Quelltext der Seite Fürstenbergs Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen

'''Fürstenbergs Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen''' ist ein 1955 veröffentlichter außergewöhnlicher Beweis der schon von [[Euklid]] bewiesenen, bekannten Tatsache, dass es [[unendliche Menge|unendlich viele]] [[Primzahl]]en gibt. Er wurde von [[Hillel Fürstenberg]] entdeckt, als er noch als ''[[undergraduate studies|undergraduate student]]'' an der [[Yeshiva University|Yeshiva Universität]] studierte. Der Beweis stellte für die mathematische Gemeinde eine Überraschung dar, da er [[Topologie (Mathematik)|topologische]] Methoden zum Beweis einer bekannten [[Zahlentheorie|zahlentheoretischen]] Aussage benutzt.
Der Beweis wurde 1955 in der [[American Mathematical Monthly]] veröffentlicht und als schöner und außergewöhnlicher Beweis in die Sammlung [[Das BUCH der Beweise]] von [[Martin Aigner]] und [[Günter M. Ziegler]] aufgenommen.

== Der Beweis ==
Bei genauerer Betrachtung handelt es sich bei dem Beweis um die Betrachtung bestimmter Eigenschaften [[arithmetische Folge|arithmetischer Folgen]]. Wie der [[Satz von Euklid#Beweis von Euklid|klassische Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen von Euklid]] ist Fürstenbergs Beweis ein [[Widerspruchsbeweis]].

Ein [[topologischer Raum]] wird durch die Angabe einer [[Basis (Topologie)|Basis]] der [[offene Menge|offenen Mengen]] spezifiziert. Als die offenen Mengen der ''Topologie der arithmetischen Progression'' werden jene Teilmengen der [[ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>\mathbb Z </math> definiert, welche als [[Vereinigung (Mengenlehre)|Vereinigung]] zweiseitiger arithmetischen Folgen
:<math>S(a, b) = \{ a n  + b \mid n \in \mathbb{Z} \} = a \mathbb{Z} + b</math>
geschrieben werden können, wobei <math>a</math> und <math>b</math> [[Natürliche Zahl|natürliche Zahlen]] sind. Ob es sich bei dem Definierten tatsächlich um eine Topologie handelt, muss an den [[Topologischer Raum#Definition|Axiomen der Topologie]] überprüft werden.

Diese Topologie hat folgende Eigenschaften:
# Weil jede nichtleere offene Menge eine arithmetische Folge enthält, kann keine nichtleere [[endliche Menge]] offen sein, das [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] einer nichtleeren endlichen Menge kann keine abgeschlossene Menge sein.
# Die ''einfachen Mengen'' <math>S(a, b)</math> sind [[Abgeschlossene offene Menge|sowohl offene als auch abgeschlossene]] Mengen, denn man kann <math>S(a, b)</math> als Komplement offener Mengen schreiben:
::<math>S(a, b) = \mathbb{Z} \setminus \bigcup_{j = 1}^{a - 1} S(a, b + j).</math>

Die Zahlen 1 und −1 sind die einzigen ganzen Zahlen, welche keine Vielfachen von Primzahlen sind, also
:<math>\mathbb{Z} \setminus \{ -1, + 1 \} = \bigcup_{p \text{ ist Primzahl}} S(p, 0).</math>
Wegen der ersten Eigenschaft kann die Menge auf der linken Seite der Gleichung nicht abgeschlossen sein. Wegen der zweiten Eigenschaft sind die Mengen <math>S(a, 0)</math> abgeschlossen. Gäbe es nur endlich viele Primzahlen, dann
wäre die (dann endliche) Vereinigung der abgeschlossenen Mengen auf der rechten Seite eine abgeschlossene Menge. Daraus ergibt sich ein Widerspruch, und es gilt: Es gibt unendlich viele Primzahlen.

== Literatur ==
* [[Martin Aigner]], [[Günter M. Ziegler]]: ''Das Buch der Beweise.'' Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42535-7.
* {{cite journal |first=Harry |last=Fürstenberg |authorlink=Hillel Fürstenberg |date=1955 |title=On the infinitude of primes |journal=American Mathematical Monthly |volume=Bd. 62 |issue=5 |pages=353 |doi=10.2307/2307043 |language=en}} <!-- {{MathSciNet|id=0068566}} -->

== Weblinks ==
* ''[https://www.everything2.com/index.pl?node_id=1460203 Furstenberg's proof that there are infinitely many prime numbers]'' bei Everything2 (englisch)
* {{PlanetMath|id=FurstenbergsProofOfTheInfinitudeOfPrimes|title=Fürstenberg's proof of the infinitude of primes|author=Cam McLeman}}

{{SORTIERUNG:Furstenbergs Beweis Der Unendlichkeit der Primzahlen}}
[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]
[[Kategorie:Primzahl]]
[[Kategorie:Beweis (Mathematik)]]