(\arccos x) = \cot(\arcsin x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}</math>

:<math>\tan(\arccot x) = \cot(\arctan x) = \frac{1}{x}</math>

=== Weitere Formeln für den Fall ''α'' + ''β'' + ''γ'' = 180° ===

Die folgenden Formeln gelten für beliebige ebene Dreiecke und folgen nach längeren Termumformungen aus <math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ</math>, solange die in den Formeln vorkommenden Funktionen [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]] sind (Letzteres betrifft nur die Formeln, in denen [[Tangens und Kotangens]] vorkommen).

:<math>\begin{align}
\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma &= \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma\\
\cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2} + \cot \frac{\gamma}{2} &= \cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac {\beta}{2} \cot \frac{\gamma}{2}
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
\cot \beta \cot \gamma + \cot \gamma \cot \alpha + \cot \alpha \cot \beta &= 1\\
\tan \frac{\beta}{2} \tan \frac{\gamma}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} \tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} &= 1
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
 \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma &= 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}\\
-\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma &= 4 \cos \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
 \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma &= 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} + 1\\
-\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma &= 4 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} - 1
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
 \sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma &=  4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma\\
-\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma &=  4 \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
 \cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma &= -4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - 1\\
-\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma &= -4 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + 1
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
 \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma &=  2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + 2\\
-\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma &=  2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
 \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma &= -2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + 1\\
-\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma &= -2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + 1
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
 \sin^2 2\alpha + \sin^2 2\beta + \sin^2 2\gamma &= -2 \cos 2\alpha \cos 2\beta \cos 2\gamma + 2\\
-\sin^2 2\alpha + \sin^2 2\beta + \sin^2 2\gamma &= -2 \cos 2\alpha \sin 2\beta \sin 2\gamma
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
 \cos^2 2\alpha + \cos^2 2\beta + \cos^2 2\gamma &=  2 \cos 2\alpha \cos 2\beta \cos 2\gamma + 1\\
-\cos^2 2\alpha + \cos^2 2\beta + \cos^2 2\gamma &=  2 \cos 2\alpha \sin 2\beta \sin 2\gamma + 1
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\beta}{2} + \sin^2 \frac{\gamma}{2} &= -2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} + 1\\
-\sin^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\beta}{2} + \sin^2 \frac{\gamma}{2} &= -2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} + 1
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
 \cos^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\beta}{2} + \cos^2 \frac{\gamma}{2} &=  2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} + 2\\
-\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\beta}{2} + \cos^2 \frac{\gamma}{2} &=  2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}
\end{align}</math>

=== Sinusoid und Linearkombination mit gleicher Phase ===

:<math>\begin{align}
 a \sin \alpha + b \cos \alpha = & \begin{cases}
   \sqrt{a^2+b^2} \sin \left(\alpha +\arctan \left(\tfrac{b}{a}\right)\right) & \text{, für alle } a > 0\\
   \sqrt{a^2+b^2} \cos \left(\alpha -\arctan \left(\tfrac{a}{b}\right)\right) & \text{, für alle } b > 0
  \end{cases}
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
 a \cos \alpha + b \sin \alpha = \sgn(a)\sqrt{a^2+b^2}\cos\left(\alpha+\arctan\left(-\tfrac{b}{a}\right)\right)
\end{align}</math><ref>{{Internetquelle |autor=Weisstein, Eric W. |url=http://mathworld.wolfram.com/HarmonicAdditionTheorem.html |titel=Harmonic Addition Theorem |zugriff=2018-01-20 |sprache=en}}</ref>

:<math>a \sin(x+\alpha)+ b \sin(x+\beta)= \sqrt{a^2+b^2+2a b \cos(\alpha-\beta)}\cdot\sin(x+\delta),</math>
wobei <math>\delta= \operatorname{atan2} (a \sin \alpha+b \sin \beta, a \cos \alpha+b\cos\beta).</math>

Allgemeiner ist

:<math>\sum_i a_i \sin(x+\delta_i)= a \sin(x+\delta),</math>
wobei
:<math>a^2=\sum_{i,j}a_i a_j \cos(\delta_i-\delta_j)</math>
und
:<math>\delta= \operatorname{atan2} \left(\sum_i a_i \sin\delta_i, \sum_i a_i \cos\delta_i\right).</math>

=== Ableitungen und Stammfunktionen ===
Siehe Formelsammlung [[Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen#Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen|Ableitungen und Stammfunktionen]]

=== Bestimmte Integrale ===
Die Lösungen der nachfolgenden bestimmten Integrale stehen im Zusammenhang mit der [[Eulersche Betafunktion|Euler’schen Betafunktion]], welche weiterhin mit der [[Gammafunktion]] verknüpft ist. Das zweite Integral ist z.&nbsp;B. in der Physik bei der Berechnung von Kräften zwischen [[Magnet|zylinderförmigen Dauermagneten]] unter Verwendung der sogenannten [[Multipolentwicklung|Multipol-Entwicklung]] hilfreich.

:<math>\int_{0}^{\pi/2} \cos^{\nu_1}\varphi \sin^{\nu_2}\varphi \; \text{d}\varphi = \frac{1}{2} \cdot \operatorname{B}\left(\frac{\nu_1+1}{2}, \frac{\nu_2+1}{2}\right) \; , \quad \text{Re}\left(\frac{\nu_j+1}{2}\right)>0</math>
:<math>\int_{0}^{\pi} \cos^{\nu_1}\varphi \sin^{\nu_2}\varphi \; \text{d}\varphi = \operatorname{B}\left(\frac{\nu_1+1}{2}, \frac{\nu_2+1}{2}\right) \cdot \frac{1 + (-1)^{\nu_1}}{2}, \quad \nu_j = 0, 1, 2, 3, \dots
</math>

:<math>\int_{0}^{2\pi} \cos^{\nu_1}\varphi \sin^{\nu_2}\varphi \; \text{d}\varphi = 2 \cdot \operatorname{B}\left(\frac{\nu_1+1}{2}, \frac{\nu_2+1}{2}\right) \cdot \frac{1 + (-1)^{\nu_1}}{2} \cdot \frac{1 + (-1)^{\nu_2}}{2}, \quad \nu_j = 0, 1, 2, 3, \dots</math>

=== Reihenentwicklung ===

[[Datei:Sin taylor plot.svg|mini|250px|Der Sinus (rot) verglichen mit seinem 7.&nbsp;Taylorpolynom (grün)]]
Wie auch sonst in der [[Analysis]] werden alle Winkel im [[Bogenmaß]] angegeben.

Man kann zeigen, dass der Kosinus die [[Differentialrechnung|Ableitung]] des Sinus darstellt und die Ableitung des Kosinus der negative Sinus ist. Hat man diese Ableitungen, kann man die [[Taylorreihe]] entwickeln (am einfachsten mit dem Entwicklungspunkt <math>x=0</math>) und zeigen, dass die folgenden Identitäten für alle <math>x</math> aus den [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] gelten. Mit diesen Reihen werden die trigonometrischen Funktionen für [[Komplexe Zahl|komplexe]] Argumente definiert (<math>B_n</math> bzw. <math>\beta_n</math> bezeichnet dabei die [[Bernoulli-Zahl]]en):

:<math>\begin{align}
\sin x&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\
&=x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \pm\cdots \;,\qquad |x| < \infty
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
\cos x &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\\
&=1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} \pm \cdots \;,\qquad |x| < \infty
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
\tan x &=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{2^{2n}(1-2^{2n})\beta_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}\\
&=x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \frac{62}{2835}x^9 + \, \cdots \qquad |x| < \tfrac{\pi}{2}
\end{align}</math><ref>Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, '''[https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/abramowitz_and_stegun.pdf 4.3.67]''', (s.&nbsp;a. oben „Weblinks“)</ref>

:<math>\begin{align}
\cot x &= \frac{1}{x}-\sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^{n-1}2^{2n} \beta_{2n}}{(2n)!} x^{2n - 1} = \frac{1}{x}-\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}2^{2n} B_{2n}}{(2n)!} x^{2n - 1} \\
&= \frac{1}{x} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \frac{1}{4725}x^7 - \,\cdots, \qquad 0 < |x| < \pi
\end{align}</math><ref>Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, '''[https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/abramowitz_and_stegun.pdf 4.3.70]''', (s.&nbsp;a. oben „Weblinks“)</ref>

=== Produktentwicklung ===

:<math> \sin(x) = x \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{x^2}{k^2\pi^2} \right) </math>

:<math> \cos(x) = \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{4x^2}{(2k-1)^2\pi^2} \right) </math>
:<math> \sin(x) = \prod_{n=-\infty}^\infty \left(\frac{x+n\pi}{\frac\pi2+n\pi} \right) </math>
:<math> \cos(x) = \prod_{n=-\infty}^\infty \left(\frac{x+n\pi+\frac\pi2}{\frac\pi2+n\pi} \right) </math>
:<math> \tan(x) = \prod_{n=-\infty}^\infty \left(\frac{x+n\pi}{x+n\pi+\frac\pi2} \right) </math>
:<math> \csc(x) = \prod_{n=-\infty}^\infty \left(\frac{\frac\pi2+n\pi}{x+n\pi} \right) </math>
:<math> \sec(x) = \prod_{n=-\infty}^\infty \left(\frac{\frac\pi2+n\pi}{x+n\pi+\frac\pi2} \right) </math>
:<math> \cot(x) = \prod_{n=-\infty}^\infty \left(\frac{x+n\pi+\frac\pi2}{x+n\pi} \right) </math>

=== Zusammenhang mit der komplexen Exponentialfunktion ===

Ferner besteht zwischen den Funktionen <math>\sin x</math>, <math>\cos x</math> und der [[Exponentialfunktion#Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen|komplexen Exponentialfunktion]] <math>\exp (\mathrm{i} x)</math> folgender Zusammenhang:

: <math>\exp(\pm \mathrm{i} x) = \cos x \pm \mathrm{i} \sin x = e^{\pm \mathrm{i} x}</math> ([[Eulersche Formel]])

Weiterhin wird <math>\cos{x} + \mathrm{i} \sin{x} =: \operatorname{cis} (x)</math> geschrieben.<ref>Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis&nbsp;I, Birkhäuser Verlag, Basel 2006, 3.&nbsp;Auflage, S.&nbsp;292 und 298</ref>

Auf Grund der oben genannten Symmetrien gilt weiter:

: <math>\cos x = \frac{\exp(\mathrm{i} x) + \exp(-\mathrm{i} x)}{2}</math>

: <math>\sin x = \frac{\exp(\mathrm{i} x) - \exp(-\mathrm{i} x)}{2 \mathrm{i}}</math>

Mit diesen Beziehungen können einige Additionstheoreme besonders einfach und elegant hergeleitet werden.

== Sphärische Trigonometrie ==

Eine Formelsammlung für das [[Sphärische Trigonometrie#Rechtwinkliges Kugeldreieck|rechtwinklige]] und das [[Sphärische Trigonometrie#Sätze für das allgemeine Kugeldreieck|allgemeine Dreieck]] auf der Kugeloberfläche findet sich in einem eigenen Kapitel.

== Weblinks ==
* [[Abramowitz-Stegun]]: [https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/abramowitz_and_stegun.pdf Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Trigonometrie|!Formelsammlung]]
[[Kategorie:Formelsammlung|Trigonometrie]]
[[Kategorie:Liste (Mathematik)]]