Quelltext der Seite Eulersche Vermutung

Die '''Eulersche Vermutung''' aus dem Jahr 1769 ist eine nach [[Leonhard Euler]] benannte Vermutung der [[Zahlentheorie]] und verallgemeinert die [[Fermatsche Vermutung]]. Die Eulersche Vermutung ist mittlerweile widerlegt, während die Fermatsche Vermutung bewiesen wurde.

== Vermutung ==
Die Eulersche Vermutung besagt, dass es keine positiven ganzzahligen [[Lösung (Mathematik)|Lösungen]] <math>a_1, a_2, \dotsc, a_k</math> der Gleichung <math>a_1^n + a_2^n + \dotsb + a_{k-1}^n = a_k^n</math> gibt, wenn <math>n</math> und <math>k</math> ganze Zahlen sind mit <math>n \geq k \geq 3</math>.
Fermat bewies angeblich die Vermutung für <math>n \geq k = 3</math> (Fermatsche Vermutung), veröffentlichte aber nur einen Beweis für <math>n = 4</math> und <math>k = 3</math>. Euler gab für <math>n = k = 3</math> einen Beweis an, siehe [[Großer Fermatscher Satz#n = 3, n = 4 und Vielfache dieser Zahlen|Großer Fermatscher Satz]], für größere <math>n</math> und <math>k</math> konnte er weder einen Beweis noch ein Gegenbeispiel finden.

== Widerlegungen ==
=== Fall n = 5 ===
Für den Fall <math>n = 5</math> fanden L.&nbsp;J.&nbsp;Lander und T.&nbsp;R.&nbsp;Parkin 1966 ein Gegenbeispiel:<ref>L. J. Lander, T. R. Parkin: ''Counterexample to Eulers’s conjecture on sums of like powers.'' In: ''Bull. Amer. Math. Soc.'' Band 72, 1966, S. 1079.</ref>
: <math>27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5</math>

=== Fall n = 4 ===
Für <math>n = 4</math> fand [[Noam Elkies]] 1988 folgendes Gegenbeispiel:<ref>Noam Elkies: ''On <math>A^4+B^4+C^4=D^4</math>.'' In: ''Math. Comput.'' Band 51, 1988, S. 825–835.</ref>
: <math>2.682.440^4 + 15.365.639^4 + 18.796.760^4 = 20.615.673^4</math>

Elkies bewies zudem, dass es für <math>n = 4</math> unendlich viele Lösungen gibt.

Die kleinste Lösung für <math>n = 4</math> lautet
: <math>95.800^4 + 217.519^4 + 414.560^4 = 422.481^4</math>.

Diese Minimallösung wurde nach der Publikation der ersten Lösung durch Elkies von Roger Frye gefunden.<ref>{{Literatur |Autor=Ian Stewart, David Tall |Titel=Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem |Auflage=3. |Verlag=A. K. Peters |Ort=Natick MA |Datum=2002 |ISBN=1-56881-119-5 |Seiten=232}}</ref><ref>Ivars Peterson:  {{Webarchiv |url=http://www.maa.org/mathland/mathtrek_09_27_04.html |wayback=20121201221353 |text=''Euler’s Sums of Powers''. |archiv-bot=}} In: ''ScienceNews'', 2004.</ref>

== Verwandte Fragestellung ==
Zusammen mit seiner Vermutung äußerte Euler zudem, dass es möglich sein sollte, vier 4.&nbsp;Potenzen zu finden, deren Summe eine 4.&nbsp;Potenz ergibt. Diese Vermutung wurde 1911 durch R.&nbsp;Norrie positiv beantwortet:
: <math>30^4 + 120^4 + 272^4 + 315^4 = 353^4</math>
Für diese allgemeine Form
: <math>a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = e^4</math>
wurde 2008 von Lee W.&nbsp;Jacobi und Daniel J.&nbsp;Madden gezeigt, dass sie unendlich viele ''positive'' ganzzahlige Lösungen hat. Es wurde auch eine besonders ästhetische Lösung der Form
: <math>a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = (a + b + c + d)^4</math>
in ganzen Zahlen gefunden:<ref>''American Mathematical Monthly.'' März 2008.</ref><ref>{{Literatur |Titel=Variationen zu einer Vermutung Eulers |Sammelwerk=Neue Zürcher Zeitung |Datum=2008-05-14 |ISSN=0376-6829 |Online=https://www.nzz.ch/variationen_zu_einer_vermutung_eulers-ld.484255 |Abruf=2024-02-18}}</ref>
: <math>955 + 1770 + (-2634) + 5400 = 5491</math>
: <math>955^4 + 1770^4 + (-2634)^4 + 5400^4 = 5491^4</math>
Diese Gleichung nennt man auch [[Jacobi-Madden-Gleichung]].

== Literatur ==

* Leonhard Euler: Resolutio formulae Diophanteae ''ab(maa + nbb) = cd(mcc + ndd)'' per numeros rationales. ''Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae'' 13 (1796), S. 45–63, {{Archive.org|novaactaacademia13impe|online|Blatt=45}}.
* Georg Ehlers: Solution of the Diophantine equation ab(maa+nbb)=cd(mcc+ndd) using rational numbers. ''Euleriana:'' 3(2), S. 81–123 (2023), [[DOI:10.56031/2693-9908.1041]]. Neuausgabe und englische Übersetzung von Eulers Originalarbeit.
* Richard K. Guy: ''Unsolved problems in number theory.'' Springer, New York 1994, ISBN 0-387-94289-0.
* {{Literatur
   |Autor=Ian Stewart, David Tall
   |Titel=Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem
   |Auflage=3.
   |Verlag=A K Peters
   |Ort=Natick MA
   |Datum=2002
   |ISBN=1-56881-119-5}}

== Weblinks ==
* Tito Piezas III: [http://sites.google.com/site/tpiezas/Home/ ''A Collection of Algebraic Identities''.]
* [http://euler.free.fr/ ''Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers''.] EulerNet
* Jaroslaw Wroblewski: [http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/eslp/ ''Equal Sums of Like Powers''.]
* {{MathWorld |id=EulersSumofPowersConjecture |title=Euler’s Sum of Powers Conjecture}}
* Ivars Peterson: [https://web.archive.org/web/20100927100615/https://www.maa.org/mathland/mathtrek_09_27_04.html ''Euler’s Sums of Powers.''] In: ''ScienceNews'', 2004, Seite nicht mehr abrufbar, Archivlink abgerufen am 1. März 2022

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Vermutung (Mathematik)]]
[[Kategorie:Leonhard Euler als Namensgeber]]