Quelltext der Seite Erstpreisauktion

Die '''Erstpreisauktion''' ''(auch Erstpreisausschreibung, engl. first price sealed bid auction)'' ist eine [[Auktion]], bei der die Bieter einmalig und verdeckt ihre Gebote abgeben. Der Bieter mit dem höchsten Gebot gewinnt die Auktion und muss sein eigenes, das höchste Gebot bezahlen.

Im Gegensatz zur Erstpreisauktion steht die [[Zweitpreisauktion]], bei der die Bieter zwar auch ihre Gebote einmalig und verdeckt abgeben und der Bieter mit dem höchsten Gebot die Auktion gewinnt; jedoch muss er nur das zweithöchste Gebot bezahlen.

Ist das zu versteigernde Objekt von rein privatem Wert und die Bieter [[Risikoneutralität|risikoneutral]], so ist die Erstpreisauktion strategisch äquivalent zur [[Holländische Auktion|Holländischen Auktion]], während die Zweitpreisauktion zur Englischen Auktion strategisch äquivalent ist.<ref name="Eichberger_1">Eichberger, Jürgen: ''Grundzüge der Mikroökonomik.'' 2. Auflage, Mohr Siebeck, Tübingen, 2004: S. 300</ref>

== Auktionsgeschichte ==

Erste [[Auktion]]en tauchen erstmals in [[Griechenland|griechischen]] Dokumenten 500 [[v. Chr.]] auf. Zu dieser Zeit wurden [[Frau]]en in einer Art [[Holländische Auktion|Holländischen Auktion]] versteigert. Während sehr hübsche Frauen relativ hohe Gebote bekamen, so musste der Verkäufer bei weniger attraktiven Frauen eine [[Mitgift]] oder andere Geldangebote dazu geben, um die Auktion erfolgreich abzuschließen. Tatsächlich war es aber verboten, Frauen außerhalb einer Auktion zu verkaufen.<ref name="History">https://mikebrandlyauctioneer.wordpress.com/auction-publications/history-of-auctions/</ref>

Zur Zeit [[Jesus Christus]] waren Auktionen im [[Römisches Reich|Römischen Kaiserreich]] beliebt, um Teile des Familienanwesens oder auch [[Kriegsbeute]] zu verkaufen. So versteigerte beispielsweise der [[Liste der römischen Kaiser der Antike|römische Kaiser]] [[Mark Aurel]] Möbel, um seine [[Schulden]] zu begleichen.<ref name="History" />

Auktionen in den [[Vereinigte Staaten|Vereinigten Staaten von Amerika]] lassen sich bis zum Anfang des [[17. Jahrhundert]]s zurückverfolgen, als die ersten [[Pilgerväter]] dorthin übersiedelten. Über Auktionen wurden [[Pflanzen]], [[Import]]e, Dachschindeln, [[Tier]]e, [[Werkzeug]]e, [[Tabak]], [[Sklaverei|Sklaven]] und sogar ganze [[Bauernhof#Farm|Farmen]] verkauft. Der Verkauf über Auktionen war der schnellste und effizienteste Weg aus Besitztümern Geld zu machen.<ref name="History" />

Zur Zeit des [[Sezessionskrieg|Bürgerkrieges]] in den USA entstand der auch heute noch teilweise gebrauchte Name "[[Oberst#Colonel|Colonel]]" für einen Auktionator: Zu dieser Zeit verkauften üblicherweise die Colonels des [[United States Army|Militärs]] Kriegsbeute.<ref name="History" />

In [[Europa]] tauchen erstmals Aufzeichnungen über Auktionen im "[[Oxford English Dictionary]]" im Jahre 1595 auf. Im späten 17. Jahrhundert schrieb die [[The London Gazette|London Gazette]] über Versteigerungen von Kunst in Kaffeehäusern und [[Gaststätte|Wirtshäusern]]. Die berühmten Auktionshäuser [[Sotheby’s]] und [[Christie’s]] wurden 1744 bzw. 1766 gegründet.<ref name="History_2">http://www.econport.org/econport/request?page=man_auctions_briefhistory</ref>

Erste Auktionen in den [[Niederlande]]n finden sich im Jahre 1887 um [[Frucht|Früchte]] und [[Gemüse]] zu verkaufen. Zur gleichen Zeit verkauften [[Fischer (Beruf)|Fischer]] in [[Deutschland]] ihren Fang über Auktionen.<ref name="History_2" />

Auf [[Tsukiji-Fischmarkt|Fischmärkten]] in [[Japan]] wurde früher über die Erstpreisauktion getrockneter [[Fische|Fisch]] versteigert. Das Verfahren war wie folgt: Die Bieter gaben ihre Gebote in einer Box auf einem Zettel ab. Nach einer vorher festgelegten Zeit öffnete der Auktionator die Box und verkündete den Gewinner.<ref name="EconPort">http://www.econport.org/econport/request?page=man_auctions_firstpricesealed</ref>

Heute verwenden viele [[Zentralbank]]en wie die deutsche [[Bundesbank]], die [[Europäische Zentralbank]] oder auch das [[Finanzministerium der Vereinigten Staaten|Finanzministerium der Vereinigten Staaten von Amerika]] die Erstpreisauktion, um [[Staatsanleihe]]n zu vergeben. Hierbei wird meist das sogenannte Multi-Preis-Auktionsverfahren ''(engl. discriminatory auction)'' verwendet, bei dem es mehrere Zuschläge zu unterschiedlichen [[Zinssatz|Zinssätzen]] geben kann.<ref>http://www.newyorkfed.org/research/current_issues/ci3-9.pdf S. 1–2</ref><ref>http://www.deutsche-finanzagentur.de/de/institutionelle-investoren/primaermarkt/tenderverfahren/</ref>

Zudem wird meist bei Vergabe von Bauaufträgen auch die Erstpreisauktion als Vergabeverfahren verwendet. Jedoch ist hier die Rolle von Käufer und Verkäufer vertauscht. Deshalb gewinnt der Bieter mit dem niedrigsten Gebot.<ref name="EconPort" />

{{Anker|schweizerauktion}}Eine Variante der Erstpreisauktion ist die sogenannte "[[Schweiz]]er Auktion": Diese Auktionsform wird auch bei der Vergabe von Bauaufträgen verwendet, jedoch mit dem Unterschied, dass der Gewinner der Auktion auch das ersteigerte Objekt ablehnen kann. Der Name kommt daher, dass die Schweizer Bauindustrie teilweise dieses Vergabeverfahren für Bauaufträge verwendet. [[Architekt]]en bevorzugen diese Art von Auktion, da es bei Bauaufträgen immer wieder zu Änderungen des eigentlichen Auftrags kommt und es keinen Grund gibt, mit jemandem zu arbeiten, der die Arbeit nicht machen will.<ref name="EconPort" />

== Optimale Bietstrategie für beliebig stetig verteilte Bewertungen ==

<div style="border:1px solid; padding: 10px;">

<div align="center">

'''Die optimale Bietstrategie eines Bieters für beliebig stetig verteilte Bewertungen lautet, die erwartete höchste Bewertung aller anderen Bieter abzugeben, gegeben diese erwartete höchste Bewertung ist kleiner als die eigene Bewertung des Bieters.'''

</div>
</div>
=== Annahmen ===

* Es gibt <math>n</math> Bieter für ein einzelnes Objekt. Jeder Bieter <math>i</math> bewertet das zu versteigernde Objekt mit <math>v_i</math>, also dem maximalen Betrag, den der Bieter bereit ist, für das Objekt zu bezahlen.

* Jede Bewertung <math>v_i</math> ist identisch und unabhängig auf <math>[0,\overline{v}]</math>, wobei <math>v_i\in [0,\infty)</math>, verteilt mit entsprechender [[Verteilungsfunktion]] <math>F(x)=P(X\leq x)</math> und der dazugehörigen [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Dichtefunktion]] <math>f(x)=\frac{dF(x)}{dx}=F^{\prime}(x)</math>.

* <math>E[v_i]<\infty ,\quad\forall v_i\in [0,\overline{v}]</math>.

* Die Bieter sind [[Risikoneutralität|risiko-neutral]], und das zu versteigernde Objekt ist von rein privatem Wert.

* Die [[Verteilungsfunktion]] <math>F(x)</math> und die Anzahl <math>n, n \in \mathbb{N}</math>, der Bieter sind [[Common Knowledge]], also jedem Bieter bekannt.

* Die [[Strategie (Spieltheorie)|Strategie]] eines Bieters <math>i</math> ist eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>\beta_{i}:[0,\overline{v}]\rightarrow \mathbb{R}_{+}</math>, die zu jeder Bewertung das eigene Gebot bestimmt.

* Das [[Perfektes Bayessches Gleichgewicht|Gleichgewicht]] ist ein symmetrisches Gleichgewicht, also jeder Bieter verfolgt dieselbe Strategie: <math>b_i=\beta(v), \quad\forall i\in \{1,...,n\}</math>.

* Die Auszahlung des Bieters <math>i</math> mit Bewertung <math>v_i</math> des zu versteigernden Objektes und Gebot <math>b_i</math> ist
:<math> u(b_i,b_{-i},v_i)=\begin{cases} v_i-b_i & b_i>\max_{j\neq i} b_{j} \\ 0 & b_i<\max_{j\neq i} b_{j}\end{cases}.</math>

=== Herleitung der optimalen Bietstrategie ===

Sei <math>b_i</math> das Gebot des Spielers <math>i</math>. Es ist niemals optimal, ein Gebot <math>b_i>\beta(\overline{v})</math> zu wählen, da in diesem Fall der Bieter das Objekt auf jeden Fall bekommt, er aber durch Reduzierung seines Gebotes sich besser stellen kann, da er dann das Objekt trotzdem bekommt, aber weniger bezahlen muss. Daraus folgt, dass man nur den Fall <math>b_i\leq\beta(\overline{v})</math> betrachten muss. Zudem würde ein Bieter mit Bewertung <math>0</math> niemals ein positives Gebot abgeben, da er dann ein Verlust machen würde, wenn er die [[Auktion]] gewinnen würde. Also gilt <math>\beta(0)=0</math>.<ref>Krishna, Vijay: ''Auction Theory.'' 2. Auflage, Academic Press, Amsterdam, Heidelberg u.&nbsp;a., 2010: S. 14</ref>

Bieter <math>i</math> bekommt das Objekt, wenn er das höchste Gebot abgibt, also <math>\max_{j\neq i} \beta_{j}(v_j)<b_i</math>. Da <math>\beta</math> [[Monotonie (Mathematik)|monoton wachsend]] ist, gilt:
: <math>\max_{j\neq i} \beta_{j}(v_j)=\beta_j(\max_{j\neq i} v_j)=\beta(Y_1)</math>

mit <math>Y_1</math> als höchste Bewertung der <math>n-1</math> übrigen Spieler.

Bieter <math>i</math> erhält den Zuschlag für das Objekt immer dann, wenn <math>\beta(Y_1)<b_i\Longleftrightarrow Y_1<\beta^{-1}(b_i)</math>.

Seine [[Erwartungswert|erwartete]] Auszahlung ist nun

:<math>E[b_i,b^{\ast}_{-i},v_i]=G\left(\beta^{-1}(b_i)\right)\cdot (v_i-b_i)</math>

mit <math>G</math> [[Verteilungsfunktion]] von <math>Y_1</math>.

Maximierung der erwarteten Auszahlung über <math>b_i</math> führt zu

:<math>\frac{\partial E[b_i,b^{\ast}_{-i},v_i]}{\partial b_i}=\frac{g\left(\beta^{-1}(b_i)\right)}{\beta'\left(\beta^{-1}(b_i)\right)}\cdot (v_i-b_i)-G\left(\beta^{-1}(b_i)\right)\overset{!}{=}0</math>

mit <math>g</math> [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Dichtefunktion]] von <math>Y_1</math>.

Da das [[Perfektes Bayessches Gleichgewicht|Gleichgewicht]] symmetrisch ist (<math>b_i=\beta(v)</math>), folgt nun folgende [[Differentialgleichung]]:
: <math>G(v)\beta '(v)+g(v)\beta(v)=vg(v)</math> oder
: <math> \frac{d}{dv}\left(G(v)\beta (v)\right)=vg(v).</math>

Mit der Anfangswertbedingung <math>\beta(0)=0</math> erhält man nun die optimale Bietstrategie:
: <math>\beta(v)=\frac{1}{G(v)}\int_0^{v} yg(y)dy=E[Y_1|Y_1<v].</math>

Oder mit Hilfe von [[Partielle Integration|partieller Integration]]:
:<math>\beta(v)=E[Y_1|Y_1<v]=v-\int_0^v \frac{G(y)}{G(v)}dy.</math>

Somit lautet die optimale Bietstrategie eines Bieters, die erwartete höchste Bewertung aller anderen Bieter abzugeben, gegeben diese höchste Bewertung ist niedriger als seine eigene Bewertung.

=== Erwarteter Erlös des Verkäufers ===

<div style="border:1px solid; padding: 10px;">

<div align="center">

'''Der erwartete Erlös des Verkäufers ist die erwartete zweithöchste Bewertung aller Bieter.'''

</div>
</div>
Die [[Erwartungswert|erwartete]] Zahlung des Käufers mit dem höchsten Gebot ist
:<math> m(v)=G(v)\cdot E[Y_1|Y_1<v]=\int_0^{v} yg(y)dy.</math>

Die [[ex ante]] erwartete Zahlung des Käufers ist
:<math>E[m(v)]=\int_0^{\overline{v}}m(x)f(x)dx=\int_0^{\overline{v}}\left(\int_0^{v} yg(y)dy\right)f(x)dx=\int_0^{\overline{v}}\left(\int_y^{\overline{v}}f(x)dx\right)yg(y)dy=\int_0^{\overline{v}}y(1-F(y))g(y)dy.</math>

Der erwartete Erlös des Verkäufers ist nun
:<math>E[R]=n\cdot E[m(v)]=n\cdot \int_0^{\overline{v}}y(1-F(y))g(y)dy.</math>

Mit Hilfe der [[Ordnungsstatistik]]en ergibt sich nun für den erwarteten Erlös des Verkäufers:

:<math> E[R]=E[Y_2]</math>

mit <math>Y_2</math> als zweithöchste Bewertung aller <math>n</math> Bieter. Der erwartete Erlös des Verkäufers ist gerade die erwartete zweithöchste Bewertung aller <math>n</math> Bieter.<ref>Krishna, Vijay: ''Auction Theory.'' 1. Auflage, Academic Press, Amsterdam, Heidelberg u.&nbsp;a., 2010: S. 18–19</ref>

=== Erlösäquivalenz zur Zweitpreisauktion ===

{{Hauptartikel|Erlös-Äquivalenz-Theorem}}

Das [[Erlös-Äquivalenz-Theorem|Erlösäquivalenztheorem]] besagt, dass bei Güter mit rein privatem Wert und [[Risikoneutralität|risikoneutralen]] Bietern der [[Erwartungswert|erwartete]] Erlös des Verkäufers in Erst- und [[Zweitpreisauktion]] der gleiche ist.<ref name="Eichberger_1" />

=== Beispiel: Optimale Bietstrategie für gleichverteilte Bewertungen des zu versteigernden Objektes ===

Wenn die Bewertungen auf <math>[0,\overline{v}]</math> [[Gleichverteilung|gleichverteilt]] sind, dann gilt für die zugehörige [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Dichtefunktion]]:
:<math>f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\overline{v}} & x \in [0,\overline{v}] \\ 0 & x \notin[0,\overline{v}]\end{cases}.</math>
Daraus folgt für [[Verteilungsfunktion]]:
:<math>P(X\leq x)=F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{x}\frac{1}{\overline{v}}dt=\left[\frac{1}{\overline{v}}t\right]_{0}^{x}=\begin{cases}\frac{1}{\overline{v}}x & x \in [0,\overline{v}] \\ 0 & x \notin[0,\overline{v}]\end{cases}.</math>

Für die Verteilung <math>G(v)</math> der höchsten [[Ordnungsstatistik]] der <math>n-1</math> übrigen Bieter gilt nun:

: <math>G(v)=\left[F(v)\right]^{n-1}=\left(\frac{1}{\overline{v}}v\right)^{n-1}</math>

und damit ergibt sich folgende optimale Bietstrategie:

: <math>\beta(v)=v-\int_0^v \frac{G(y)}{G(v)}dy=v-\int_0^v \left(\frac{F(y)}{F(v)}\right)^{n-1}dy=\frac{n-1}{n}\cdot v.</math>

Insbesondere gilt:
:<math>\frac{\partial\beta(v)}{\partial n}=\frac{1}{n^2}\cdot v>0, \quad \forall v>0,</math>
:<math>\lim\limits_{n \to \infty}\beta(v)=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n-1}{n}\cdot v=v.</math>

Das Gebot ist [[Monotonie (Mathematik)|streng monoton steigend]] in der Bieteranzahl und bei einer großen Bieteranzahl geht das Gebot gegen die eigene Bewertung <math>v</math> des Objektes und somit die Auszahlung gegen <math>0</math>.<ref>Eichberger, Jürgen: ''Grundzüge der Mikroökonomik.'' 2. Auflage, Mohr Siebeck, Tübingen, 2004: S. 299</ref>

== Erweiterungen ==

=== Risiko-averse Bieter ===
<div style="border:1px solid; padding: 10px;">

<div align="center">

''' Bei risiko-aversen Bietern kommt es zu höheren Gleichgewichtsgeboten als bei risiko-neutralen Bietern.'''

</div>
</div>
Jeder Bieter hat nun als Auszahlungsfunktion eine [[Nutzenfunktion (Mikroökonomie)#Von-Neumann-Morgenstern-Erwartungsnutzenfunktion|Von-Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion]] <math>u\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}_{+}</math> mit <math>u(0)=0</math>, <math>u' >0</math> und <math>u''<0</math>. Anstatt wie im Falle der [[Risikoneutralität]] die [[Erwartungswert|erwartete]] Auszahlung zu maximieren, wird nun der erwartete Nutzen maximiert. Die Gleichgewichtsstrategien sind durch eine [[Monotonie (Mathematik)|wachsende]] und [[Differenzierbarkeit|differenzierbare]] Funktion <math>\gamma : [0,\overline{v}]\rightarrow \mathbb{R}</math> mit <math>\gamma(0)=0</math> gegeben. Das [[Optimierungsproblem]] eines Bieters <math>i</math> mit Bewertung <math>v_i</math> ist demnach durch
: <math>\max_{b_i\in [0, \overline{v}]} G(b_i)\cdot u(v_i-\gamma(b_i)).</math>
gegeben. Die Bedingung erster Ordnung lautet nun
: <math> g(b_i)\cdot u(v_i-\gamma(b_i))-G(b_i)\cdot \gamma '(b_i)\cdot u '(v_i-\gamma(b_i))\overset{!}{=}0.</math>
Im symmetrischen [[Perfektes Bayessches Gleichgewicht|Gleichgewicht]] gilt <math>b_i=v</math> für alle Bieter <math>i</math> und somit:
: <math> \gamma '(v)=\frac{u(v-\gamma(v))}{u'(v-\gamma(v))}\cdot\frac{g(v)}{G(v)}.</math>
Sind die Bieter risikoneutral, gilt <math>u(v)=v</math> und somit
: <math> \beta '(v)=(v-\beta(v))\cdot\frac{g(v)}{G(v)}.</math>
Hierbei bezeichnet <math>\beta(\cdot)</math> die Gleichgewichtsstrategie für risikoneutrale Bieter. Da <math>u(\cdot)</math> [[Konvexe und konkave Funktionen|streng konkav]] ist und <math>u(0)=0</math>, gilt <math>\frac{u(v)}{u'(v)}>v,\quad\forall v>0</math> und somit
: <math> \gamma '(v)=\frac{u(v-\gamma(v))}{u'(v-\gamma(v))}\cdot\frac{g(v)}{G(v)}>(v-\gamma(v))\cdot\frac{g(v)}{G(v)}.</math>
Falls <math>\beta(v)>\gamma(v)</math> gilt auch <math> \beta '(v)<\gamma '(v)</math>. Da laut Annahme <math>\beta (0)=\gamma (0)=0</math>, folgt nun <math>\forall v>0</math>:
: <math>\gamma (v)>\beta (v).</math>

So kommt es bei [[Risikoaversion|risiko-aversen]] Bietern zu höheren Gleichgewichtsgeboten als bei [[Risikoneutralität|risiko-neutralen Bietern]]. Der risiko-averse Bieter will sich durch ein höheres Gebot gegen die [[Wahrscheinlichkeit]] des Verlierens der Auktion versichern.<ref>Krishna, Vijay: ''Auction Theory.'' 2. Auflage, Academic Press, Amsterdam, Heidelberg u.&nbsp;a., 2010: S. 40</ref>

==== Beispiel: Bieter mit konstanter relativer Risikoaversion und gleichverteilten Bewertungen ====

Die Auszahlung des Bieters <math>i</math> mit Bewertung <math>v_i</math> des zu versteigernden Objektes und Gebot <math>b_i</math> ist nun
:<math> u(b_i,b_{-i},v_i)=\begin{cases} (v_i-b_i)^r & b_i>\max_{j\neq i} b_{j} \\ 0 & b_i<\max_{j\neq i} b_{j}\end{cases}</math>

mit <math>r\in (0,1)</math>.

Weiterhin gilt <math>f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\overline{v}} & x \in [0,\overline{v}] \\ 0 & x \notin[0,\overline{v}]\end{cases}</math> und <math>F(x)=\begin{cases}\frac{1}{\overline{v}}x & x \in [0,\overline{v}] \\ 0 & x \notin[0,\overline{v}]\end{cases}</math> und somit auch
:<math>G(v)=\left[F(v)\right]^{n-1}=\left(\frac{1}{\overline{v}}v\right)^{n-1}.</math>

Maximierung der [[Erwartungswert|erwarteten]] Auszahlung führt zur optimalen Bietstrategie
:<math>\gamma(v)=\frac{n-1}{n+r-1}\cdot v.</math>

Vergleicht man die beiden Fälle der [[Risikoneutralität]] und [[Risikoaversion]] bei [[Gleichverteilung|gleichverteilten]] Bewertungen, so gilt für <math>r\in (0,1)</math>: <math>\gamma(v)>\beta(v)</math>.

=== Verkäufer mit Reservationspreis ===

<div style="border:1px solid; padding: 10px;">

<div align="center">

'''Hat der Verkäufer einen Reservationspreis, also einen Preis, unter diesem er nicht bereit ist, das zu versteigernde Objekt zu verkaufen, so lautet die optimale Bietstrategie eines Bieters, das erwartete Maximum aus Reservationspreis und höchste Bewertung aller anderen Bieter zu bieten, gegeben diese höchste Bewertung ist kleiner als die eigene Bewertung des Bieters.'''

</div>
</div>
Hat der Verkäufer einen [[Reservationspreis]] <math>r>0</math>, so ist der erzielte Preis mindestens <math>r</math>, da kein Bieter <math>i</math> mit Bewertung <math>v_i<r</math> einen positiven Gewinn erzielen kann.<ref name="Krishna_1">Krishna, Vijay: ''Auction Theory.'' 2. Auflage, Academic Press, Amsterdam, Heidelberg u.&nbsp;a., 2010: S. 21</ref> Zudem gilt im symmetrischen [[Perfektes Bayessches Gleichgewicht|Gleichgewicht]] für die Bietstrategie <math>\beta (r)=r</math>, da ein Bieter mit Bewertung <math>r</math> die Auktion nur gewinnt, wenn alle anderen Bieter geringere Gebote als <math>r</math> abgegeben haben und er dann auch mit einem Gebot in Höhe von <math>r</math> die Auktion gewinnt.<ref name="Krishna_1" /> Für die optimale Bietstrategie im Fall <math>v \geq r</math> gilt:

:<math>\beta (v)=E[\max{(Y_1,r)}|Y_1<v]=r\cdot\frac{G(r)}{G(v)}+\frac{1}{G(v)}\int_r^v yg(y)dy.</math>

=== Asymmetrische Bieter ===

<div style="border:1px solid; padding: 10px;">

<div align="center">

'''Bei 2 asymmetrischen Bieter, deren Bewertungen nicht gleich verteilt sind, bietet der Bieter im Gleichgewicht höher, dessen Bewertungen stochastisch niedriger verteilt sind.'''

</div>
</div>Es existieren 2 Bieter mit Bewertungen <math>v_1</math> und <math>v_2</math>, die unabhängig auf <math>[0,\overline{v_1}]</math> bzw. <math>[0,\overline{v_2}]</math> mit [[Verteilungsfunktion]]en <math>F_1(x)</math> bzw. <math>F_2(x)</math> verteilt sind. Die [[Strategie (Spieltheorie)|Strategien]] im [[Perfektes Bayessches Gleichgewicht|Gleichgewicht]] seien <math>\beta_1</math> und <math>\beta_2</math>. Diese Strategien sind [[Monotonie (Mathematik)|monoton wachsend]], [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]] und haben als [[Umkehrfunktion]] <math>\phi_1=\beta_1^{-1}</math> und <math>\phi_2=\beta_2^{-1}</math>. Es gilt wie im symmetrischen Fall <math>\beta_1(0)=\beta_2(0)=0</math> und außerdem <math>\beta_1(\overline{v_1})=\beta_2(\overline{v_2})=\overline{b}</math>, da, wenn beispielsweise <math>\beta_1(\overline{v_1})>\beta_2(\overline{v_2})</math> gelten würde, Bieter 1 die [[Auktion]] mit [[Wahrscheinlichkeit]] 1 gewinnt, falls seine Bewertung <math>\overline{v_1}</math> ist, jedoch gewinnt er trotzdem, wenn er sein Gebot um einen [[Infinitesimalzahl|infinitesimal]] kleinen Betrag <math>\epsilon>0</math> reduzieren würde.<ref>Krishna, Vijay: ''Auction Theory.'' 2. Auflage, Academic Press, Amsterdam, Heidelberg u.&nbsp;a., 2010: S. 46</ref>

Gegeben Spieler <math>j=1,2</math> spielt seine Strategie <math>\beta_j</math>, die [[Erwartungswert|erwartete Auszahlung]] von Spieler <math>i\neq j</math> mit Bewertung <math>v_i</math> und Gebot <math>b<\overline{b}</math> ist
: <math>E[b,b^{\ast}_{-i},v_i]=F_j(\phi_j(b))\cdot(v_i-b).</math>

[[Differentialrechnung|Ableiten]] nach <math>b</math> führt zu

: <math>\frac{\partial E[b,b^{\ast}_{-i},v_i]}{\partial b}=\phi_j'(b)\cdot F_j'(\phi_j(b))(v_i-b)-F_j(\phi_j(b))\overset{!}{=}0.</math>

Im Gleichgewicht gilt <math>v_i=\phi_i(b)</math> und mit <math>F_j'(x)=f_j(x),\quad\forall j=1,2</math>, folgt:

: <math>\phi_j'(b)=\frac{F_j(\phi_j(b))}{f_j(\phi_j(b))\cdot(\phi_i(b)-b)}.</math>

Zu diesem System von [[Differentialgleichung]]en kann man nur für einige Spezialfälle eine explizite Lösung angeben. Gilt aber zum Beispiel, dass die Bewertungen von Bieter 1 [[Stochastische Ordnung|stochastisch höher]] sind als die von Bieter 2, d.&nbsp;h. für <math>\overline{v_1}\geq\overline{v_2}</math> und <math>\forall x\in (0, \overline{v_2})</math> gilt

: <math> \frac{f_1(x)}{F_1(x)}>\frac{f_2(x)}{F_2(x)},</math>

so folgt

: <math>\beta_1(x)<\beta_2(x), \quad \forall x\in (0,\overline{v_2}).</math>

Der "schwache" Bieter 2 bietet aufgrund seiner [[Stochastische Ordnung|stochastisch niedrigeren]] Bewertungen aggressiver gegenüber dem "starken" Bieter 1.<ref>Krishna, Vijay: ''Auction Theory.'' 2. Auflage, Academic Press, Amsterdam, Heidelberg u.&nbsp;a., 2010: S. 47</ref>

=== Abhängige Bewertungen bzw. Versteigerung von Objekten mit allgemeinem Wert ===

<div style="border:1px solid; padding: 10px;">

<div align="center">

'''Bei Versteigerung von Objekten mit allgemeinem Wert unterliegt der Höchstbietende dem Fluch des Gewinners: Er bietet systematisch höher als er müsste um die Auktion zu gewinnen.'''

</div>
</div>
Es existieren <math>n</math> Bieter mit Bewertung <math>v_i</math>. Der wahre Wert des zu versteigernden Objekts sei <math>V</math> mit <math>V</math> [[Gleichverteilung|gleichverteilt]] auf <math>[\underline{V},\overline{V}]</math>. Jeder Bieter <math>i</math> hat eine [[Schätzmethode (Statistik)|Schätzung]] für den wahren Wert <math>v_i=V+\varepsilon_i</math>. Der Wert <math>\varepsilon_i</math> ist die Genauigkeit der Schätzung des Bieters <math>i</math> des wahren Wertes <math>V</math>, wobei die <math>\varepsilon_i</math> unabhängig von <math>V</math> auf <math>[-\varepsilon,\varepsilon]</math> gleichverteilt mit [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Dichtefunktion]] <math>f(\varepsilon)=\frac{1}{2\varepsilon}</math> sind.<ref name="Eichberger_2">Eichberger, Jürgen: ''Grundzüge der Mikroökonomik.'' 2. Auflage, Mohr Siebeck, Tübingen, 2004: S. 302</ref> Die Schätzungen der Bieter sind [[Erwartungstreue|erwartungstreu]], denn es gilt:
:<math>E[v_i]=\frac{1}{2\varepsilon}\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}V+\varepsilon_id\varepsilon_i=V.</math><ref name="Eichberger_2" />

Somit liegen alle Schätzungen der Bieter im Intervall <math>[V-\varepsilon,V+\varepsilon]</math> bzw. weiß Bieter <math>i</math>, dass der wahre Wert im Intervall <math>[v_i-\varepsilon,v_i+\varepsilon]</math> liegt.<ref name="Eichberger_2" />

Maximierung der [[Erwartungswert|erwarteten]] Auszahlung führt zur optimalen Bietstrategie<ref>für eine ausführliche Herleitung, siehe Eichberger, Jürgen: ''Grundzüge der Mikroökonomik.'' 2. Auflage, Mohr Siebeck, Tübingen, 2004: S. 305–311</ref>:
:<math>\beta(v_i)=(v_i-\varepsilon)+\frac{2\varepsilon}{n+1}\cdot\exp\left(-\frac{n}{2\varepsilon}\cdot(\underline{V}+\varepsilon-v_i)\right).</math>

Insbesondere gilt:
:<math>\frac{\partial\beta(v_i)}{\partial n}<0,</math>
:<math>\lim\limits_{n \to \infty}\beta(v_i)=v_i-\varepsilon</math>.

Das optimale Gebot ist der kleinste Wert des Objekts <math>v_i-\varepsilon</math> auf Grund der [[Schätzmethode (Statistik)|Schätzung]] <math>v_i</math> plus ein Zuschlag, der umso geringer ausfällt, umso mehr Bieter sich an der Auktion beteiligen.<ref name="Eichberger_3" />

Der Gewinner der [[Auktion]] unterliegt dem [[Fluch des Gewinners]]: Würde der Bieter nur auf Grund seiner eigenen Schätzung des wahren Wertes, <math>v_i</math>, bieten, so ist das optimale Gebot das gleiche wie im Fall von Objekten mit rein privater Bewertung. Jedoch vernachlässigt diese Schätzung die Information, dass der Gewinner der Auktion die höchste Schätzung hatte, und somit ist das abgegebene Gebot höher als das optimale Gebot.<ref name="Eichberger_3">Eichberger, Jürgen: ''Grundzüge der Mikroökonomik.'' 2. Auflage, Mohr Siebeck, Tübingen, 2004: S. 307–308</ref>

== Vergleich Theorie und Empirie ==

Obwohl die [[Holländische Auktion]] und die Erstpreisauktion bei Auktionen von Objekten mit rein privaten Bewertungen und [[Risikoneutralität|risiko-neutralen]] Bietern strategisch äquivalent sind, ergeben sich bei [[Experiment]]en einige Unterschiede. So sind die erzielten Preise bei einer Erstpreisauktion [[Statistische Signifikanz|signifikant]] höher als bei einer Holländischen Auktion.<ref>Cox, James C., Bruce Roberson, and Vernon L. Smith.''Theory and behavior of single object auctions.'' Research in experimental economics 2.1 (1982): S. 26–27</ref> Eine mögliche Erklärung hierfür ist, dass bei einer Holländischen Auktion der Preis in 50-Cent-Schritten nach unten geht, während bei einer Erstpreisauktion Gebote nicht in 50-Cent-Schritten abgegeben werden müssen.<ref>Coppinger, Vicki M., Vernon L. Smith, and Jon A. Titus. ''INCENTIVES AND BEHAVIOR IN ENGLISH, DUTCH AND SEALED‐BID AUCTIONS.'' Economic Inquiry 18.1 (1980): S. 16–17</ref>

Erhöht sich die Bieteranzahl, so hat sich bei Experimenten gezeigt, dass dann auch die Höhe der abgegebenen Gebote steigt.<ref>Kagel, John H., and Dan Levin. ''Independent private value auctions: Bidder behaviour in first-, second-and third-price auctions with varying numbers of bidders.'' The Economic Journal (1993): S. 874</ref>

Vergleicht man die Englische Auktion, Holländische Auktion, Erst- und [[Zweitpreisauktion]] bezüglich ihrer Effizienz im Sinne von [[Pareto-Optimum|Pareto-Optimalität]], so ist die Englische Auktion am effizientesten, gefolgt von der Zweitpreisauktion, Erstpreisauktion und zum Schluss die Holländische Auktion.<ref name="Coppinger_1">Coppinger, Vicki M., Vernon L. Smith, and Jon A. Titus. ''INCENTIVES AND BEHAVIOR IN ENGLISH, DUTCH AND SEALED‐BID AUCTIONS.'' Economic Inquiry 18.1 (1980): S. 22</ref><ref>Cox, James C., Bruce Roberson, and Vernon L. Smith.''Theory and behavior of single object auctions.'' Research in experimental economics 2.1 (1982): S. 28</ref>

Aus Sicht des Auktionators bzw. Verkäufers ist die Erstpreisauktion am wünschenswertesten, da sie von allen vier Auktionsarten die höchsten Preise erzielt.<ref name="Coppinger_1" />

== Siehe auch ==
* [[Auktionstheorie]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==

* {{Literatur
   |Autor=Vijay Krishna
   |Titel=Auction Theory
   |Auflage=2.
   |Verlag=Academic Press
   |Ort=Amsterdam, Heidelberg u.&nbsp;a.
   |Datum=2010
   |ISBN=978-0-12-374507-1}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Paul Milgrom]]
   |Titel=Putting Auction Theory to Work
   |Auflage=1.
   |Verlag=Cambridge Univ. Press
   |Ort=Cambridge
   |Datum=2004
   |ISBN=0-521-53672-3}}
* {{Literatur
   |Autor=Jürgen Eichberger
   |Titel=Grundzüge der Mikroökonomik
   |Auflage=1.
   |Verlag=Mohr Siebeck
   |Ort=Tübingen
   |Datum=2004
   |ISBN=978-3-16-148167-3}}
* {{Literatur
   |Autor=Paul Klemperer
   |Titel=Auctions: theory and practice
   |Auflage=1.
   |Verlag=Princeton Univ. Press
   |Ort=Princeton u.&nbsp;a.
   |Datum=2004
   |ISBN=978-0-691-11426-2}}
* {{Literatur
   |Autor=John H. Kagel, Alvin E. Roth
   |Titel=The handbook of experimental economics
   |Auflage=1.
   |Verlag=Princeton Univ. Press
   |Ort=Princeton u.&nbsp;a.
   |Datum=1995
   |ISBN=978-0-691-05897-9}}
* Cox, James C., Bruce Roberson, and Vernon L. Smith.''Theory and behavior of single object auctions.'' Research in experimental economics 2.1 (1982)
* Coppinger, Vicki M., Vernon L. Smith, and Jon A. Titus. ''INCENTIVES AND BEHAVIOR IN ENGLISH, DUTCH AND SEALED‐BID AUCTIONS.'' Economic Inquiry 18.1 (1980)
* Kagel, John H., and Dan Levin. ''Independent private value auctions: Bidder behaviour in first-, second-and third-price auctions with varying numbers of bidders.'' The Economic Journal (1993): S. 868–879.
* Kagel, John H., and Dan Levin. ''The winner’s curse and public information in common value auctions.'' The American economic review (1986): S. 894–920.

== Weblinks ==

* [http://www.paulklemperer.org/index.htm Paul Klemperers Website] – u.&nbsp;a. online Version seines Buches "Auctions: Theory and Practice"
* [https://sites.google.com/site/vjkrishna/lectures Vijay Krishna] – Online verfügbare Vorlesungsunterlagen zu Auktionen von Vijay Krishna

[[Kategorie:Spieltheorie]]
[[Kategorie:Auktion]]