Quelltext der Seite Fluchtgeschwindigkeit (Raumfahrt)

Beim Erreichen der '''Flucht-''' oder '''Entweichgeschwindigkeit''' ist die [[kinetische Energie]] eines [[Kraftfeld|Probekörpers]] gerade ausreichend, um dem [[Gravitationspotential]] eines Himmelskörpers ohne weiteren Antrieb – [[Ballistik|ballistisch]] – zu entkommen. Tabellierte Werte beziehen sich meist auf die Oberfläche von Himmelskörpern als Ausgangspunkt. Nicht berücksichtigt werden gegebenenfalls die Luftreibung sowie der Geschwindigkeitsbeitrag durch die Rotation des Himmelskörpers und Beiträge anderer Körper zum Gravitationspotential; sie sind in der Praxis natürlich zu beachten. Vereinfacht hängt die Fluchtgeschwindigkeit bei einem als [[Kugelsymmetrie|kugelsymmetrisch]] angenommenen Himmelskörper nach dem [[Birkhoff-Theorem|Schalentheorem]] lediglich von dessen [[Masse (Physik)|Masse]] und [[Radius]] ab.

Die Fluchtgeschwindigkeit von der [[Erde]] heißt auch ''zweite'' '''kosmische Geschwindigkeit''' – die ''erste'' ist die Kreisbahngeschwindigkeit eines [[Orbitalflug]]s im [[Low Earth Orbit|niedrigen Orbit]] um die Erde. Der Begriff der ''kosmischen Geschwindigkeit'' mit der Bedeutung sehr großer Geschwindigkeit entstand in der Mitte des 19. Jahrhunderts im Zusammenhang mit [[Meteor]]en.<ref>[[Giovanni Schiaparelli|Giovanni Virginio Schiaparelli]]: ''Entwurf einer astronomischen Theorie der Sternschnuppen''. 1867, Übersetzung aus dem Italienischen 1871, {{Google Buch|BuchID=s-Q9q0fLsWcC}}, [https://reader.digitale-sammlungen.de//de/fs1/object/display/bsb10998807_00005.html Digitalisat] des Originals.</ref> Zur Zeit des [[Wettlauf ins All|Wettlaufs zum Mond]] wurden die ''kosmischen'' Geschwindigkeiten gelegentlich auch ''astronautische'' genannt.<ref>Karl Böhm, R. Dörge: ''Auf dem Weg zu fernen Welten: ein Buch von der Weltraumfahrt.'' Neues Leben, Berlin, 1958, S. 89.</ref>

== Kreisbahngeschwindigkeit ==
[[Datei:Newton Cannon.svg|mini|Bei horizontalem Abschuss fällt ein Körper auf die Erdoberfläche zurück, wenn die Fluchtgeschwindigkeit nicht erreicht wird (A bzw. B).<br /> Mit der 1. kosmischen Geschwindigkeit beschreibt der Körper eine [[Kreis]]bahn um die Erde und wird ein [[Satellit (Raumfahrt)|Satellit]] (C), mit etwas höherer Geschwindigkeit wird eine [[ellipse]]nförmige Umlaufbahn erreicht (D).<br /> Mit der 2. kosmischen Geschwindigkeit des [[Raumflugkörper]]s öffnet sich die Bahn zu einer [[Keplerparabel]] (E).]]

Wenn sich ein Körper mit der Geschwindigkeit <math>v</math> auf einer Kreisbahn mit Radius <math>r</math> um das Zentrum der Erde (oder eines anderen Himmelskörpers) bewegt, beträgt seine [[Zentripetalkraft|Zentripetalbeschleunigung]] <math>\frac{v^2}{r}</math>. Im [[Freier Fall|freien Fall]] wird sie ausschließlich von der Gravitation des Planeten verursacht, also:

:<math>\frac{v^2}{r} = \frac{G M}{r^2}</math>

Dabei ist <math>G</math> die [[Gravitationskonstante]] und <math>M</math> die Masse des Planeten. Die Kreisbahngeschwindigkeit ergibt sich durch Umstellen der obigen Gleichung zu:

:<math>v = \sqrt{\frac{G M}{r}}</math>

Für die Erde ist <math>GM_\oplus =</math> 3,986·10<sup>14</sup>&nbsp;m<sup>3</sup>/s<sup>2</sup> und der mittlere Radius 6371&nbsp;km. Damit ergibt sich die Kreisbahngeschwindigkeit als ''erste kosmische Geschwindigkeit'' zu <math>v_1</math> = 7,91&nbsp;km/s. Dieser Wert hat keine praktische Bedeutung, da solche Geschwindigkeiten innerhalb der Erdatmosphäre nicht aufrechtzuerhalten sind. Der Flugkörper würde durch den [[Luftwiderstand]] stark abgebremst und durch die dabei entstehende Hitze zerstört.

In etwa 180&nbsp;km Höhe, also etwa an der Grenze der [[Erdatmosphäre]], beträgt die Kreisbahngeschwindigkeit etwa 7,8&nbsp;km/s (28.080&nbsp;km/h).

Bei einem Raketenstart spielt auch die lokale Rotationsgeschwindigkeit der Erde eine Rolle, da sie die durch die Rakete aufzubringende Geschwindigkeit reduzieren kann. Maximal ist dieser Effekt bei einem Start am Äquator in Richtung Osten. Unter dieser Bedingung liefert die Erdrotation einen Beitrag von etwa 0,46&nbsp;km/s.

== Fluchtgeschwindigkeit ==
{| class="wikitable float-right zebra" style="text-align:center;"
|+ Fluchtgeschwindigkeiten an der Oberfläche<ref>[https://ssd.jpl.nasa.gov/planets/phys_par.html Kenndaten der Planten] (NASA); abgerufen am 25. Dezember 2024.</ref>
|-
! Himmels&shy;körper
! <math>v_2</math> am Äquator<br />in km/s
|-
| [[Merkur (Planet)|Merkur]] || {{0|00}}4,3
|-
| [[Venus (Planet)|Venus]] || {{0}}10,4
|-
| [[Erde]] || {{0}}11,2
|-
| [[Mond]] || {{0|00}}2,3
|-
| [[Mars (Planet)|Mars]] || {{0|00}}5,0
|-
| [[Phobos (Mond)|Phobos]] || {{0|00}}0,011
|-
| [[Deimos (Mond)|Deimos]] || {{0|00}}0,006
|-
| [[(1) Ceres|Ceres]] || {{0|00}}0,5
|-
| [[Jupiter (Planet)|Jupiter]] || {{0}}60,2
|-
| [[Saturn (Planet)|Saturn]] || {{0}}36,1
|-
| [[Uranus (Planet)|Uranus]] || {{0}}21,4
|-
| [[Neptun (Planet)|Neptun]] || {{0}}23,6
|-
| [[Pluto]] || {{0|00}}1,2
|-
| [[Sonne]] || 617,4
|-
| Sonne<br />im Erdabstand<ref>Für den Wert von 42,1&nbsp;km/s ist anzumerken: startet ein Satellit/Probekörper/Teilchen von der Sonnenoberfläche mit der dortigen Fluchtgeschwindigkeit von 617,4&nbsp;km/s, so hat er/es beim Erreichen der Umlaufbahn der Erde um die Sonne noch die Restgeschwindigkeit von 42,1&nbsp;km/s, die ab dieser Entfernung zum Verlassen des Sonnensystems noch nötig sind. Startet der Satellit aber von der Erdumlaufbahn, so besitzt er ja bereits die Orbitgeschwindigkeit der Erde von 29,8&nbsp;km/s, und es ist insbesondere eine geringere Startgeschwindigkeit relativ zur Erde nötig. Siehe Abschnitt [[Fluchtgeschwindigkeit (Raumfahrt)#Fluchtgeschwindigkeiten von weiteren Objekten|#Fluchtgeschwindigkeiten von weiteren Objekten]] für weitere Details.</ref> || {{0}}42,1
|-
| Ereignishorizont<br>eines [[Schwarzes Loch|Schwarzen Loches]] || [[Lichtgeschwindigkeit|Licht-<br>geschwindigkeit]]
|}

Die ''Fluchtgeschwindigkeit'' ist die Mindestgeschwindigkeit für eine offene, nicht zurückkehrende Bahn. Die [[kinetische Energie]] eines Probekörpers ist dann gleich seiner [[Bindungsenergie]] im [[Gravitationsfeld]], also:
:<math>\frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{G M_\oplus m}{r}</math>

Umstellen nach <math>v_2</math> ergibt:
:<math>v_2 = \sqrt{\frac {2 G M}{r}} </math>
Die Fluchtgeschwindigkeit ist also um den Faktor <math>\sqrt{2}</math> größer als die erste kosmische Geschwindigkeit.

Für Himmelskörper mit konstanter mittlerer Dichte <math>\rho</math> und Radius <math>r</math> skaliert <math>M</math> mit <math>r^3</math>, <math>v_2</math> also linear mit <math>r</math>. Nebenstehende Tabelle enthält Beispiele.

Alternative Berechnung der Fluchtgeschwindigkeit aus der Oberflächengravitationsbeschleunigung g und dem Radius des Objektes <math>r</math> ohne Berücksichtigung der Rotationsgeschwindigkeit des Objektes: <math>v_2 = \sqrt{2gr\,} </math>

In dem Wert 11,2&nbsp;km/s für die Erde, der ''zweiten kosmischen Geschwindigkeit'', ist wieder die Rotationsgeschwindigkeit der Erde nicht berücksichtigt. Auch muss für Flugbahnen zum [[Mond]] die Fluchtgeschwindigkeit nicht vollständig erreicht werden, denn der Lagrange-Punkt [[Lagrange-Punkte|L1]] (zwischen Erde und Mond) liegt nicht bei <math>r=\infty</math>.

Umgekehrt kann man aus der Geschwindigkeit, die ein Körper (ohne nennenswerten eigenen Antrieb) beim Erreichen der Erde besitzt, auch schließen, in welcher Entfernung der Körper begonnen hat, in Richtung Erde zu beschleunigen (wobei man allerdings die Geschwindigkeit der Erde auf ihrer Umlaufbahn um die Sonne berücksichtigen muss): Bei den [[Apollo-Programm#Typischer Apollo-Missionsverlauf|Apollo-Missionen]] betrug die Geschwindigkeit beim Wiedereintritt 10,8&nbsp;km/s. Im Falle der Apollo-Mission wäre ein Wert höher (oder gleich) als 11,2&nbsp;km/s nicht möglich, da die Raumkapsel sonst aus einer viel größeren Entfernung hätte „Anlauf“ nehmen müssen (nämlich <math>r=\infty</math>). Ähnlich kann man die „Herkunft“ von Kometen oder Meteoriten eingrenzen: Die Fluchtgeschwindigkeit (von der Sonne) auf der Erdbahn beträgt etwa 42&nbsp;km/s. Mit dieser Geschwindigkeit kreuzen Kometen vom [[Oortsche Wolke|Rand des Sonnensystems]] die Erdbahn. Eine höhere Geschwindigkeit deutet auf einen interstellaren Ursprung hin.

=== Geometrische Bedeutung ===
Wenn ein Flugkörper, der sich auf einer Kreisbahn um einen Planeten befindet, einen Geschwindigkeitsschub in Flugrichtung erhält, so verformt sich seine Flugbahn zu einer [[Ellipse]]. Wird die Geschwindigkeit weiter erhöht, steigt die Exzentrizität der Ellipse an. Das geht so lange, bis der ferne Brennpunkt der Ellipse unendlich weit weg ist. Ab dieser Geschwindigkeit ist der Körper nicht mehr auf einer geschlossenen Bahn, sondern die Ellipse öffnet sich zu einer [[Keplerparabel|Parabelbahn]]. Dies geschieht genau dann, wenn der Flugkörper die zweite kosmische Geschwindigkeit erreicht.

Während sich der Körper von dem Planeten entfernt, wird er von dessen Gravitation weiterhin abgebremst, sodass er erst in unendlicher Entfernung zum Stillstand kommt. Wird hingegen die zweite kosmische Geschwindigkeit überschritten, so nimmt die Flugbahn die Form eines [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel-Asts]] an – in diesem Fall bleibt im Unendlichen eine Geschwindigkeit übrig, die als ''hyperbolische Exzessgeschwindigkeit'' oder ''hyperbolische Überschussgeschwindigkeit'' bezeichnet wird und die Energie der Hyperbelbahn charakterisiert. Sie berechnet sich aus der Summe der Energien, also der Quadrate der Geschwindigkeiten, analog zur Berechnung im Folgeabschnitt. Ebenfalls üblich ist die Angabe des Quadrates der Geschwindigkeit (also Energie pro Masse), häufig mit dem Formelzeichen c<sub>3</sub>.

=== Fluchtgeschwindigkeit von einem Schwarzen Loch ===
In der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] berechnet sich die radiale Fluchtgeschwindigkeit wie nach Newton, ist aber richtungsabhängig. Zudem ist die Kreisbahngeschwindigkeit höher als nach Newton, um den Faktor <math>\textstyle{1/\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}}</math>, mit <math>r_s = 2GM/c^2</math>. Erst mit steigendem Abstand vom Schwerpunkt konvergiert das Verhältnis von Flucht- und Kreisbahngeschwindigkeit gegen <math>\sqrt{2}</math>. Das hat seinen Grund darin, dass im Gravitationsfeld der Raum nicht [[Euklidische Geometrie|euklidisch]] ist und der Umfang eines Kreises weniger als <math>2\pi r</math> beträgt. Während die Fluchtgeschwindigkeit erst am [[Ereignishorizont]] des Schwarzen Loches, bei <math>r = r_s</math>, die Lichtgeschwindigkeit <math>c</math> erreicht, ist die Kreisbahngeschwindigkeit schon bei <math>r=1{,}5 r_s</math> (an der sogenannten Photonensphäre) gleich <math>c</math> und bis <math>2 r_s</math> größer als die radiale Fluchtgeschwindigkeit.<ref>Rosswog und Bruggen: [https://www.astro.umd.edu/~miller/teaching/astr498/lecture09.pdf ''High Energy Astrophysics'']. ASTR 498 @ University of Maryland, PDF, S.&nbsp;7.</ref>

=== {{Anker|Dritte kosmische Geschwindigkeit}} Fluchtgeschwindigkeiten von weiteren Objekten ===
Als dritte kosmische Geschwindigkeit <math>v_3</math> gilt die minimale Startgeschwindigkeit von der Erdoberfläche, mit der (bei Ausnutzen der Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne, aber ohne Ausnutzen ihrer Eigenrotation und ohne [[Swing-by]]-Manöver an Planeten) das Sonnensystem verlassen werden kann. Der Flugkörper muss also das ''gemeinsame'' Gravitationsfeld von Erde und Sonne überwinden. Nach dem Start mit <math>v_3 > v_2(\oplus)</math> = 11,2&nbsp;km/s und Verlassen der [[Sphere of Influence|Einflusssphäre]] der Erde hat der Körper noch die hyperbolische Exzessgeschwindigkeit <math>v_\mathrm{ex}</math>. Diese muss zusammen mit der Bahngeschwindigkeit <math>v_\mathrm{Bahn}</math> der Erde die Fluchtgeschwindigkeit <math>v_2(\odot)</math> aus dem Sonnensystem im Abstand <math>r_\mathrm{Bahn}</math> = 1&nbsp;[[Astronomische Einheit|AE]] ergeben,<ref>Ernst Messerschmid, Stefanos Fasoulas: ''Raumfahrtsysteme - Eine Einführung mit Übungen und Lösungen.'' Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-662-09675-8, S. 106–109 ({{Google Buch |BuchID=AEUhBgAAQBAJ}}).</ref>

:<math>v_\mathrm{ex} = v_2(\odot) - v_\mathrm{Bahn} = 42{,}1\,\mathrm{km/s} - 29{,}8\,\mathrm{km/s} = 12{,}3\,\mathrm{km/s}</math>.

Die zum Erreichen dieser Geschwindigkeit nötige Startgeschwindigkeit <math>v_3</math> ergibt sich dann aus

:<math>\frac{1}{2} mv_\mathrm{ex}^2 = \frac{1}{2} mv_3^2 - \frac{GM_\oplus m}{r_\oplus} = \frac{1}{2} mv_3^2 - \frac{1}{2} mv_2(\oplus)^2</math>

bzw.

:<math>v_3 = \sqrt{v_\mathrm{ex}^2 + v_2(\oplus)^2} = \sqrt{(12{,}3\,\mathrm{km/s})^2 + (11{,}2\,\mathrm{km/s})^2} = 16{,}6\,\mathrm{km/s}</math>.

Die Masse des Mondes und der anderen Planeten ist hier vernachlässigt worden; das Ergebnis würde sich kaum ändern.

Im Fall der Fluchtgeschwindigkeit aus der [[Milchstraße]] ist das Gravitationsfeld jedoch sehr deutlich kein Zentralfeld, und ein beträchtlicher Teil der Masse liegt außerhalb der Bahn der Sonne um das galaktische Zentrum. Eine numerische Berechnung, die auch ein Modell für die Verteilung der [[Dunkle Materie|Dunklen Materie]] berücksichtigt, ergibt eine Fluchtgeschwindigkeit von <math>v_\mathrm{esc} = 533 ^{+54}_{-41} \,\text{km/s}</math>.<ref>Til Piffl et al.: ''The RAVE survey: the Galactic escape speed and the mass of the Milky Way''. Astronomy & Astrophysics 562, 2014, [[doi:10.1051/0004-6361/201322531]] (freier Volltext).</ref> Das ist erwartungsgemäß weit mehr als das <math>\sqrt{2}</math>-fache der Bahngeschwindigkeit der Sonne von rund 220 km/s.<ref>{{Literatur |Autor=M. J. Reid, A. C. S. Readhead, R. C. Vermeulen, R. N. Treuhaft |Titel=The Proper Motion of Sagittarius A*. I. First VLBA Results |Sammelwerk=The Astrophysical Journal |Band=524 |Nummer=2 |Datum=1999 |Seiten=816–823 |DOI=10.1086/307855 |bibcode=1999ApJ...524..816R}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Vis-Viva-Gleichung]]
* [[Keplerbahn]]

== Weblinks ==
* [https://www.leifiphysik.de/mechanik/gravitationsgesetz-und-feld/grundwissen/kosmische-geschwindigkeiten Kosmische Geschwindigkeiten] ([[LEIFI]]-Physik)
* [https://www.fxsolver.com/solve/ Fluchtgeschwindigkeitsrechner] (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Himmelsmechanik]]
[[Kategorie:Raumfahrtphysik]]