Quelltext der Seite Faltungsmatrix

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'''Faltungsmatrizen''' (auch ''Kern'', ''Filterkern'', ''Filteroperator'', ''Filtermaske'' oder ''Faltungskern'' genannt, {{enS|convolution kernel}}) werden in der digitalen Bildverarbeitung für [[Filter (Bildverarbeitung)|Filter]] verwendet. Es handelt sich meist um quadratische [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] ungerader Abmessungen in unterschiedlichen Größen. Viele Bildverarbeitungsoperationen können als lineares System dargestellt werden, wobei eine [[Faltung (Mathematik)|diskrete Faltung]], eine lineare Operation, angewandt wird.
Für diskrete zweidimensionale Funktionen (digitale Bilder) ergibt sich folgende Berechnungsformel für die diskrete Faltung:

:<math>
I^{*}(x,y) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} I(x-i+a,\; y-j+a)k(i,j)
</math>

<math>I^{*}(x,y)</math> ist hier das Ergebnispixel, <math>I</math> ist das Bild, auf welches der Filter angewandt wird, <math>a</math> ist die Koordinate des Mittelpunkts in der quadratischen Faltungsmatrix, und <math>k(i,j)</math> ist ein Element der Faltungsmatrix. Um den Mittelpunkt eindeutig definieren zu können, sind ungerade Abmessungen der Faltungsmatrizen notwendig.

Bei 3×3-Faltungsmatrizen ist <math>n = 3</math> und <math>a = 2</math>.
Bei 5×5-Faltungsmatrizen ist <math>n = 5</math> und <math>a = 3</math>.

== Beispiele ==
* Glättungsfilter, Mittelwertfilter ([[Weichzeichnung|Weichzeichner]])
:<math>
  \frac{1}{9}   \cdot

  \begin{pmatrix} 
    1   &   1   &   1 \\ 
    1   &   1   &   1 \\ 
    1   &   1   &   1 
  \end{pmatrix} 
</math>

* Gauß Weichzeichner
:<math>
  \frac{1}{16}   \cdot

  \begin{pmatrix} 
    1   &   2   &   1 \\ 
    2   &   4   &   2 \\ 
    1   &   2  &   1 
  \end{pmatrix} 
</math>

* Schärfungsfilter
:<math>
   \begin{pmatrix} 
    0   &   -1   &   0 \\ 
    -1   &   5   &  -1 \\ 
    0   &   -1   &   0 
  \end{pmatrix} 
</math>

* Kantenfilter X (''Sobel X'')
:<math>
   \begin{pmatrix} 
    -1   &   0   &   1 \\ 
    -2   &   0   &   2 \\ 
    -1   &   0   &   1 
  \end{pmatrix} 
</math>

* Kantenfilter Y (''Sobel Y'')
:<math>
   \begin{pmatrix} 
    1   &   2  &   1 \\ 
    0   &   0   &   0 \\ 
    -1   &  -2   &   -1
  \end{pmatrix} 
</math>

* Kantenfilter, Laplace
:<math>
   \begin{pmatrix} 
    0   &   1   &   0 \\ 
    1   &   -4  &   1 \\ 
    0    &   1    &  0 
  \end{pmatrix} 
</math>

* Relieffilter
:<math>
   \begin{pmatrix} 
    -2   &   -1   &   0 \\ 
    -1   &   1    &   1 \\ 
    0    &   1    &   2 
  \end{pmatrix} 
</math>

* [[Marr-Hildreth-Operator|Mexican Hat]] 7x7 Matrix

== Faltungstheorem ==
Mithilfe des [[Faltungstheorem]]s kann der Aufwand zur Berechnung einer diskreten Faltung von der Komplexitätsklasse <math> \mathcal{O}(n^2)</math> auf <math> \mathcal{O}(n \cdot \log n) </math> reduziert werden.

== Literatur ==

* Gary Bradski, Adrian Kaehler: ''Learning OpenCV: Computer Vision with the OpenCV Library''. O’Reilly Media, ISBN 978-0-596-51613-0.

== Siehe auch ==
* [[Prewitt-Operator]]
* [[Roberts-Operator]]
* [[Sobel-Operator]]
* [[Laplace-Filter]]

[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]