Quelltext der Seite Exakter Funktor

'''Exakter Funktor''' ist ein mathematischer Begriff aus der [[Kategorientheorie]].

== Definition ==
Ein [[Additiver Funktor|additiver]], [[Funktor (Mathematik)|kovarianter Funktor]] <math>F:\mathfrak{C}\rightarrow \mathfrak{D}</math> heißt
* '''halbexakt''', falls <math>FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''</math> exakt ist
* '''linksexakt''', falls <math>0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''</math> exakt ist
* '''rechtsexakt''', falls <math>FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''\rightarrow 0</math> exakt ist
* '''exakt''', falls <math>0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''\rightarrow 0</math> exakt ist
für alle [[Kurze exakte Sequenz|kurzen exakten Sequenzen]] <math>0\rightarrow A \rightarrow A' \rightarrow A'' \rightarrow 0</math> in <math>\mathfrak{C}</math>.<ref>Peter Hilton: ''Lectures in Homological Algebra.'' American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Definition 3.1.</ref><ref>Götz Brunner: ''Homologische Algebra.'' B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, {{Falsche ISBN|3-411-014420-2}}, Kapitel III, Definition 32.</ref>

Ein kontravarianter Funktor <math>F:\mathfrak{C}\rightarrow \mathfrak{D}</math> heißt halb/links/rechts/exakt, falls er dies als kovarianter Funktor <math>\mathfrak{C}^{op}\rightarrow \mathfrak{D}</math> ist.

Halbexakte Funktoren zwischen [[Abelsche Kategorie|abelschen Kategorien]] sind [[Additiver Funktor|additive Funktoren]].<ref>Peter Hilton: ''Lectures in Homological Algebra.'' American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.2.</ref>

== Beispiele ==
* Die [[Hom-Funktor]]en <math>\mathrm{Hom}(A,-)</math> und <math>\mathrm{Hom}(-,B)</math> sind linksexakt.
* Die [[Tensorprodukt]]-Funktoren <math>(A\otimes -)</math> und <math>(-\otimes B)</math> sind rechtsexakt.
* Der Funktor „globale Schnitte“ auf der Kategorie der [[Garbe (Mathematik)|Garben]] von [[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppen]] in die Kategorie der abelschen Gruppen ist linksexakt, siehe [[Garbenkohomologie]].
* Für eine endliche Gruppe <math>G</math> ist der Funktor „''G''-Invarianten“ von der Kategorie der <math>G</math>-Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen linksexakt, siehe [[Gruppenkohomologie]].
* Der [[Dualraum]]-Funktor in der Kategorie der [[Banachraum|Banachräume]] mit den stetigen [[Lineare Abbildung|linearen Abbildungen]] als Morphismen ist exakt, wie sich aus dem [[Satz vom abgeschlossenen Bild]] ergibt.
* Für eine beliebige natürliche Zahl <math>n>1</math> ist der Funktor
:: <math>\mathfrak{Ab}\to\mathfrak{Ab},\quad M\mapsto nM</math>
: auf der Kategorie der abelschen Gruppen additiv und erhält Mono- und Epimorphismen, ist jedoch nicht exakt.

== Einzelnachweise ==
<references />

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