Quelltext der Seite Euklidische Geometrie

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Die '''euklidische Geometrie''' ist zunächst die anschauliche [[Geometrie]] des [[Euklidischer Raum|zwei- oder dreidimensionalen Raumes]]. Der Begriff hat jedoch sehr verschiedene Aspekte und lässt Verallgemeinerungen zu. Benannt ist dieses mathematische Teilgebiet der Geometrie nach dem griechischen Mathematiker [[Euklid von Alexandria]]. In Abgrenzung kann in der [[Nichteuklidische Geometrie|nichteuklidischen Geometrie]] zum Beispiel das [[Parallelenaxiom]] fehlen, das ermöglicht Berechnungen mit gekrümmten Geraden, Ebenen usw.<ref>{{Literatur |Autor=[[Andreas Filler]] |Titel=Euklidische und nichteuklidische Geometrie |Verlag=BI Wissenschaftsverlag |Datum=1993 |Online=https://www.mathematik.hu-berlin.de/~filler/publikat/filler_eukl-ne-geom.pdf}}</ref>

== Die Geometrie des Euklid ==
[[Datei:Woman teaching geometry.jpg|mini|Die ''Geometrie'' (Personifikation) unterrichtet in der Euklidischen Geometrie. (Darstellung vom Beginn des 14. Jahrhunderts)]]
Im engsten Sinne ist euklidische Geometrie die Geometrie, die [[Euklid]] in dem Werk ''[[Elemente (Euklid)|Die Elemente]]'' (Στοιχεῖα ''Stoicheia'') dargelegt hat. Über zweitausend Jahre lang wurde Geometrie nach diesem axiomatischen Aufbau gelehrt. Die Redewendung „more geometrico“ (lateinisch: „auf die Art der (euklidischen) Geometrie“) dient noch heute als Hinweis auf eine streng [[deduktiv]]e Argumentation.

Euklid geht dabei folgendermaßen vor:

=== Definitionen ===
Das Buch beginnt mit einigen [[Definition]]en, beispielsweise:
* Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
* Eine Länge ist eine Linie ohne Breite.
* Die Enden einer Linie sind Punkte.
* Eine Linie ist gerade, wenn sie gegen die in ihr befindlichen Punkte auf einerlei Art gelegen ist.
* Eine Fläche ist, was nur Länge und Breite hat.

Ähnlich werden [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], [[Winkel]] u.&nbsp;a. definiert.<ref name=":0">{{Internetquelle |url=http://www.opera-platonis.de/euklid/ |titel=Euklid Stoicheia - Euklid Elemente |abruf=2024-11-16}}</ref>

Außer diesen mehr oder weniger anschaulichen Definitionen von ''Grundbegriffen'' gibt es auch Definitionen, die im modernen Sinne als ''Worteinführungen'' zu verstehen sind, weil sie im folgenden Text abkürzend gebraucht werden, so zum Beispiel für [[Parallel (Geometrie)|Parallelen]]: „Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und dabei, wenn man sie nach beiden Seiten ins Unendliche verlängert, auf keiner Seite einander treffen.“<ref>{{Literatur |Autor=Sergei Kovalenko |Titel=Faszinierende Geometrie: Mathematische Zusammenhänge und ihre Anschauung – in der Ebene, im Raum und auf der Kugel |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Datum=2025-05-03 |Sprache=de |ISBN=978-3-662-70412-7 |Seiten=548 |Fundstelle=S. 21}}</ref>

Insgesamt enthält das erste Buch der ''Elemente'' 35 Definitionen.

=== Postulate ===
Nach den Definitionen folgen fünf [[Postulat]]e. Gefordert wird hier, dass:
* sich von jedem Punkt nach jedem Punkt eine gerade Linie ziehen lasse,
* sich eine begrenzte Gerade stetig in gerader Linie verlängern lasse,
* sich mit jedem [[Mittelpunkt]] und Halbmesser ein [[Kreis (Geometrie)|Kreis]] beschreiben lasse,
* alle [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] einander gleich seien und
* wenn eine gerade Linie zwei gerade Linien trifft und mit ihnen auf derselben Seite innere Winkel bildet, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte, so sollen die beiden geraden Linien, ins Unendliche verlängert, schließlich auf der Seite zusammentreffen, auf der letztere kleinere Winkel liegen (Anders interpretiert: dass zu einer geraden Linie durch einen gegebenen Punkt, der außerhalb dieser Geraden läge, höchstens eine dazu parallele gerade Linie existieren dürfe, siehe [[Parallelenaxiom|Parallelenpostulat]]).<ref name=":0" />

=== Euklids Axiome ===
* Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
* Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Summen gleich.
* Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich.
* Was miteinander zur Deckung gebracht werden kann, ist einander gleich.
* Das Ganze ist größer als sein Teil.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/euklidische-geometrie/2797 |titel=Euklidische Geometrie |sprache=de |abruf=2024-11-16}}</ref>

=== Probleme und Theoreme ===
Hierauf aufbauend behandelt Euklid nun Probleme …

:''Beispiel'': „Über einer gegebenen Strecke ein [[gleichseitiges Dreieck]] errichten.“

… und Theoreme

:''Beispiel'': „Wenn in einem Dreieck zwei Winkel einander gleich sind, müssen auch die den gleichen Winkeln gegenüberliegenden Seiten einander gleich sein.“

Zur Lösung eines Problems oder zum Beweis eines Theorems werden grundsätzlich nur die Definitionen, Postulate und Axiome sowie vorher bewiesene Theoreme und die Konstruktionen aus vorher gelösten Problemen verwendet.

=== Geometrie und Wirklichkeit bei Euklid ===
Als [[Platonismus|Platoniker]] war Euklid davon überzeugt, dass die von ihm formulierten Postulate und Axiome die Wirklichkeit wiedergeben. Gemäß Platons [[Ideenlehre]] gehören sie einer [[Ontologie|ontologisch]] höherrangigen Ebene an als die in den Sand gezeichneten Figuren, die ihre Abbildungen sind. Das Verhältnis zwischen einem unvollkommen gezeichneten Kreis und der vollkommenen Idee des Kreises illustriert den Unterschied zwischen der sinnlich wahrnehmbaren Welt und der [[Intelligibel|intelligiblen]] (nur geistig erfassbaren) Welt, der in Platons [[Höhlengleichnis]] veranschaulicht wird.

=== Unterschiede zu einer rein axiomatischen Theorie ===
Aus heutiger Sicht genügen ''Die Elemente'' nicht dem Anspruch an eine [[axiomatische Theorie]]:
* Zweck der ''Definitionen'' (soweit sie Grundbegriffe betreffen) ist es bei Euklid, den Bezug zur vertrauten geometrischen Erfahrungswelt herzustellen und die Postulate zu motivieren. Die Aussagekraft solcher Sätze wird sehr unterschiedlich beurteilt. Strenge Axiomatiker halten sie für überflüssig.
* Die fünf ''Postulate'' repräsentieren am ehesten das, was heute als [[Axiom]] angesehen würde. Als Grundlage für die aus ihnen gezogenen Schlüsse sind sie aber nicht umfassend genug und zu ungenau. – Anzumerken ist, dass zumindest die drei ersten „Postulate“ die Möglichkeit von bestimmten Konstruktionen postulieren (und nicht etwa das Zutreffen bestimmter Sachverhalte). Euklids Axiomatik kann deshalb auch als konstruktive Axiomatik bezeichnet werden.
* Die als ''Axiome'' bezeichneten Aussagen betreffen weniger die [[Geometrie]] als vielmehr die [[Logik|logischen]] Grundlagen. Im Sinne einer Begründung der Logik sind sie allerdings lückenhaft.

Hieraus folgt, dass die Schlüsse notgedrungen eine Vielzahl von unausgesprochenen Annahmen verwenden.

== Die moderne axiomatische Theorie ==
{{Hauptartikel|Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie}}

In einem anderen Sinne ist euklidische Geometrie eine am Ende des 19. Jahrhunderts entstandene, streng [[axiom]]atische Theorie. Die oben genannten Probleme wurden deutlich, als sich [[Bertrand Russell]], [[David Hilbert]] und andere Mathematiker um eine strengere [[Geschichte der Mathematik#Moderne Mathematik|Grundlegung der Mathematik]] bemühten. Sie wurden von Hilbert gelöst, der die Ergebnisse in seinem Werk ''Grundlagen der Geometrie'' (1899) veröffentlichte. Vorläufer waren [[Hermann Graßmann]], [[Moritz Pasch]], [[Giuseppe Peano]] und andere. Auch nach Hilbert wurden mehrere andere Axiomensysteme für die euklidische Geometrie aufgestellt.

=== Hilberts Vorgehensweise ===
David Hilbert verwendet „drei verschiedene Systeme von Dingen“, nämlich Punkte, Geraden und Ebenen, von denen er nur sagt: „Wir denken (sie) uns“. Diese Dinge sollen „in drei grundlegenden Beziehungen“ zueinander „gedacht werden“, nämlich „liegen“, „zwischen“ und „kongruent“. Zur Verknüpfung dieser „Dinge“ und „Beziehungen“ stellt er dann 21&nbsp;Axiome in fünf Gruppen auf:
* Acht Axiome der Verknüpfung ''([[Inzidenzgeometrie|Inzidenz]])''
* Vier Axiome der Anordnung ''([[Ordnungsrelation|Ordnung]])''
* Sechs Axiome der Kongruenz ''([[Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz]])''
* Das Axiom der Parallelen ''([[Parallelenaxiom]])''
* Zwei Axiome der Stetigkeit ''([[archimedisches Axiom]] und Vollständigkeitsaxiom)''

=== Geometrie und Wirklichkeit bei Hilbert ===
Als ein Vertreter des [[Formalismus (Mathematik)|Formalismus]] erklärt Hilbert es für irrelevant, was diese Punkte, Geraden und Ebenen mit der Wirklichkeit zu tun haben. Die Bedeutung der Grundbegriffe sei dadurch bestimmt, dass sie die Axiome erfüllen. So beginnt er den Abschnitt über die Axiome der Verknüpfung mit dem Satz: „Die Axiome dieser Gruppe stellen zwischen den oben eingeführten Dingen: Punkte, Geraden und Ebenen eine ''Verknüpfung'' her und lauten wie folgt:…“ Die Definitionen der Grundbegriffe erfolgen also [[implizit]].

Andererseits erklärt Hilbert in der Einleitung zu seinem Werk: „Die vorliegende Untersuchung ist ein neuer Versuch, für die Geometrie ein ''vollständiges'' und ''möglichst einfaches'' System von Axiomen aufzustellen…“. Mit diesem Bezug auf ''die Geometrie'' stellt er klar, dass es ihm nicht um einen beliebigen Formalismus geht, sondern um eine Präzisierung dessen, was Euklid mit „Geometrie“ gemeint hat und was wir alle als die Eigenschaften des uns umgebenden Raumes kennen. – Diese Präzisierung ist Hilbert vollständig gelungen, und sie erweist sich als viel aufwändiger, als Euklid ahnte.

=== Weitere Axiomensysteme ===
Später aufgestellte Axiomensysteme sind grundsätzlich äquivalent zu dem Hilberts. Sie berücksichtigen die Weiterentwicklung der Mathematik.

Eine mögliche [[Axiomatisierung]] ist gegeben durch die Axiome der [[Absolute Geometrie|absoluten Geometrie]] zusammen mit dem folgenden Axiom, das unter Voraussetzung der übrigen Axiome der absoluten Geometrie gleichwertig zum Parallelenaxiom ist:

:Zu jeder Geraden existiert eine von ihr verschiedene Parallele. Sind zwei Geraden zu einer dritten parallel, dann sind sie auch parallel zueinander.<ref>nach Axiom (D) in {{Literatur | Autor= Benno Klotzek | Titel= Euklidische und nichteuklidische Elementargeometrien | Auflage= 1. | Verlag= Harri Deutsch | Ort= Frankfurt am Main | Jahr= 2001  | ISBN= 3-8171-1583-0 | Seiten= }} </ref>

== Euklidische und nichteuklidische Geometrie ==
Weiterhin dient der Begriff euklidische Geometrie als Gegenbegriff zu den [[Nichteuklidische Geometrie|nichteuklidischen Geometrien]].

Den Impuls gab dabei die Auseinandersetzung mit dem [[Parallelenpostulat]]. Nachdem jahrhundertelang zuvor vergeblich versucht worden war, dieses fünfte Postulat des Euklid auf ein einfacheres zurückzuführen, schlussfolgerten der Ungar [[János Bolyai]] und der Russe [[Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski]] um 1830, dass eine Verneinung dieses fünften Postulates zu logischen Widersprüchen führen müsse, wenn dieses tatsächlich auf einfachere Aussagen zurückgeführt werden könne. Also verneinten die beiden Mathematiker dieses Postulat und definierten jeweils eigene (Ersatz-)Postulate, die wider Erwarten zu einem logisch völlig einwandfreien geometrischen System führten – den nichteuklidischen Geometrien: „Nicht der Beweis war indes so beunruhigend, sondern vielmehr sein rationales Nebenprodukt, das schon bald ihn und fast alles in der Mathematik überschatten sollte: Die Mathematik, der Eckstein wissenschaftlicher Gewissheit, war auf einmal ungewiss geworden. Man hatte es jetzt mit ''zwei'' einander widersprechenden Visionen unantastbarer wissenschaftlicher Wahrheit zu tun“, was zu einer tiefen Krise in den Wissenschaften führte (Pirsig, 1973).

Die genaue Formulierung des „hyperbolischen“ Axioms, das in der Geometrie von Lobatschewski, der [[Hyperbolische Geometrie|hyperbolischen Geometrie]], an die Stelle des Parallelenaxioms tritt, lautet: „… durch einen auf einer Gerade nichtliegenden Punkt gehen mindestens zwei Geraden, die mit dieser in einer Ebene liegen und sie nicht schneiden …“<ref name="Gauss">Auch [[Carl Friedrich Gauß|Gauß]] hat Arbeiten über nichteuklidische Geometrien verfasst, die er (nach eigener Aussage) deshalb nicht veröffentlicht hat, weil sie ihm viel zu „verrückt“ erschienen sind.</ref>

=== Nichteuklidische Geometrien und die Wirklichkeit ===
Ob nichteuklidische Geometrien (es gibt verschiedene) den realen Raum beschreiben können, wird unterschiedlich beantwortet. Meist werden sie als rein abstrakt-mathematische Theorien verstanden, die nur durch die Ähnlichkeit der Begriffe und Axiomensysteme den Namen „Geometrie“ verdienen.

Diese Theorien haben sich inzwischen allerdings in der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]] als sehr relevant für die Beschreibung der ''Realität'' unseres [[Weltall]]s erwiesen.

== Die analytische Geometrie der Ebene und des Raumes ==
{{Hauptartikel|Analytische Geometrie}}

In einem [[Koordinatensystem]] lässt sich ein Punkt darstellen als ein [[Geordnetes Paar|Paar]] (in der ebenen Geometrie) oder als ein [[Pythagoreisches Tripel|Tripel]] von [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]]. Eine Gerade oder Ebene ist dann eine Menge von solchen Zahlenpaaren (bzw. -tripeln), deren Koordinaten eine [[lineare Gleichung]] erfüllen. Die hierauf aufgebaute [[analytische Geometrie]] der reellen Zahlenebene <math>\mathbb{R}^2</math> oder des reellen Zahlenraums <math>\mathbb{R}^3</math> erweist sich als völlig äquivalent zu der axiomatisch definierten.

Man kann die analytische Geometrie als ein [[Modelltheorie|Modell]] für die axiomatische Theorie ansehen. Dann liefert sie einen Beweis der [[Widerspruchsfreiheit]] des Axiomensystems (wobei man allerdings eine widerspruchsfreie Begründung der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] als gegeben voraussetzen muss).

Man kann den analytischen Zugang aber auch als eine selbstständige (und bequemere) Begründung der Geometrie ansehen; aus dieser Sicht ist der axiomatische Zugang nur noch von geschichtlichem Interesse. [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]] zum Beispiel (und ebenso [[Jean Dieudonné]]) verzichtet vollständig auf die Verwendung originär geometrischer Begriffe und hält mit der Behandlung der [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräume]] das Thema für erledigt.

== Euklidische Geometrie als Lehre vom Messen ==
Euklidische Geometrie ist auch die Geometrie, in der ''Strecken'' und ''Winkeln'' Maße zugeordnet werden.

Im axiomatischen Aufbau der euklidischen Geometrie kommen ''Zahlen'' scheinbar überhaupt nicht vor. Es ist allerdings festgelegt, wie man an eine Strecke eine ''kongruente'' in der gleichen Richtung anfügt, diese also ''verdoppelt'' – und folglich auch mit einer beliebigen natürlichen Zahl ''vervielfacht''. Es gibt auch eine Konstruktion, um eine gegebene Strecke in ''n'' gleiche Teile zu teilen. Wird nun noch eine beliebige Strecke als Einheitsstrecke ausgezeichnet, so ist es damit möglich, Strecken zu konstruieren, deren Maßzahl eine beliebige ''rationale Zahl'' ist. Dies ist der wesentliche Gegenstand der altgriechischen ''[[Arithmetik]]''.

Bei anderen Konstruktionen ergeben sich Strecken, die keine [[rationale Zahl]] als Maßzahl haben. (Etwa die Diagonale des Quadrats über der Einheitsstrecke oder ihre Abschnitte bei der Teilung nach dem [[Goldener Schnitt|goldenen Schnitt]].) Dies nachgewiesen zu haben, zeugt von dem unglaublich hohen Niveau der griechischen Mathematik schon zur Zeit der [[Pythagoreer]]. Somit wird die Einführung von [[Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]] erforderlich. 2000 Jahre später stellt Hilberts [[Vollständigkeitsaxiom]] sicher, dass alle [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] als Maßzahlen für Strecken auftreten können.

Die Festlegung von Maßzahlen für Winkel verläuft ähnlich. Die Festlegung eines „Einheitswinkels“ entfällt, da mit dem ''Vollwinkel'' (oder dem ''Rechten Winkel'') ein objektives Maß existiert. Andererseits ist die [[Dreiteilung des Winkels|Teilung des Winkels]] in <math>n</math> gleiche Teile wesentlich problematischer: lässt man als Konstruktionshilfsmittel nur Zirkel und Lineal zu, so lässt sich nicht zu jedem rationalen Winkelmaß ein Winkel konstruieren. Schon die [[Dreiteilung des Winkels]] misslingt im Allgemeinen.

Die so eingeführte [[Metrischer Raum|Metrik]] ist äquivalent zu der durch die [[euklidische Norm]] induzierten [[Euklidischer Abstand|euklidischen Metrik]] des „analytischen“ <math>\mathbb{R}^2</math> oder <math>\mathbb{R}^3</math>. Für die durch ihre Koordinaten gegebenen Punkte <math>x=(x_1, x_2, x_3)</math> und <math>y=(y_1, y_2, y_3)</math> ist also
<math>
d(x,y) = \sqrt{(x_{1} - y_{1})^2 + (x_{2} - y_{2})^2 + (x_{3} - y_{3})^2} </math>.

Maßzahlen für Winkel lassen sich in der analytischen Geometrie über das [[Skalarprodukt#Norm, Winkel und Orthogonalität|Skalarprodukt]] von Vektoren definieren.

== Verallgemeinerung für höhere Dimensionen ==
Als analytische Geometrie lässt sich die euklidische Geometrie ohne weiteres für eine beliebige (auch unendliche) Anzahl von Dimensionen verallgemeinern.

Zu den Geraden und Ebenen treten dann höherdimensionale lineare Punktmengen, die als Hyperebenen bezeichnet werden. (In einem engeren Sinne ist eine [[Hyperebene]] eines <math>n</math>-dimensionalen Raumes ein möglichst „großer“, also <math>(n-1)</math>-dimensionaler Teilraum.)

Die Zahl der Dimensionen ist dabei nicht beschränkt und muss auch nicht endlich sein. Zu jeder [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] lässt sich ein [[euklidischer Raum]] dieser Dimension definieren.

Räume mit mehr als drei Dimensionen sind für unser Vorstellungsvermögen grundsätzlich unzugänglich. Sie wurden auch nicht mit dem Anspruch entworfen, menschliche Raumerfahrung darzustellen. Ähnlich wie bei den nichteuklidischen Geometrien fanden sich aber auch hier Bezüge zur theoretischen Physik: Die [[Raumzeit]] der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] lässt sich als vierdimensionaler Raum darstellen. In der modernen Kosmologie gibt es Erklärungsansätze mit noch erheblich mehr Dimensionen.

== Verwandte Gebiete ==
Verzichtet man auf das 3. und 4. euklidische Postulat (also auf die Begriffe „Kreis“ und „Rechter Winkel“) oder beschränkt man sich, für eine präzisere Definition, auf Hilberts Axiome der ''Verknüpfung'' und der ''Parallelen'', so erhält man eine [[affine Geometrie]]. Sie wurde von [[Leonhard Euler]] erstmals entwickelt. Die Begriffe „Abstand“ und „Winkelmaß“ kommen hier nicht vor, wohl aber Strecken''verhältnisse'' und Parallelität.

Ersetzt man das Parallelenaxiom durch die Festsetzung, dass zwei in einer Ebene gelegene Geraden immer einen Schnittpunkt haben sollen, so entsteht aus der affinen eine [[projektive Geometrie]].

Umgekehrt kann man die euklidische auch aus der (reellen) [[projektive Geometrie|projektiven Geometrie]] heraus entwickeln. Dualisiert man diesen Prozess innerhalb der projektiven Geometrie, so erhält man die [[dualeuklidische Geometrie]]. Diese lässt sich mit der euklidischen zur [[polareuklidische Geometrie|polareuklidischen Geometrie]] vereinen.

Wenn die Anordnungs- und Stetigkeitsaxiome wegfallen, können affine und projektive Geometrien auch aus endlich vielen Punkten bestehen.

In der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] wird der Begriff einer ''euklidischen Ebene'' so verallgemeinert, dass genau die Ebenen, deren [[affine Koordinaten]] in einem [[Euklidischer Körper|euklidischen Körper]] liegen, euklidische Ebenen sind.

== Weblinks ==
{{commonscat|Euclidean geometry}}
{{Wiktionary|euklidisch}}

== Literatur ==
* Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: ''5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer).'' 2. Auflage. Springer, 2005, ISBN 3-540-22471-8

== Bemerkungen ==
<references />
<!--
== Quellen ==
<references />
-->

{{Normdaten|TYP=s|GND=4137555-5}}

[[Kategorie:Euklidische Geometrie| ]]
[[Kategorie:Absolute Geometrie]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]
[[Kategorie:Antike Mathematik]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]
[[Kategorie:Euklid als Namensgeber]]