Quelltext der Seite Exakter Test nach Fisher

Der '''Exakte Fisher-Test''' (Fisher-Yates-Test, exakter [[Chi-Quadrat-Test]])<ref>{{Internetquelle |url=https://www.isi-web.org/glossary/610 |titel=ISI Glossary – Fisher-Yates test ; Fisher-Irwin test ; Fisher exact test ; exact chi-squared test |werk=isi-web.org |hrsg=[[International Statistical Institute]] |abruf=2024-04-06 |sprache=en}}</ref> ist ein [[exakter Test|exakter]] [[Signifikanztest]] auf [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|Unabhängigkeit]] in [[Kontingenztafel]]n. Im Gegensatz zum [[ Chi-Quadrat-Test#Unabhängigkeitstest | Chi-Quadrat-Unabhängigkeits-Test]] stellt er jedoch keine Voraussetzungen an den Stichprobenumfang und liefert auch bei einer geringen Anzahl von Beobachtungen zuverlässige Resultate. Er geht auf den britischen Statistiker [[Ronald Aylmer Fisher]] zurück.
Ursprünglich wurde er für zwei [[Dichotomie|dichotome]] Variablen entwickelt, also für 2x2-[[Kontingenztafel]]n, aber er kann auch auf größere Kontingenztafeln erweitert werden.<ref>Mehta, C. R. and Patel, N. R. (1986) Algorithm 643. FEXACT: A Fortran subroutine for Fisher's exact test on unordered r*c contingency tables. ACM Transactions on Mathematical Software, 12, S. 154–161, {{DOI|10.1145/6497.214326}}.</ref>

== Idee ==
{| class="centered
|
{| class="wikitable"
| colspan="4" align="center" | Erwartete Häufigkeiten bei<br>Gültigkeit der Nullhypothese.
|-
! 
!A
!nicht A
!<math>\sum</math>
|- align="right"
!B
|<math>h_a</math>
|<math>h_c</math>
|<math>h_B</math>
|- align="right"
!nicht B
|<math>h_b</math>
|<math>h_d</math>
|<math>h_{\bar{B}}</math>
|- align="right"
! <math>\sum</math>
| <math>h_A</math>
| <math>h_{\bar{A}}</math>
| <math>n</math>
|}
|
{| class="wikitable"
| colspan="4" align="center" | Beobachtete Häufigkeiten<br>in der Stichprobe.
|-
!
!A
!nicht A
!<math>\sum</math>
|- align="right"
!B
|<math>a</math>
|<math>c</math>
|<math>a+c</math>
|- align="right"
!nicht B
|<math>b</math>
|<math>d</math>
|<math>b+d</math>
|- align="right"
! <math>\sum</math>
| <math>a+b</math>
| <math>c+d</math>
| <math>n=a+b+c+d</math>
|}
|}

Fishers exakter Test ist eine Alternative zum Chi-Quadrat-Unabhängigkeits-Test bei einer 2x2-Kontingenztafel. Die rechte obere Kontingenztabelle enthält die beobachteten Häufigkeiten <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math> für die vier Merkmalskombinationen, während die linke obere Kontingenztabelle die erwarteten Häufigkeiten unter der Gültigkeit der [[Nullhypothese]] enthält. Der Wert der Teststatistik ergäbe sich beim Chi-Quadrat-Unabhängigkeits-Test als

:<math>t = \frac{(a-h_a)^2}{h_a}+\frac{(b-h_b)^2}{h_b}+\frac{(c-h_c)^2}{h_c}+\frac{(d-h_d)^2}{h_d}</math>

und die zugehörige [[Teststatistik]] <math>T</math> wäre dann approximativ <math>\chi^2</math>-verteilt mit einem [[Freiheitsgrad]], falls die Hypothese der Unabhängigkeit richtig ist. Damit die [[Approximation]] gilt, muss jedoch gelten <math>h_a\geq5</math>, <math>h_b\geq5</math>, <math>h_c\geq5</math> und <math>h_d\geq5</math>.

Sind die vier Randhäufigkeiten <math>h_A</math>, <math>h_B</math>, <math>h_{\bar{A}}</math> und <math>h_{\bar{B}}</math> fest, dann reicht es jedoch eine der Zellen zu betrachten. Sobald z.&nbsp;B. der Wert von <math>h_a</math> festliegt, liegen aufgrund der fixierten Randhäufigkeiten auch die Werte für <math>h_b</math>, <math>h_c</math> und schließlich auch <math>h_d</math> fest.

Fisher zeigte, dass die Anzahl der Beobachtungen <math>H_a</math> in der linken oberen Ecke einer [[Hypergeometrische Verteilung|hypergeometrischen Verteilung]] folgt:

:<math>H_a \sim Hyp(N_{hyp}=n, M_{hyp}=h_B, n_{hyp}=h_A)</math>.

Die unbekannten Randverteilungen werden aus der Stichprobe mittels deren Randhäufigkeiten geschätzt, so dass folgt:

:<math>H_a \sim Hyp(N_{hyp}=n, M_{hyp}=a+c, n_{hyp}=a+b)</math>

und die Wahrscheinlichkeit, dass <math>H_a=a</math>, ergibt sich zu

:<math>P(H_a=a) = \frac{ {M_{hyp} \choose a}  {N_{hyp} - M_{hyp} \choose n_{hyp} - a} }{ {N_{hyp} \choose n_{hyp}} } = \frac{ {a+c \choose a} {b+d \choose b} }{ {n \choose a+b } }</math>

Alternativ kann nach Bortz, Lienert und Boehnke (1990) die Wahrscheinlichkeit geschrieben werden als

:<math>P(H_a=a) = \frac{{(a + b)!}{(c +d)!}{(a + c)!}{(b +d)!}}{{n!}{a!b!c!d!}} </math>

Ist der Wert von <math>a</math> in der Stichprobe zu klein oder zu groß, dann muss die Nullhypothese abgelehnt werden.

== Vorgehensweise ==

[[Bild:Fstest.svg|miniatur|Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>a</math> für das Schülerbeispiel.]]
{| class="wikitable" 
|-
!Leistungen der Schüler<br />einer kleinen Klasse
!männlich
!weiblich
!Summe
|-  align="right"
!genügend
|  3
|  1
|  '''4'''
|- align="right"
!ungenügend
|  2
|  2
|  '''4'''
|- align="right"
! Summe
| '''5'''
| '''3'''
|
|}

Die Unabhängigkeit der Schülerleistung vom Geschlecht kann bei dem Beispiel nicht mit dem Chi-Quadrat-Test bzw. dem [[Vierfeldertest]] auf seine statistische Signifikanz geprüft werden. Der exakte Test von Fisher hält dagegen auch bei wenigen Beobachtungen das geforderte [[Signifikanzniveau|Niveau]] ein.

Wählt man z.&nbsp;B. ein Signifikanzniveau <math>\alpha=15\,\%</math>, so ergeben sich die kritischen Werte als 2 bzw. 3, d.&nbsp;h. die Nullhypothese der Unabhängigkeit der Schülerleistung vom Geschlecht kann nicht verworfen werden, wenn <math>a=2</math> oder <math>a=3</math> ist. Ist <math>a<2</math> oder ist <math>a>3</math>, dann kann die Nullhypothese verworfen werden. Im Beispiel ist <math>a=3</math>, d.&nbsp;h. die Nullhypothese der Unabhängigkeit der Schülerleistung vom Geschlecht kann nicht verworfen werden.

Daneben gibt es noch drei weitere Tabellen (siehe unten), für die gilt, dass die Summe der Spalten- und Zeilenhäufigkeiten gleich den beobachteten Werten sind.

{| class="centered"
|
{| class="wikitable" 
! <math>a=1</math>
!männl.
!weibl.
|-
!genügend
| align="right" |1
| align="right" |3
|-
!ungenügend
| align="right" |4
| align="right" |0
|}
|
{| class="wikitable" 
! <math>a=2</math>
!männl.
!weibl.
|-
!genügend
| align="right" |2
| align="right" |2
|-
!ungenügend
| align="right" |3
| align="right" |1
|}
|
{| class="wikitable" 
! <math>a=4</math>
!männl.
!weibl.
|-
!genügend
| align="right" |4
| align="right" |0
|-
!ungenügend
| align="right" |1
| align="right" |3
|}
|}

Dieses Beispiel zeigt auch, dass der exakte Test nach Fisher ein [[konservativer Test]] ist. Denn die Wahrscheinlichkeit, dass man fälschlicherweise die Alternativhypothese annimmt ([[Fehler 1. Art]]), ergibt sich zu

:<math>P(''H_1''|H_0) = P(H_a=0)+P(H_a=1)+P(H_a=4)+P(H_a=5)=14{,}28\,\% < \alpha=15\,\%</math>,

also kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|GNU_R:_fisher.test|Fisher-Test mit R durchführen}}
* [https://www.langsrud.com/stat/Fishertest.htm Fisher-Test online berechnen]

== Einzelnachweise ==
<references />

<!--
Der Fisher-Test ist aber im Falle einer Tafel mit mehr als vier Feldern aufwändig durchzuführen, denn die Rechenvorschrift beinhaltet [[Fakultät]]en, und das Auftreten ähnlicher Vierfeldertafeln muss berücksichtigt werden. In diesem Beispiel sind die Summen aller Spalten und Reihen identisch mit der obigen Tafel:

{| class="wikitable"
|-
|
|männl.
|weibl.
|-
|genügend
|2
|2
|-
|ungenügend
|3
|1
|-
|}

Der Test ist auch auf größere Tafeln anwendbar: Bei einer 3-mal-3-Tafel wie

{| class="wikitable"
|-
|5
|3
|2
|-
|2
|3
|4
|-
|0
|2
|3
|-
|}

existieren bereits 756 verschiedene Tafeln, die für die Test-Durchführung relevant sein könnten. Der Fisher-Test basiert im Grundsatz darauf, wie viele mögliche Tafeln es gibt, welche mit einer größeren Wahrscheinlichkeit auftreten als die Tafel mit den gegebenen Zahlenwerten und wieviele weniger wahrscheinliche Tafeln existieren. Existieren nur sehr wenige Tafeln, die unwahrscheinlicher sind als die gegebene, so kann die [[Nullhypothese]] verworfen werden.

Die Berechnung der Signifikanzwerte für den Fisher-Test ist auch mit einem Taschenrechner mühsam und bedingt große Sorgfalt, da die Zahlen wegen den Fakultäten schnell sehr groß werden; und sind die Spalten- und Reihensummen groß, müssen die Signifikanzwerte für eine lange Reihe von möglichen Tafeln berechnet werden. Auch bei kleineren Erhebungen sind die Berechnungen mühsam, doch es gibt umfangreiche Tabellenwerke, welche diese Arbeit ersetzen. Die meiste Statistik-Software für Computer wird heutzutage mit Fisher-Tests ausgestattet, so dass es möglich ist, auch Kontingenztafeln mit dem Fisher-Test auszuwerten, welche eigentlich für die Chi-Quadrat-Methode geeignet wären.

Ein großer Nutzen des Fisher-Tests betrifft zum Beispiel den [[Tierversuch]] oder Medikamententests an Menschen: Um zu prüfen, ob eine Substanz eine Wirkung zeigt, müssen unter der Verwendung des Chi-Quadrat-Tests etwa 30 Versuchsobjekte rein zufällig entweder mit dem Stoff behandelt oder nicht behandelt werden - beim robusteren Fisher-Test genügen etwa acht.

== Arbeitsvorschrift für 2x2 Felder ==
Für eine 2-mal-2-Felder-Kontingenztafel kann die Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnet werden:

{| class="wikitable"
|-
|
|Resultat 1
|Resultat 2
|Summe
|-
|Gruppe 1
|a
|b
|a+c
|-
|Gruppe 2
|c
|d
|b+d
|-
|Summe
|a+b
|c+d
|N = a+b+c+d
|-
|}

Die Wahrscheinlichkeit p des Auftretens dieser Tafel beträgt:

p = ((a+b)! * (c+d)! * (a+c)! * (b+d)!) / (N! * A! * B! * C! * D!)

Nun werden müssen Tafeln gefunden werden, welche
* eine extremere (d.h. unausgewogenere) Verteilung der Zahlenwerte besitzen
und
* identische Spalten- sowie Reihensummen haben.

Die errechneten Wahrscheinlichkeiten aller Tafeln, die eine extremere Werte haben - einschließlich der Tafel mit den originalen Werten - werden addiert. Überschreitet die kumulierte Wahrscheinlichkeit die gesetzte Signifikanzschwelle - zum Beispiel α = 0.05 - so kann die Nullhypothese nicht verworfen werden.
!>
== Weblinks ==
{{Wikibooks|GNU_R:_fisher.test|Fisher-Test mit R durchführen}}

-->

[[Kategorie:Nichtparametrischer Test]]