Quelltext der Seite Feine Garbe

Eine '''feine Garbe''' ist ein mathematischer Begriff aus dem Gebiet der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] und [[Funktionentheorie]]. Es handelt sich um eine [[Garbe (Mathematik)|Garbe]] mit einer zusätzlichen Eigenschaft. Mit Hilfe solcher Garben kann die [[Garbenkohomologie]] auch für allgemeine Garben auf [[Parakompakter Raum|parakompakten]] [[Hausdorffraum|Hausdorffräumen]] berechnet werden.

== Definition ==
Es seien <math>M</math> ein [[topologischer Raum]] und <math>\mathcal{G}</math> eine Garbe abelscher Gruppen über <math>M</math>.

Ist <math>\mathcal{U} = (U_a)_{a\in A}</math> eine [[Überdeckung (Mathematik)|lokalendliche, offene Überdeckung]] von <math>M</math>, so heißt eine Familie <math>(\eta_a)_{a\in A}</math> von [[Garbe (Mathematik)#Morphismen|Garbenmorphismen]] <math>\eta_a: \mathcal{G}\rightarrow \mathcal{G}</math> eine ''der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins'', falls gilt:
* Für alle <math>a\in A</math> gibt es eine offene Umgebung <math>V_a</math> von <math>M\setminus U_a</math>, so dass <math>\eta_a(x) = 0</math> für alle <math>x\in \mathcal{G}_p, p\in V_a</math>, wobei <math>\mathcal{G}_p</math> der [[Garbe (Mathematik)#Halme und Keime|Halm]] über <math>p\in M</math> sei und die auf den Halmen induzierten Morphismen ebenfalls mit <math>\eta_a</math> bezeichnet seien.
* <math>\sum_{a\in A}\eta_a(x) = x</math> für alle <math>x\in \mathcal{G}_p, p\in M</math>.
Man beachte, dass die Summe in obiger Definition wegen der Lokalendlichkeit der Überdeckung stets nur endlich viele von 0 verschiedene Summanden hat uns daher wohldefiniert ist.

Die Garbe <math>\mathcal{G}</math> über <math>M</math> heißt '''fein''', wenn es zu jeder lokalendlichen, offenen Überdeckung von <math>M</math> eine untergeordnete Partition der Eins gibt.<ref>Robert C. Gunning: ''Vorlesungen über Riemannsche Flächen'', BI-Hochschultaschenbücher, Band 837 (1972), ISBN 3-411-00837-7, Kapitel III.4: Feine Garben</ref>

== Beispiele ==
* Ist <math>M</math> ein [[normaler Raum|normaler]] [[Hausdorffraum]], so ist die Garbe der stetigen Funktionen über <math>M</math> fein.
* Ist <math>M</math> eine [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|C<sup>∞</sup>-Mannigfaltigkeit]], so ist die Garbe <math>\mathcal{C}^{\infty}</math> der [[Glatte Funktion|unendlich oft differenzierbaren Funktionen]] fein.
* Die Garbe <math>\mathcal{O}</math> der [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] über einer [[Riemannsche Fläche|riemannschen Fläche]] ist nicht fein.

== Sätze und Anwendungen ==
Da die parakompakten Hausdorffräume definitionsgemäß über hinreichend viele lokalendliche Überdeckungen verfügen, liegt es nahe, dass man auf solchen Räumen starke Sätze über feine Garben beweisen kann.
* Ist <math>\mathcal{G}</math> eine feine Garbe über einem parakompakten Hausdorffraum, so gilt für die Garbenkohomologie <math>H^q(M,\mathcal{G}) = 0</math> für alle <math> q>0</math>.<ref>Robert C. Gunning: ''Vorlesungen über Riemannsche Flächen'', BI-Hochschultaschenbücher, Band 837 (1972), ISBN 3-411-00837-7, Kapitel III.4, Satz 2</ref>

Für <math>q=0</math> gilt das nicht, denn <math>H^0(M,\mathcal{G})</math> ist ja die Gruppe der [[Schnitt (Faserbündel)|globalen Schnitte]]. Dies kann man verwenden, um folgenden Satz zu zeigen
* Ist <math>\mathcal{G}</math> eine Garbe über einem parakompakten Hausdorffraum und
:<math>0\rightarrow \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}_0 \,\xrightarrow{d_0}\, \mathcal{G}_1 \,\xrightarrow{d_1}\, \mathcal{G}_2 \,\xrightarrow{d_2}\, \ldots </math>
:eine feine Garbenauflösung, das heißt alle Garben <math>\mathcal{G}_q</math> sind fein und alle Garbenmorphismen <math>d_q</math> sind [[Exakte Sequenz|exakt]], wobei Exaktheit hier für jeden Halm gelten soll, so induziert jedes <math>d_q</math> eine Abbildung <math>d^*_q:\Gamma(M,\mathcal{G}_q) \rightarrow \Gamma(M,\mathcal{G}_{q+1})</math> zwischen den Gruppen der globalen Schnitte, und es gilt<ref>Robert C. Gunning: ''Vorlesungen über Riemannsche Flächen'', BI-Hochschultaschenbücher, Band 837 (1972), ISBN 3-411-00837-7, Kapitel III.4, Satz 2</ref>
:<math>H^q(M,\mathcal{G}) \cong \mathrm{ker}(d^*_q)/\mathrm{im}(d^*_{q-1})</math>.
Man kann weiter zeigen, dass es zu jeder Garbe über einem parakompakten Hausdorffraum eine feine Auflösung gibt, so dass obiger Satz im Prinzip stets zur Berechnung von Kohomologiegruppen herangezogen werden kann. Ein typisches Anwendungsbeispiel ist die feine Auflösung
:<math>0\rightarrow \mathcal{O} \rightarrow \mathcal{C}^{\infty}\, \xrightarrow{\overline \partial} \,\mathcal{C}^{\infty} \rightarrow 0</math>
der Garbe der holomorphen Funktionen über einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>M\subset \Complex</math>, wobei <math>\overline{\partial}</math> der Differentialoperator <math>\textstyle \frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y})</math> sei. Daraus ergibt sich<ref>Robert C. Gunning: ''Vorlesungen über Riemannsche Flächen'', BI-Hochschultaschenbücher, Band 837 (1972), ISBN 3-411-00837-7, Kapitel III.5</ref>
* <math>H^0(M,\mathcal{O}) = \Gamma(M,\mathcal{O})</math>
* <math>H^1(M,\mathcal{O}) = \Gamma(M,\mathcal{C}^\infty)/\overline{\partial}\Gamma(M,\mathcal{C}^\infty)</math>
* <math>H^q(M,\mathcal{O}) = 0</math> für alle <math>q\ge 2</math>.
Da nach dem sogenannten Lemma von Dolbeault die [[Differentialgleichung]] <math>\overline{\partial}f=g</math> für vorgegebene <math>C^\infty</math>-Funktionen <math>g</math> auf <math>M</math> in <math>C^\infty</math> lösbar ist<ref>O. Forster: ''Riemannsche Flächen'', Springer Verlag Heidelberg 1977, ISBN 3-540-08034-1, Kapitel II, §13</ref>, gilt <math>\overline{\partial}\Gamma(M,\mathcal{C}^\infty) = \Gamma(M,\mathcal{C}^\infty)</math> und daher sogar <math>H^q(M,\mathcal{O}) = 0</math> für alle <math>q\ge 1</math> für Gebiete <math>M\subset \Complex</math>.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Homologische Algebra]]