Quelltext der Seite Faber-Jackson-Beziehung

Die '''Faber-Jackson-Beziehung''' (nach [[Sandra Moore Faber|Sandra M. Faber]] und [[Robert Earl Jackson]], die die Beziehung 1976 entdeckten) ist ein beobachteter Zusammenhang zwischen [[Leuchtkraft]]&nbsp;L und der [[Geschwindigkeitsdispersion]]&nbsp;<math>\sigma</math> in [[Elliptische Galaxie|elliptischen Galaxien]]. Danach hängt die Leuchtkraft [[proportional]] von einer Potenz der Geschwindigkeitsdispersion ab:

:<math>L \propto \sigma^\gamma</math>

Der [[Potenz (Mathematik)|Exponent]]&nbsp;<math>\gamma</math> liegt sehr nahe bei&nbsp;4.

Die Faber-Jackson-Beziehung ist zu verstehen als Projektion der [[Fundamentalebene]] von elliptischen Galaxien, um auch bei unbekannter [[Entfernungsmessung|Entfernung]] von elliptischen Galaxien die Leuchtkraft und schließlich die Geschwindigkeitsdispersion einer elliptischen Galaxie zu bestimmen.

== Herleitung ==
Man kann die Form der Faber-Jackson-Beziehung unter gewissen idealisierenden Annahmen leicht abschätzen. Daraus ergibt sich der Exponent der Beziehung zu <math>\gamma = 4</math>. Der tatsächlich beobachtete Exponent hängt vom Verlauf der Dichte sowie des Masse-Leuchtkraft-Verhältnisses ab und weicht von dem theoretischen Wert mehr oder weniger stark ab. 

Die [[potentielle Energie]] einer selbstgravitierenden Masseverteilung von Radius ''R'' und Masse ''M'' ist

:<math>U=-\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}</math>

Die gesamte [[kinetische Energie]] ist

:<math>T = \frac{1}{2}M \sigma^2</math>

Mit dem [[Virialsatz|Virialtheorem]] (<math>2 T + U = 0</math>) folgt

:<math>\sigma^2 =\frac{3}{5}\frac{GM}{R}</math>.

Wenn Masse und Leuchtkraft zueinander proportional sind, <math>M \propto L</math>, kann ''M'' ersetzt werden und hat noch

:<math>L \propto \frac{\sigma^2R}{G}</math>,

eine Beziehung zwischen ''R'' und der Geschwindigkeitsdispersion:

:<math>R \propto\frac{LG}{\sigma^2}</math>.

Mit einer konstanten Oberflächenhelligkeit

:<math>B=\frac{L}{4\pi R^2}</math>

folgt

:<math>L=4 \pi R^2 B</math>,
:<math>L \propto 4\pi\left(\frac{LG}{\sigma^2}\right)^2B</math>,

und schlussendlich der gesuchte Zusammenhang zwischen Leuchtkraft und Geschwindigkeitsdispersion:

:<math>L \propto\frac{\sigma^4}{4\pi G^2 B} \propto \sigma^4</math>,

== Quellen ==
* Originalarbeit von Faber und Jackson (engl.), {{bibcode|1976ApJ...204..668F}}

== Siehe auch ==
* [[Tully-Fisher-Beziehung]]

[[Kategorie:Beobachtungsmethode der Astronomie]]
[[Kategorie:Extragalaktische Astronomie]]
[[Kategorie:Elliptische Galaxie]]