Quelltext der Seite Feigenbaum-Konstante

Die beiden '''Feigenbaum-Konstanten''' δ und α sind [[mathematische Konstante]]n, die in der [[Chaosforschung]] eine wichtige Rolle spielen.

== Erforschung ==
Der Zahlenwert von <math> \delta </math> wurde erstmals 1977 von den Physikern [[Siegfried Großmann (Physiker)|Siegfried Großmann]] und [[Stefan Thomae]] publiziert. [[Mitchell Feigenbaum]], der diese Zahl bereits 1975 beim Studium der [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkte]] von iterierten Funktionen entdeckt hatte<ref>{{cite journal |first=M. J. |last=Feigenbaum |date=1976 |title=Universality in complex discrete dynamics |journal=Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975–1976 |url=https://chaosbook.org/extras/mjf/LA-6816-PR.pdf |language=en}}</ref>, publizierte 1978 eine Arbeit über die [[Universalität (Physik)|Universalität]] dieser Konstante<ref>{{cite journal |first1=Mitchell J. |last1=Feigenbaum |title=Quantitative universality for a class of nonlinear transformations |journal=Journal of Statistical Physics |volume=19 |issue=1 |pages=25–52 |doi=10.1007/BF01020332 |date=1978 |language=en}}</ref>.
Die Bedeutung dieser Konstanten für die Chaosforschung wird oft mit der von [[Kreiszahl|π]] für die Geometrie verglichen. Ihre Zahlenwerte lauten
: <math>\delta = 4{,}66920 \, 16091 \, 02990 \, 67185 \, 32038 \, 20466 \, 20161 \, 72581 \, 85577 \, 47576 \, \dots</math> ({{OEIS|A006890}}),
: <math>\alpha = 2{,}50290 \, 78750 \, 95892 \, 82228 \, 39028 \, 73218 \, 21578 \, 63812 \, 71376 \, 72714 \, \dots</math> ({{OEIS|A006891}}).

[[Datei:LogisticMap BifurcationDiagram.png|mini|hochkant=2|Ausschnitt des Feigenbaum-Diagramms der [[Logistische Gleichung|logistischen Gleichung]] aus dem Bereich der [[Bifurkation (Mathematik)|Bifurkationen]] am Übergang von Ordnung (links) zum Chaos (rechts).]]
Diese Zahlen treten im Zusammenhang mit [[Nichtlineares System|nichtlinearen Systemen]] in Erscheinung, die in Abhängigkeit von einem [[Parameter (Mathematik)|Parameter]] reguläres oder chaotisches Verhalten zeigen. Der Übergang ins Chaos ist dabei von einem Parameterbereich mit [[Schwingung|oszillierendem]] Verhalten gekennzeichnet. Zum chaotischen Bereich hin nimmt dabei die [[Periode (Physik)|Oszillationsperiode]] stufenweise um den Faktor zwei zu, ein Phänomen, das als Periodenverdopplung bezeichnet wird. Die zugehörigen [[Parameter (Mathematik)|Parameterintervalle]] werden mit zunehmender Periode immer kürzer. Das Verhältnis der Längen aufeinander folgender Parameterintervalle unterschiedlicher Periode strebt dabei gegen die Feigenbaum-Konstante δ.

Für den Fall nichtlinearer Systeme, die durch Zahlenfolgen mit nichtlinearem [[Rekursion|rekursivem]] Bildungsgesetz repräsentiert werden und die in Abhängigkeit von einem Parameter ein solches Verhalten zeigen, lässt sich dieses Phänomen im so genannten ''Feigenbaum-Diagramm'' darstellen. Es stellt Folgenglieder in Abhängigkeit dieses Parameters dar und zwar ab einem Folgenindex, nach dem die Folge sich auf ein bestimmtes Verhalten eingependelt hat, wie beispielsweise Konvergenz gegen einen [[Grenzzyklus]] oder chaotisches Verhalten, und entspricht damit einer Darstellung der [[Häufungspunkt]]e der Folge. Stellen, an denen eine Periodenverdopplung stattfindet, sind durch gabelförmige Strukturen gekennzeichnet, die als [[Bifurkation (Mathematik)|Bifurkationen]] bezeichnet werden. Das Verhältnis der Breiten aufeinander folgender Gabeln am nächsten Bifurkationspunkt strebt dabei gegen die Feigenbaum-Konstante α. Sie wird oft als zweite Feigenbaum-Konstante bezeichnet.

Im Bereich des chaotischen Verhaltens treten Inseln periodischen Verhaltens auf, „periodische Fenster“.<ref>[http://www.tphys.uni-heidelberg.de/~horner/NLDC11.pdf Nichtlineare Dynamik und Chaos] (PDF; 9,0&nbsp;MB) </ref> Der Übergang vom chaotischen Verhalten zu diesen Inseln nichtchaotischen Verhaltens (von links nach rechts im Diagramm) ist instantan, aus den periodischen Fenstern heraus ist der Übergang wiederum von Periodenverdopplungen gekennzeichnet, die quantitativ das gleiche Verhalten zeigen (Selbstähnlichkeit). [[Rayleigh-Bénard-Konvektion|Bénard-Zellen]] sind ein physikalischer Vorgang, der mit der Feigenbaum-Doppelung zu erklären ist.

Dieses qualitative Verhalten und die zugehörigen Zahlenverhältnisse hängen nicht von den Details des mathematischen oder physikalischen nichtlinearen Systems ab, sondern stellen ein universelles und damit fundamentales Gesetz derartiger Systeme dar. Das einfachste mathematische Beispiel ist das Verhalten von [[Folge (Mathematik)|Zahlenfolgen]] quadratischen [[Rekursion|rekursiven]] Bildungsgesetzes wie der [[Logistische Gleichung|logistischen Gleichung]] und der Zahlenfolge, die der [[Mandelbrot-Menge]] zugrunde liegt.

Es wird vermutet, dass δ und α [[Transzendente Zahl|transzendent]] sind, ein entsprechender Beweis steht jedoch noch aus. Keith Briggs<ref>[https://www.keithbriggs.info/ ''Keith Briggs''.] – Homepage von Keith Briggs</ref> entwickelte und nutzte 1991 ein Verfahren zur Berechnung der Konstanten mit erhöhter numerischer Genauigkeit. Die genauesten Werte mit 1018 Dezimalstellen wurden 1999 von David Broadhurst angegeben.<ref>[https://www.plouffe.fr/simon/constants/feigenbaum.txt ''Feigenbaum constants to 1018 decimal places''.] In: ''Plouffe’s Inverter'', E-Mail vom 22. März 1999</ref>

== Literatur ==
* {{ZNaturforsch|Serie=A |Autor=[[Siegfried Großmann (Physiker)|Siegfried Großmann]], Stefan Thomae |Titel=Invariant distributions and stationary correlation functions of one-dimensional discrete processes |Jahr=1977 |Startseite=1353 |Endseite=1363 |URL= }}
* [[Mitchell Feigenbaum|Mitchell J. Feigenbaum]]: ''The universal metric properties of nonlinear transformations''. 29. Mai 1979. In: ''Journal of Statistical Physics'', 21, Dezember 1979, S. 669–706 (englisch; „α = 2.502907876“ auf S. 703, „δ = 4.6692“ auf S. 704) [http://signallake.com/innovation/feigenbaum052979.pdf signallake.com] (PDF; 1,4 MB)
* [[Heinz-Otto Peitgen]], [[Peter Richter (Physiker)|Peter H. Richter]]: ''The Beauty of Fractals''. Springer, New York 1986, ISBN 0-387-15851-0 (englisch).
* Keith Briggs: [http://www.ams.org/journals/mcom/1991-57-195/S0025-5718-1991-1079009-6/home.html ''A precise calculation of the Feigenbaum constants''.] In: ''Mathematics of Computation'', 57, Juli 1991, S. 435–439 (englisch).

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=FeigenbaumConstant |title=Feigenbaum Constant}}
* {{OEIS|A159766}} ([[Kettenbruch]]entwicklung von δ)
* {{OEIS|A159767}} ([[Kettenbruch]]entwicklung von α)
* {{YouTube |id=ETrYE4MdoLQ |titel=The Feigenbaum Constant (4.669) |uploader=Numberphile |upload=2017-01-16}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Feigenbaum Konstante}}
[[Kategorie:Besondere Zahl]]
[[Kategorie:Nichtlineare Dynamik]]
[[Kategorie:Theorie dynamischer Systeme]]