Quelltext der Seite Fluidstatik

Die '''Fluidstatik''' ist innerhalb der [[Fluidmechanik]] die Lehre vom Verhalten der [[Fluid]]e, die in einem ruhenden oder bewegten [[Bezugssystem]], in dem die Betrachtungen durchgeführt werden, näherungsweise [[Statik (Physik)|statisch]], d.&nbsp;h. in Ruhe sind.<ref name="durst" details="S.&nbsp;165">{{Literatur |Autor=F. Durst |Titel=Grundlagen der Strömungsmechanik |Verlag=Springer |Datum=2006 |ISBN=3-540-31323-0 |Seiten=62 f.}}</ref>

Nach der Art des Fluids wird die Fluidstatik unterteilt in die [[Hydrostatik]], die sich mit [[Flüssigkeit]]en und insbesondere mit Wasser befasst, und die [[Aerostatik]], deren Gegenstand ruhende [[Gas]]e, insbesondere Luft ist. Gelegentlich wird ''Hydrostatik'' auch gleichbedeutend mit ''Fluidstatik'' verwendet. Das Gegenstück für bewegte/strömende Fluide ist die ebenfalls zur Fluidmechanik gehörende [[Fluiddynamik]].

Zentrale Inhalte der Fluidstatik sind die Charakteristik des [[Hydrostatischer Druck|hydrostatischen Drucks]], die Kräfte sowie ihre Angriffspunkte auf [[Behälter]]&shy;wandungen und auf ganz oder teilweise in ein Fluid eingetauchte Körper, speziell der [[Statischer Auftrieb|statische Auftrieb]], sowie die Ausbildung von [[Grenzfläche]]n.

== Erstarrungsprinzip für Fluide ==
{{Hauptartikel|Erstarrungsprinzip}}
Das Erstarrungsprinzip drückt eine nützliche Tatsache in der Fluidstatik aus. Demnach bleibt ein sich im [[Gleichgewicht (Systemtheorie)|Gleichgewicht]] befindendes Fluid im Gleichgewicht, auch wenn Teilbereiche davon erstarren.<ref name="sigloch" details="S.&nbsp;31">{{Literatur |Autor=H. Sigloch |Titel=Technische Fluidmechanik |Verlag=Springer Vieweg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-54291-6 |Seiten=31 |Online={{Google Buch |BuchID=GbAfBAAAQBAJ |Seite=26}} |Abruf=2020-03-17 |DOI=10.1007/978-3-642-54292-3}}</ref> Auf solchermaßen erstarrt gedachte Fluidvolumina können dann Einzelkräfte aufgebracht werden, was ansonsten nicht ohne Weiteres denkbar ist. Dies erlaubt beispielsweise das Archimedische Prinzip anschaulich zu begründen.

=== Archimedisches Prinzip ===
{{Hauptartikel|Archimedisches Prinzip}}
[[Datei:Center of buoyancy.svg|mini|Archimedisches Prinzip am Beispiel eines Schiffes]]
Betrachtet wird ein in Wasser schwimmendes Schiff, das ruht und sich im Gleichgewicht befindet, siehe Bild (a). Entfernt man gedanktlich das Schiff und ersetzt das von ihm verdrängte Volumen, sein [[Unterwasserschiff]], durch Wasser (b), das sogleich als erstarrt gedacht werden kann, dann bedeutet [[mechanisches Gleichgewicht]], dass das Schiff dieselbe [[Gewichtskraft]] ''F''<sub>G</sub> auf derselben Wirkungslinie wie das erstarrte Wasservolumen ''A'' aufweist. Das umgebende Wasser übt auf den erstarrt gedachten Teil des Wassers ''A'' eine entgegengerichtete Auftriebskraft ''F''<sub>A</sub> aus, was das Archimedische Prinzip darstellt:

{{Zitat
 |Text=Ein in eine Flüssigkeit eingetauchter Körper verliert so viel von seinem Gewicht, wie die von ihm verdrängte Flüssigkeit wiegt
 |Autor=[[Ludwig Prandtl]]
 |Quelle=<ref name="prandtl" details="S.&nbsp;22">{{Literatur |Hrsg=H. Oertel |Titel=Prandtl-Führer durch die Strömungslehre |TitelErg=Grundlagen und Phänomene |Auflage=13 |Verlag=Springer Vieweg |Datum=2012 |ISBN=978-3-8348-1918-5}}</ref>}}

Die Betrachtung kann auf vollständig eingetauchte Körper wie [[U-Boot]]e übertragen werden und gilt auch für Körper wie [[Gasballon]]s, die von Luft umgeben sind. Der Gewichtsverlust wird [[Statischer Auftrieb]] genannt. [[Schwimmstabilität]] ist gegeben, wenn der [[Gravizentrum|Schwerpunkt]] G unter dem [[Metazentrum]] des Schiffskörpers liegt.

== Eigenschaften von Fluiden ==
Nach DIN 5492 ist ein [[Fluid]] ein nichtfestes [[Kontinuum (Physik)|Kontinuum]], also ein nichtfestes zusammenhängendes Medium, auf das die Gesetze der [[Fluidmechanik]] anwendbar sind. Nach Art des Fluids wird die Fluidstatik unterteilt in:<ref name="sigloch" details="S.&nbsp;4,6,31" />
# [[Hydrostatik]], die sich mit [[Flüssigkeit]]en befasst, die
#* tropfbar sind, also eine [[Oberflächenspannung]] besitzen,
#* einer [[Verformung|Formänderung]] so gut wie keinen und
#* einer [[Volumen]]änderung hingegen einen recht großen Widerstand entgegensetzen. Für Flüssigkeiten ist die Idealisierung als [[inkompressibles Fluid]] oft probat.
# [[Aerostatik]], die sich mit kompressiblen Fluiden, [[Gas]]en und insbesondere Luft befasst, die anders als die Flüssigkeiten nicht tropfbar sind.

=== Oberflächen, Grenz- und Trennflächen ===
Fluide bilden Grenzflächen aus gegenüber [[Festkörper]]n und Fluiden, mit denen sie sich nicht vermischen. In der Fluidstatik passen sich Fluide vollständig den Grenzflächen an.<ref name="sigloch" details="S.&nbsp;31" /> [[Freie Oberfläche (Strömungslehre)|Freie Oberflächen]] sind Grenzflächen zwischen einer Flüssigkeit und einem Gas und ''Trennflächen'' sind Grenzflächen zwischen zwei sich nicht mischenden Flüssigkeiten.

Der [[Druck (Physik)|Druck]] über freien Oberflächen von Flüssigkeiten ist durch ihren stoff- und temperaturabhängigen [[Dampfdruck]] nach unten begrenzt.<ref name="sigloch" details="S.&nbsp;9" /> Eine freie Oberfläche wird in einer [[Technische Zeichnung|technischen Zeichnung]] durch ein [[gleichseitiges Dreieck]] gekennzeichnet ({{Unterstrich|&nbsp;▽&nbsp;}}), das mit einer Ecke auf der Oberfläche aufsitzt.<ref name="sigloch" details="S.&nbsp;31" />

=== Fluidkräfte ===
Die Teilchenkräfte, welche die Teilchen (Atome bzw. Moleküle) von Fluiden aufeinander ausüben, sind sehr viel kleiner als bei Festkörpern, weswegen die Teilchen in Fluiden leicht gegeneinander verschoben werden können. In Ruhe passen sie sich jeder Gefäßform an, wobei sich aufgrund der [[Oberflächenspannung]] an den Rändern einer freien Oberfläche [[Meniskus (Hydrostatik)|Menisken]] ausbilden. Sofern die freie Oberfläche im Vergleich zu den Menisken groß ist, können diese vernachlässigt werden; andernfalls ist [[Kapillarität]] zu berücksichtigen.

Auf die Fluidelemente wirken
* oberflächenerteilte Kräfte wie der Druck von angrenzenden Gasen, Flüssigkeiten oder Wänden (Festkörper),<ref name="sigloch" details="S.&nbsp;27" />
* volumenverteilte Kräfte wie die [[Schwerkraft]] und
* im beschleunigten Bezugssystem die volumenverteilte [[Führungskraft (Technische Mechanik)|Führungskraft]], denn Relativbewegungen sind in der Fluidstatik ausgeschlossen.

Da Punkte in einem [[Kontinuum (Physik)|Kontinuum]] keine Ausdehnung und Masse besitzen, sondern nur eine [[Dichte]], werden Kräfte auf die Fläche bezogen, auf der sie wirken, wodurch aus den Kräften flächenverteilte Kräfte, d.&nbsp;h. [[mechanische Spannung]]en (''σ'') oder [[Druck (Physik)|Drücke]] (''p'') werden. Freie Oberflächen stellen sich senkrecht zur Wirkungslinie der flächenverteilten Kräfte ein und der Innendruck an der Oberfläche ist gleich dem Außendruck. Volumenverteilte Kräfte wie die [[Gewichtskraft]] gehen in eine [[Beschleunigung]] <math>\vec k</math> über, wenn sie auf die Masse bezogen werden, und <math>\rho\vec k</math>, wenn sie auf das Volumen bezogen werden.

Die volumenverteilte Führungskraft, die in einem beschleunigten Bezugssystem K’ zur volumenverteilten Kraft <math>\rho\vec k</math> zu addieren ist, lautet:

:<math>\rho\vec k_f=-\rho\vec a_0-\rho\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r}'
-\rho\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}')</math>

Darin ist ''ρ'' die [[Dichte]], <math>\vec a_0</math> die translatorische Beschleunigung des Bezugssystems gegenüber einem [[Inertialsystem]] K, <math>\vec\omega,\,\dot{\vec\omega}</math> die [[Winkelgeschwindigkeit]] bzw. [[Winkelbeschleunigung]] von K’ in K, <math>\vec r'</math> der [[Ortsvektor]] in K' und × bildet das [[Kreuzprodukt]].

=== Fluidstatischer Spannungszustand ===
{{Siehe auch|Spannungszustand}}
Fluide setzen einer hinreichend langsamen [[Isochore Zustandsänderung|volumenerhaltenden]] [[Verformung|Formänderung]] so gut wie keinen Widerstand entgegen. Fluidteilchen kommen daher erst zur Ruhe, wenn nur noch [[Normalkraft|Normalkräfte]],<ref name="sigloch" details="S.&nbsp;31" /> d.&nbsp;h. nur noch [[Normalspannung]]en zwischen ihnen wirken; in einem ruhenden isotropen Fluid reduzieren sie sich auf den allseitig wirkenden Druck, dem die Fluidteilchen ausgesetzt sind.<ref name="bestehorn" details="S.&nbsp;52">{{Literatur |Autor=M. Bestehorn |Titel=Hydrodynamik und Strukturbildung |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg u.&nbsp;a. |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-33796-6}}</ref> In ruhenden Fluiden kommen keine [[Schubspannung]]en/kräfte vor. Dies definiert den hydrostatischen oder [[Hydrostatischer Spannungszustand|fluidstatischen Spannungszustand]]: Der Druck ist ein [[Skalar (Physik)|Skalar]], richtungsunabhängig und nur eine Funktion des Ortes.<ref name="sigloch" details="S.&nbsp;36" />

=== Dichte in ruhenden Fluiden ===
Die [[Kontinuitätsgleichung#Hydrodynamik|Kontinuitätsgleichung]] für die [[Dichte]] besagt, dass die Summe aus der zeitlichen Änderung der Dichte und der ein- und ausströmenden Massen&shy;[[stromdichte]] in einem (infinitesimal) kleinem Volumen verschwindet. In einem ruhenden Fluid ist die Massenstromdichte null, weil keine Massen transportiert werden, und daher gibt es auch keine zeitliche Änderung der Dichte. Die in einem Fluid im Allgemeinen von der Zeit und vom Ort abhängige Dichte kann in der Fluidstatik nur ortsabhängig sein.<ref name="durst" details="S.&nbsp;165" />

{| style="border:double;border-collapse:collapse;"
|- style="border-top:1px solid #3539BA;background:#3539BA;"
|style="border-left: 1px solid #3539ba;"|[[Datei:DerivationPascalsLawVertical.svg|250px]]
|style="border-right: 1px solid #3539ba;"|[[Datei:DerivationPascalsLawVertical.svg|250px]]
|-
|style="border-left: 1px solid #000000;"|Zylinder 1 mit Masse d''m''=d''m''<sub>1</sub>,
|style="border-right: 1px solid #000000;"|Zylinder 2 mit Masse d''m''=d''m''<sub>2</sub>
|- style="border-left:1px solid #000000;border-right:1px solid #000000;border-bottom:1px solid #000000;"
|colspan="2"|mit senkrecht wirkenden Gewichts- und Druckkräften (rot)
|}

Die Dichte ist im homogenen [[Schwerefeld]] auf jeder [[Niveaumenge|Niveaufläche]] des Drucks konstant.<ref name="prandtl" details="S.&nbsp;22" /> Denn die Gewichte d''m''<sub>1,2</sub>·''g'' der beiden abgebildeten Fluidzylinder, die sich zwischen zwei Niveauflächen mit Drücken ''p''<sub>1</sub> bzw. ''p''<sub>2</sub> im Abstand d''z'' befinden, muss im Gleichgewicht von den Differenzen der Druckkräfte getragen werden:

: ''p''<sub>1</sub>·d''A'' = ''p''<sub>2</sub>·d''A'' + d''m''<sub>1</sub>·''g'' = ''p''<sub>2</sub>·d''A'' + d''m''<sub>2</sub>·''g''

Bei gleichem Volumen der Zylinder ist das nur möglich, wenn die Dichte in beiden Zylindern dieselbe ist und somit d''m''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;d''m''<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;d''m'' ist. Mit kleiner werdendem Abstand d''z'' folgt, dass die Dichte auf Niveauflächen des Drucks konstant ist. Im Abschnitt [[#Niveauflächen des Drucks]] zeigt sich, dass die Flächen konstanten Drucks im Schwerefeld der Erde horizontal verlaufen. Allgemein sind Flächen konstanten Drucks senkrecht zu den [[Kraftlinie]]n, siehe [[#Allgemeine fluidstatische Grundgleichung]].

Hieraus folgt auch, dass der Druck auf einer Trennfläche zwischen zwei Flüssigkeiten verschiedener Dichte überall gleich sein muss. Deren Schichtung ist stabil, wenn die Flüssigkeit mit der geringeren Dichte über der mit der größeren Dichte liegt. Denn verläuft zwischen den Niveauflächen des Drucks bei den beiden Zylindern oben eine geneigte Trennfläche, versuchen die Druckkräfte im stabilen Fall diese Neigung zu verringern und im instabilen Fall zu vergrößern.<ref name="prandtl" details="S.&nbsp;23" /> Diese Stabilitätsbedingung ist [[Notwendigkeit|notwendig]] für Stabilität aber nicht [[hinreichend]]. In Gasen muss die Dichte wenigstens so stark wie in der [[homentrop]]en Dichteschichtung abnehmen, denn diese zeichnet sich gerade durch ein [[indifferentes Gleichgewicht]] aus.<ref name="spurk" details="S.&nbsp;165" /> Siehe auch [[Barometrische Höhenformel]] und [[Inversionswetterlage]].

Wenn die [[Thermische Zustandsgleichung idealer Gase#Die thermische Zustandsgleichung|allgemeine Gasgleichung]] ''p''=ρR<sub>s</sub>T mit [[Spezifische Gaskonstante|spezifischer Gaskonstante]] R<sub>s</sub> und Temperatur T genügend genau gilt, oder eine vergleichbare [[thermische Zustandsgleichung]], die den [[Druckgradient]] parallel zum [[Temperaturgradient]] ausweist, dann sind die Niveauflächen des Drucks auch Niveauflächen der Temperatur.<ref name="spurk" details="S.&nbsp;164" />

== Grundgleichung der Fluidstatik ==
Die Grundgleichung der Fluidstatik ist Ausdruck des Pascal’schen Gesetzes von 1663,

{{Zitat
 |Text=Que les Liquers pèsent suivant leur hauteur
 |Sprache=fr
 |Autor=[[Blaise Pascal]]
 |Quelle=<ref>{{Literatur |Autor=[[Blaise Pascal]] |Titel=Abhandlung über das Gleichgewicht von Flüssigkeiten und vom Gewicht der Masse der Luft |Ort=Paris |Datum=1663 |Kapitel=Chapitre I. Que les Liquers pèsent suivant leur hauteur |Seiten=1 |Sprache=fr |Kommentar=Posthume zweite Veröffentlichung. |Originaltitel=Traitez de l'équilibre des liqueurs et de la pesanteur de la masse de l'air |Online=https://archive.org/details/bub_gb_F8UPAAAAQAAJ |Abruf=2022-02-19}}</ref>
 |Übersetzung=dass Flüssigkeiten entsprechend ihrer Höhe wiegen}}

In moderner Ausdrucksweise heißt das, dass der [[Druck (Physik)|Druck]] in Fluiden linear mit der Höhe der Fluidsäule zunimmt, die auf dem betrachteten Punkt lastet, und auf gleicher Höhe überall gleich ist. Dieser Sachverhalt wird im Folgenden begründet. Der von der Fluidsäule ausgeübte Druck wird [[Hydrostatischer Druck]] genannt.

=== Pascalsches Druckfortpflanzungsgesetz ===
[[Datei:polydirectionalPressure.svg|mini|Zylinder (hervorgehoben) mit Länge d''l'' und Stirnfläche d''A'' in einem Fluid (bläulich)]]
Jedes Fluid ist schwer, aber in vielen Fällen, insbesondere unter hohen Umgebungsdrücken, kann der Einfluss der Schwerkraft vernachlässigt werden. Dann gilt das ''Pascalsche Druckfortpflanzungsgesetz'', auch (uneindeutig) ''Pascalsches Prinzip''<ref>{{Literatur |Autor=D. C. Giancoli |Hrsg=Oliver Eibl |Titel=Physik |Verlag=Pearson Deutschland GmbH |Ort=München |Datum=2006 |ISBN=978-3-8273-7157-7 |Seiten=457 |Online={{Google Buch |BuchID=x-Y2F9xxAWMC |Seite=457}} |Abruf=2022-03-24}}</ref> oder ''Pascalsches Gesetz''<ref>{{Literatur |Titel=Handbuch zur Geschichte der Naturwissenschaften und Technik |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=1908 |Seiten=129 |Sprache=de |Online=https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AHandbuch_zur_Geschichte_der_Naturwissenschaften_und_der_Technik.pdf |Abruf=2022-03-24}}</ref> genannt: Der Druck pflanzt sich nach allen Richtungen gleichmäßig und unvermindert durch das gesamte Fluid fort. Überall im Innern des Fluids und an der Berandung herrscht dann der gleiche Druck.<ref name="sigloch" details="S.&nbsp;37" />

Denn der hervorgehobene Zylinder im Bild ist im umgebenden Druckfeld im Gleichgewicht mit seiner Umgebung und somit in Ruhe. Unter diesen Umständen kann das [[#Erstarrungsprinzip für Fluide]] angewendet werden und der Zylinder wie ein starrer Körper behandelt werden:<ref name="prandtl" details="S.&nbsp;19" />
* Die Druckkräfte auf der [[Mantelfläche]] des Zylinders wirken senkrecht zur Fläche und damit auch senkrecht zur Zylinderachse. Die Kräfte tragen deshalb nicht zu den Kraftkomponenten parallel zur Zylinderachse bei, und das unabhängig davon, wie der Druck auf der Mantelfläche verteilt ist.
* Die Drücke ''p''<sub>1,2</sub> auf den Stirnflächen können bei kleinem Inhalt d''A'' als gleichverteilt angenommen werden. Dann ist die Druckkraft am einen Ende ''p''<sub>1</sub>&nbsp;d''A'' und am anderen Ende ''p''<sub>2</sub>&nbsp;d''A'' und ersterer entgegengesetzt. Der Zylinder bleibt genau dann in Ruhe, wenn sich die Druckkräfte gegenseitig aufheben, also

:: ''p''<sub>1</sub> d''A'' = ''p''<sub>2</sub> d''A''&nbsp;&nbsp;&nbsp;→&nbsp;&nbsp;&nbsp;''p''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;''p''<sub>2</sub>

: ist. Die Länge, Lage und Ausrichtung des Zylinders ist dabei offenbar ohne Belang. Innerhalb des Fluids ist in Abwesenheit einer Schwerkraft (und anderer volumenverteilter Kräfte) der Druck in allen Richtungen und an allen Orten im Fluid gleich groß.

=== Druck auf gekrümmten Flächen ===
[[Datei:Reservoir hemicylindrique sous pression.svg|300px|mini|Druck in einem Behälter mit gekrümmten Wänden]]

Wenn ein Behälter mit gekrümmten Wänden wie im Bild mit einem Fluid gefüllt ist, das einem Druck p ausgesetzt ist, dann verteilt sich in ihm der Druck nach dem [[#Pascalsches Druckfortpflanzungsgesetz|#Pascalschen Druckfortpflanzungsgesetz]] gleichmäßig im Volumen und wirkt senkrecht auf den Wänden, siehe linker Bildteil. Die [[resultierende Kraft]] in senkrechter Richtung ist im oberen gekrümmten Teil entgegengesetzt gleich dem im unteren ebenen Teil. Die Verbindungsstellen sind einer entsprechenden [[Zugkraft]] ausgesetzt. Die [[Verbindungselement]]e, die die obere Kuppel mit dem unteren ebenen Teil zusammenhalten, müssen die vom Druck in der Kuppel ausgeübte Kraft <math>\vec F_\text{gaz/1}=-\vec F_\text{gaz/2}</math> abtragen.

Allgemein ist die in einer bestimmten Richtung wirkende Komponente der resultierenden Druckkraft auf eine gewölbte Fläche gleich der Druckkraft auf einer ebenen Fläche, die entsteht, wenn die gewölbte Fläche parallel projiziert wird auf eine Ebene, die senkrecht zur Projektionsrichtung ist.<ref name="sigloch" details="S.&nbsp;40" /> Man kann sich den Rand der irgendwie gewölbten Fläche in Projektionsrichtung [[Extrusion (Geometrie)|extrudiert]] vorstellen und im extrudierten Teil auf einer zur Extrusionsrichtung senkrechten [[Schnittprinzip|Schnittebene]] die [[Mechanisches Gleichgewicht|Gleichgewichtsbedingungen]] auswerten, was auf obige Aussage führt.

=== Niveauflächen des Drucks ===
[[Datei:DerivationPascalsLawHorizontal.svg|mini|Zylinder (hervorgehoben) mit Länge d''x'' und Stirnfläche d''A'' in einem Fluid (bläulich)]]
Innerhalb des Fluids ist der Druck in einer horizontalen Ebene und dort in allen Richtungen im Fluid gleich groß. Diese Ebenen definieren die [[Niveaumenge|Niveauflächen]] des Drucks.

Denn bei einer [[lotrecht]] wirkenden [[Schwerkraft]] und einem horizontal orientierten Zylinder liegen ähnliche Verhältnisse wie im Abschnitt [[#Pascalsches Druckfortpflanzungsgesetz]] vor, siehe Bild. Auch hier kann das [[#Erstarrungsprinzip für Fluide]] angewendet werden, denn der hervorgehobene Zylinder ist im umgebenden Druckfeld im [[Gleichgewicht (Systemtheorie)|Gleichgewicht]] mit seiner Umgebung und somit in Ruhe:
* Genauso wie die Druckkräfte auf der Mantelfläche, wirkt auch die [[Gewichtskraft]] d''m·g'' des Zylinders senkrecht zur Zylinderachse und trägt nichts zu den Kraftkomponenten parallel zur horizontalen Zylinderachse bei.
* Die Drücke ''p''<sub>1,2</sub> auf den Stirnflächen können auch hier bei kleinem Inhalt d''A'' als gleichverteilt angenommen werden. Dann ist die Druckkraft am einen Ende ''p''<sub>1</sub>&nbsp;d''A'' und am anderen Ende ''p''<sub>2</sub>&nbsp;d''A'' und ersterer entgegengesetzt. Der Zylinder bleibt in horizontaler Richtung genau dann in Ruhe, wenn sich wie oben die Druckkräfte auf den Stirnflächen gegenseitig aufheben:

:: ''p''<sub>1</sub> d''A'' = ''p''<sub>2</sub> d''A''&nbsp;&nbsp;&nbsp;→&nbsp;&nbsp;&nbsp;''p''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;''p''<sub>2</sub>

: Die Orientierung der x-Achse ist dabei offenbar ohne Belang, solange sie nur senkrecht zur Schwerkraft ist.
In [[inhomogen]]en Kraftfeldern ist diese Ableitung nur bei kurzen Zylindern mit kleinem d''x'' richtig und die Niveauflächen gleichen Drucks nicht mehr eben, sondern [[Krümmung|gekrümmt]], aber in jedem Punkt senkrecht zu den [[Kraftlinie]]n.

=== Fluidstatisches Grundgesetz ===
Das fluidstatische Grundgesetz

: p(z) = p<sub>0</sub> − ρ g z

drückt das Pascalsche Gesetz mathematisch aus, das besagt, dass
# der Druck in Fluiden linear mit der Höhe der Fluidsäule zunimmt, die auf dem betrachteten Punkt lastet, und
# bei gleicher Höhe überall gleich ist.

Letztere Teilaussage ist Gegenstand des Abschnitts [[#Niveauflächen des Drucks]] und folgt in der Formel aus der Tatsache, dass der Druck p(z) nur von einer Koordinate (z) abhängt und nicht etwa auch von x (siehe Bild). Der Druck p<sub>0</sub> ist der Druck auf der Bezugsebene bei z gleich null. Die mit z gehende Druckänderung ist proportional zur [[Dichte]] ρ des Fluids und der [[Schwerebeschleunigung]] g. Auf Niveauflächen mit konstantem z ist der Druck überall gleich. Die Druckänderung ist in z-Richtung am größten und diese weist entgegen der [[Schwerkraft]] nach oben; daher das Minuszeichen vor dem letzten Term, denn der Druck p(z) nimmt wie der [[Luftdruck]] mit zunehmender Höhe z ab, weil die auf Punkten in der Höhe z lastende Fluidsäule mit z kleiner wird. Wenn der Hydrostatische Druck stattdessen mit der Tiefe t&nbsp;=&nbsp;−z unter der Bezugsebene bei t gleich null ausgedrückt werden soll, dann lautet das fluidstatische Grundgesetz<ref name="sigloch" details="S.&nbsp;43" />

: p(t) = p<sub>0</sub> + ρ g t

[[Datei:DerivationPascalsLawVertical.svg|mini|Zylinder (hervorgehoben) mit Gewichtskraft d''m''·''g'', Länge d''z'' und Stirnfläche d''A'' in einem Fluid (bläulich)]]
Die Herleitung erfolgt an einem parallel zum [[Schwerefeld]] orientierten Zylinder (siehe Bild), dessen Gewichtskraft in Richtung der Druckkräfte auf den Stirnflächen wirkt.
* Die Druckkräfte auf der Mantelfläche wirken horizontal und tragen auch hier nichts zu den Kraftkomponenten parallel zur nun senkrechten Zylinderachse bei.
* In senkrechter Richtung muss die Druckkraft ''p''<sub>1</sub>&nbsp;d''A'' auf der unteren Stirnfläche die Druckkraft ''p''<sub>2</sub>&nbsp;d''A'' auf der oberen Stirnfläche und zusätzlich die Gewichtskraft d''m·g'' des Zylinders tragen, damit der Zylinder seine Höhe beibehält, also weder aufsteigt noch absinkt. Das ist der Fall, wenn der Unterschied der Druckkräfte an den Stellen 1 und 2 gleich dem Gewicht der dazwischen liegenden senkrechten Fluidsäule ist:

:: ''p''<sub>1</sub> d''A'' = ''p''<sub>2</sub> d''A'' + d''m·g''

Bei konstanter Querschnittsfläche d''A'' ist das Volumen des Zylinders d''A''·d''z'' und bei (infinitesimal) kleinem Volumen kann dort die [[Dichte]] ''ρ'' als konstant angenommen werden mit den Konsequenzen d''m''&nbsp;=&nbsp;''ρ''·d''A''·d''z'' und

: ''p''<sub>1</sub> d''A'' = ''p''<sub>2</sub> d''A'' + ''ρg''·d''A''·d''z''&nbsp;&nbsp;&nbsp;→&nbsp;&nbsp;&nbsp;''p''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;''p''<sub>2</sub>&nbsp;+&nbsp;''ρg''·d''z''

Mit ''p''<sub>1</sub> = ''p''(''z'') und ''p''<sub>2</sub> = ''p''(''z''+d''z'') entsteht nach Division durch d''z'' und [[Grenzwert (Folge)|Grenzübergang]] d''z''&nbsp;→&nbsp;0 eine [[autonome Differentialgleichung]]

:<math>\frac{\partial p}{\partial\mathsf z}=-\rho g</math>{{Anker|Grundgesetz in differentieller Form}}

die bei konstanter [[Wichte]] ''ρg'' auf das ''Hydrostatische'' oder ''Fluidstatische Grundgesetz''

:<math>p(\mathsf z)=p_0-\rho g\mathsf z</math>

führt,<ref name="sigloch" details="S.&nbsp;43" /> das Blaise Pascal 1663 erstmals formulierte. Die [[Integrationskonstante]] ''p''<sub>0</sub> ist der Druck bei ''z''&nbsp;=&nbsp;0. Die Grundgleichung kann umgestellt werden zu

:<math>p+\rho g\mathsf z=p_0=\text{konst.}</math>

was die [[Bernoullische Druckgleichung]] für ein ruhendes inkompressibles Fluid darstellt und die hier im gesamten Fluid gilt.<ref name="spurk" details="S.&nbsp;163">{{Literatur |Autor=J. H. Spurk |Titel=Strömungslehre |TitelErg=Einführung in die Theorie der Strömungen |Auflage=8. überarbeitete Auflage |Verlag=Springer Verlag |Ort=Heidelberg, Dordrecht, London, New York |Datum=2010 |ISBN=978-3-642-13142-4 |Online={{Google Buch |BuchID=VTimBwAAQBAJ |Seite=138}} |Abruf=2022-03-25 |DOI=10.1007/978-3-642-13143-1}}</ref>

Neben der [[Schwerebeschleunigung]] können auch andere Beschleunigungen, wie bei einer gleichmäßigen Beschleunigung oder einer Drehbewegung wirken und somit die Richtung des maximalen Druckanstiegs bestimmen, siehe [[#Allgemeine fluidstatische Grundgleichung]].

=== Gleichgewicht in beliebigen Kraftfeldern ===
[[Datei:levelSetOfForceField.svg|mini]]
Die bisherigen Überlegungen können auf alle stationären Kraftfelder übertragen werden, die [[Niveaumenge|Niveauflächen]] besitzen, die in jedem ihrer Punkte einen [[Normalenvektor]] besitzen ([[stetig differenzierbar]] sind.) Dann gilt:<ref name="prandtl" details="S.&nbsp;34" />
* In jeder Richtung senkrecht zur Kraftrichtung ist der Druck konstant, und zwar aus demselben Grund, wie im Abschnitt [[#Niveauflächen des Drucks]] gezeigt.
* Gleichgewicht kann nur existieren, wenn das Kraftfeld ein [[Potential (Physik)|Potential]] besitzt. Dann sind die Flächen gleichen Potentials auch Niveauflächen des Drucks, der in Richtung des Kraftfeldes zunimmt.

Denn gemäß dem [[#Grundgesetz in differentieller Form]] nimmt der Druck in Richtung der Kraftrichtung (rot im Bild) gemäß

: d''p'' = ''ρg''·d''z''

zu, wo hier ''g'' nicht die Schwerebeschleunigung, sondern die Stärke des betrachteten Kraftfelds angibt und ''z'' diesmal in Richtung zunehmenden Drucks wächst. An den Stellen 1 und 2 ergibt sich:

: d''p'' = ''ρ''<sub>1</sub>''g''<sub>1</sub>·d''z''<sub>1</sub> = ''ρ''<sub>2</sub>''g''<sub>2</sub>·d''z''<sub>2</sub>

Wenn die Dichte ''ρ'' auf den Niveauflächen des Drucks (oder überall) konstant ist, siehe [[#Dichte in ruhenden Fluiden]], dann sind die Dichten an den Stellen 1 und 2 gleich: ''ρ''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;''ρ''<sub>2</sub>. Damit ist auch die [[Arbeit (Physik)|Arbeit]]

: d''w'' = ''g''<sub>1</sub>·d''z''<sub>1</sub> = ''g''<sub>2</sub>·d''z''<sub>2</sub>,

die vom Kraftfeld zwischen den beiden Niveauflächen geleistet wird, an den Stellen 1 und 2 gleich und hat somit zwischen den beiden Niveauflächen überall denselben Wert. Das bedeutet aber, dass das Kraftfeld ein Potential besitzt:

: d''p'' = ''g''·d''z'' = -''ρ''·d''U''

Das Minuszeichen kommt daher, dass das Potential ''U'' in Richtung der Kraft abnimmt, die hier in ''z''-Richtung weist. Das ist wie bei der [[Lageenergie]], die entgegen der [[Lotrichtung]] zunimmt. Siehe auch [[#Allgemeine fluidstatische Grundgleichung]].

== Randwertaufgaben der Fluidstatik ==
Die Lösung von Randwertaufgaben der Fluidstatik sind gewissen [[#Randbedingungen]] genügende Lösungen der allgemeinen fluidstatischen Grundgleichung. Sofern die Randbedingungen von flexiblen Körpern, insbesondere von anderen Fluiden, aufgebracht werden, oder in inhomogenen Kraftfeldern, kann die Bestimmung der genauen Form des Randes mit zur Lösung des Randwertproblems gehören. Die eingangs angesprochene Bestimmung von Kräften sowie ihre Angriffspunkte auf Behälterwandungen ist ein Beispiel für eine Randwertaufgabe der Fluidstatik; weitere Beispiele finden sich im Abschnitt [[#Bekannte Lösungen]].

=== Allgemeine fluidstatische Grundgleichung ===
In einem ruhenden Fluid entfällt der Einfluss der (geschwindigkeitsabhängigen) [[Viskosität]]s&shy;kräfte und Geschwindigkeitsänderungen treten nicht auf, sodass sich gleichermaßen aus den [[Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik)|Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik]] und den [[Navier-Stokes-Gleichungen]] die allgemeine fluidstatische Grundgleichung für ruhende Fluide ergibt:<ref name="spurk" details="S.&nbsp;164" /><ref name="durst" details="S.&nbsp;166" />

:<math>\nabla p=\mathrm{grad}\,p=\rho\vec k</math>

Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] des Drucks, der in der [[Fluidmechanik]] vorzugsweise mit dem [[Nabla-Operator]] 𝜵 ausgedrückt wird, ist [[Proportionalität|proportional]] zur Massenkraft oder Beschleunigung <math>\vec k</math> mit der [[Dichte]] ''ρ'' des Fluidelements als Proportionalitätsfaktor. Alle Größen in der Grundgleichung können vom Ort abhängen und die Dichte kann insbesondere in Gasen vom Druck abhängen.

Die allgemeine Grundgleichung ist nur [[integrabel]], wenn die [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] der rechten Seite gemäß

:<math>\nabla\times(\rho\vec k)
=(\nabla\rho)\times\vec k+\rho\nabla\times\vec k=\vec0</math>

verschwindet, denn das Gradientenfeld des Drucks <math>\nabla p</math> ist jedenfalls rotationsfrei. Nur dann kann [[Gleichgewicht (Systemtheorie)|Gleichgewicht]] herrschen, ansonsten wird sich das Fluid in Bewegung setzen.<ref name="spurk" details="S.&nbsp;164" /> Die Integrabilitätsbedingung ist auch erfüllt, wenn der Gradient der Dichte null oder parallel zur Massenkraft ist und die Rotation der Massenkraft verschwindet, die Massenkraft also ein Potential besitzt, siehe [[#Gleichgewicht in beliebigen Kraftfeldern]].

Wenn das Fluid in einem [[Beschleunigtes Bezugssystem|beschleunigten Bezugssystem]] relativ ruht, muss die volumenverteilte [[Führungskraft (Technische Mechanik)|Führungskraft]] <math>\rho\vec k_f</math> addiert werden, siehe [[#Fluidkräfte]]:

:<math>\nabla p=\rho(\vec k+\vec k_f)</math>

Hier muss nun <math>\rho(\vec k+\vec k_f)</math> rotationsfrei sein.

Die Druckänderung ist in Richtung des Gradienten am größten und verschwindet senkrecht zu ihm, weswegen [[Isobare]]n überall senkrecht zum Druckgradient sind. An freien Oberflächen, auf denen der Druck (näherungsweise) konstant ist, ist der Druckgradient und mit ihm der Beschleunigungsvektor <math>\vec k</math> senkrecht zur Oberfläche.

=== Barotropes Fluid in konservativem Massenkraftfeld ===
Ein wichtiger Spezialfall sind [[Barotropie|barotrope]] Fluide, in denen die Dichte nur eine Funktion des Drucks ist. Das ist der Fall,<ref name="spurk" details="S.&nbsp;118" />
* wenn das Fluid inkompressibel ist (die Dichtefunktion ist eine Konstante),
* wenn die Dichte-Druck-Relation von der Form ρ(p,T) ist und die Temperatur T überall gleich ist, also nur [[isotherme Zustandsänderung]]en vorkommen, oder
* wenn die Dichte-Druck-Relation von der Form ρ(p,s) ist und die Entropie s überall gleich ist, also nur [[isentrope Zustandsänderung]]en stattfinden.

Dann gibt es die ''Druckfunktion P'' mit der Eigenschaft

:<math>P:=\int\frac{\mathrm{d}p}{\rho(p)}
\quad\Leftrightarrow\quad
\mathrm{d}P=\frac{\mathrm{d}p}{\rho}
\quad\Leftrightarrow\quad
\nabla P=\frac{1}{\rho}\nabla p\,.
</math>

Ein [[Konservative Kraft|konservatives Massenkraftfeld]] besitzt ein Potential, <math>\vec k=-\nabla V</math>, wo das Minuszeichen Konvention ist. Dann kann die allgemeine fluidstatische Grundgleichung umgeformt werden in

:<math>\vec0=\frac1{\rho}\nabla p-\vec k=\nabla(P+V)</math>

Die Summe aus Druckfunktion und Massenkraftpotential besitzt keinen Gradienten und ist im Fluid mithin ortsunabhängig. Die Druckfunktion kann in [[Ideales Gas|idealen Gasen]] vorab integriert werden, siehe [[Bernoulli-Gleichung#Erweiterte bernoullische Druckgleichung viskositätsfreier, idealer Gase]] mit Geschwindigkeit <math>u=0</math>. Hieraus kann beispielsweise die [[Barometrische Höhenformel]] für isotherme oder isentrope Atmosphären berechnet werden.

=== Randbedingungen ===
Die Randbedingungen bestimmen die Ränder des vom Fluid ausgefüllten Raumes ([[Dirichlet-Randbedingung]]) und die Druckverteilung auf diesen Rändern, den [[#Oberflächen, Grenz- und Trennflächen]] des Fluids, ist eine [[Neumann-Randbedingung]]. Der von außen aufgebrachte Druck muss an den Rändern gleich dem Innendruck im Fluid sein.

=== Bekannte Lösungen ===
* [[#Fluidstatisches Grundgesetz]]
* Druckverteilung in einem gleichmäßig beschleunigten Fluid<ref name="sigloch" details="S.&nbsp;31f" /><ref name="durst" details="S.&nbsp;169" />
* Druckverteilung eines Fluids in einem Behälter, der eine schiefe Ebene hinab gleitet<ref name="durst" details="S.&nbsp;171" />
* Druckverteilung in einem gleichmäßig rotierenden Fluid<ref name="sigloch" details="S.&nbsp;32f" /><ref name="durst" details="S.&nbsp;173" />
Lösungen mit dem [[#Grundgesetz in differentieller Form]]:
* [[Barometrische Höhenformel]] für isotherme Atmosphäre<ref name="prandtl" details="S.&nbsp;27ff" /><ref name="durst" details="S.&nbsp;199ff" />
* [[Barometrische Höhenformel]] für isentrope Atmosphäre

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Leopold Böswirth
   |Titel=Technische Strömungslehre
   |Auflage=6.
   |Verlag=Vieweg+Teubner
   |Datum=2005
   |ISBN=978-3-528-54925-1}}
* {{Literatur
   |Autor=D. Bestle
   |Titel=Technische Mechanik III: Schwingungen und Hydromechanik
   |TitelErg=Arbeitsunterlagen zur Vorlesung
   |Verlag=Lehrstuhl Technische Mechanik und Fahrzeugdynamik, Brandenburgische Technische Universität Cottbus
   |Datum=2009
   |Online=[http://www-docs.tu-cottbus.de/mechanik/public/pdf/TM3/tm3-m12.pdf Volltext Kapitel 12 ''Fluidstatik''] als PDF auf www-docs.tu-cottbus.de}}

[[Kategorie:Strömungsmechanik]]