Quelltext der Seite Erste Fundamentalform

Die '''erste Fundamentalform''' oder '''metrische Grundform''' ist in der Mathematik eine Funktion aus der Theorie der [[reguläre Fläche|Flächen]] im [[Dimension (Mathematik)|dreidimensionalen]] [[euklidischer Raum|euklidischen Raum]], einem Teilgebiet der klassischen [[Differentialgeometrie]]. Die erste Fundamentalform ermöglicht unter anderem die Behandlung folgender Aufgaben:

* Berechnung der Länge einer Kurve auf der gegebenen Fläche
* Berechnung des Winkels, unter dem sich zwei Kurven auf der gegebenen Fläche schneiden
* Berechnung des Flächeninhalts eines Flächenstücks der gegebenen Fläche

Ferner lassen sich aus den Koeffizienten der ersten Fundamentalform und ihren [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] die [[gaußsche Krümmung]] ([[Formel von Brioschi]]) und die [[Christoffelsymbol]]e zweiter Art bestimmen.

Diejenigen Eigenschaften einer Fläche, die sich mit Hilfe der ersten Fundamentalform untersuchen lassen, fasst man unter der Bezeichnung ''innere Geometrie'' zusammen.

== Definition und Eigenschaften ==

Eine Fläche sei durch eine auf einer offenen Teilmenge  <math>U \subset \R^2</math> definierte Abbildung
:<math>X \colon U  \to \R^3, \quad (u,v) \mapsto X (u,v) </math>
gegeben, also durch <math>u</math> und
<math>v</math> parametrisiert. Für den durch die Parameterwerte <math>u</math> und
<math>v</math> bestimmten Punkt der Fläche sind die ''Koeffizienten der ersten Fundamentalform'' folgendermaßen definiert:

:<math>E(u,v) = X_u (u,v) \cdot X_u (u,v) = |X_u (u,v)|^2</math>
:<math>F(u,v) = X_u (u,v) \cdot X_v (u,v)</math>
:<math>G(u,v) = X_v (u,v) \cdot X_v (u,v) = |X_v (u,v)|^2</math>

Dabei sind die Vektoren
:<math>X_u (u,v) = \frac{\partial X}{\partial u}(u,v) \quad \text{und} \quad
X_v (u,v) = \frac{\partial X}{\partial v}(u,v)</math>
die ersten [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] nach den Parametern <math>u</math> bzw. <math>v</math>.
Die Malpunkte bezeichnen das [[Skalarprodukt]] der [[Vektor]]en.

Zur Vereinfachung lässt man häufig die Argumente weg und schreibt nur <math>E</math>,
<math>F</math> und <math>G</math> für die Koeffizienten.
Die erste Fundamentalform ist dann die [[quadratische Form]]
:<math>I \colon \R^2 \to \R,\ (w_1,w_2) \mapsto E \,w_1^2 + 2 F \,w_1 w_2 + G \,w_2^2</math>,
Gelegentlich wird auch die Schreibweise mit [[Differential (Mathematik)|Differentialen]] verwendet:
:<math>ds^2 = E \, du^2 + 2 F \, du \, dv + G \, dv^2</math>

Eine weitere (modernere) Schreibweise ist:
:<math>g_{11} = E; \quad g_{12} = g_{21} = F; \quad g_{22} = G</math>
Setzt man <math>X_1 = X_u</math> und <math>X_2 = X_v</math>, so gilt
:<math>g_{ij} = X_i \cdot X_j</math> für <math>i,j = 1, 2</math>.

Die Zahlen <math>g_{ij}</math> sind die Koeffizienten des kovarianten
[[Metrischer Tensor|metrischen Tensors]] (d.&nbsp;h. der [[Gramsche Matrix|Gram’schen Matrix]] der Basis {<math>X_i|\forall i</math>} aller vorgenannten Richtungsvektoren).
Dieser hat also die Matrixdarstellung
:<math>(g_{ij}) = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}</math>.
Oft bezeichnet man auch diesen [[Tensor]], also die durch diese [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] dargestellte [[Bilinearform]], als erste Fundamentalform <math>g</math>

Für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform gilt:

:<math>E \ge 0; \quad G \ge 0; \quad EG-F^2 \ge 0</math>.
Dabei ist  <math>EG-F^2</math> die ''Diskriminante'' (also die [[Determinante]] der Darstellungsmatrix) der ersten Fundamentalform.
Gilt darüber hinaus <math>EG-F^2> 0</math>, so folgt daraus auch <math>E>0</math> und <math>G>0</math> und die erste Fundamentalform ist [[positiv definit]].
Dies ist genau dann der Fall, wenn <math>X_u</math> und <math>X_v</math> linear unabhängig sind.
Eine Fläche mit positiv definiter erster Fundamentalform heißt ''differentialgeometrisch regulär'' oder ''differentialgeometrisch regulär parametrisiert''.

== Geschichte ==
Im Jahr 1860 stellte die [[Académie des sciences]] die Preisaufgabe, Methoden zu finden, mit denen man aus einer gegebenen Fläche weitere darauf [[abwickelbare Fläche]]n erzeugen kann. Den zweiten Preis erhielt [[Delfino Codazzi]] für die Aufstellung der Bedingungen, die zwei vorgegebene quadratische Formen erfüllen müssen, um erste und [[zweite Fundamentalform]] einer Fläche zu sein. [[Gaspare Mainardi]] wies danach darauf hin, dass er diese Gleichungen bereits 1857 in einer italienischen Zeitschrift veröffentlicht hatte. Heute werden diese [[Mainardi-Codazzi-Gleichungen]] genannt. Später wurde bekannt, dass diese bereits 1825 in einem unvollendeten Manuskript aus Gauß’ Nachlass publiziert wurden. Außerdem wurden diese Gleichungen auch schon 1853 von [[Karl Peterson]] in seiner Dissertation in [[Dorpat]] veröffentlicht.<ref>Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: ''5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer).'' Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3, S.&nbsp;416.</ref>

== Länge einer Flächenkurve ==

Eine Kurve auf der gegebenen Fläche lässt sich ausdrücken durch zwei reelle Funktionen
<math>\varphi_1</math> und <math>\varphi_2</math>: Jedem möglichen Wert des Parameters
<math>t</math> wird der auf der Fläche gelegene Punkt
<math>X(\varphi_1(t),\varphi_2(t))</math> zugeordnet. Sind alle beteiligten
Funktionen stetig differenzierbar, so gilt für die Länge des durch <math>t \in [a,b]</math>
festgelegten Kurvenstücks:

:<math>l = \int\limits_a^b \sqrt{I(\dot\varphi_1(t), \dot\varphi_2(t))} \, dt
= \int\limits_a^b \sqrt{E \cdot (\dot\varphi_1(t))^2
+ 2 F \cdot \dot\varphi_1(t) \dot\varphi_2(t)
+ G \cdot (\dot\varphi_2(t))^2} \, dt</math>

Mit Hilfe des Wegelements <math>ds = \sqrt{ds^2}</math> ausgedrückt:
:<math>l = \int _{\varphi} ds</math>

== Inhalt eines Flächenstücks ==

Der Inhalt eines durch einen Parameterbereich <math>B</math> gegebenen Flächenstücks lässt sich berechnen durch

:<math>A = \int\limits_B \sqrt{EG-F^2} \, d(u,v)</math>.

== Beispiel Kugeloberfläche ==

Die Oberfläche einer [[Kugel]] mit Radius <math>r</math> lässt sich in [[Sphärisches Koordinatensystem|sphärischen Koordinaten]] parametrisieren durch

:<math>X(u,v) = \begin{pmatrix}r \sin u \cos v\\r \sin u \sin v\\r \cos u\end{pmatrix}</math>.

Für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform ergibt sich:

:<math>E = X_u (u,v) \cdot X_u (u,v)
= \begin{pmatrix}r \cos u \cos v\\r \cos u \sin v\\-r \sin u\end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}r \cos u \cos v\\r \cos u \sin v\\-r \sin u\end{pmatrix} = r^2</math>

:<math>F = X_u (u,v) \cdot X_v (u,v)
= \begin{pmatrix}r \cos u \cos v\\r \cos u \sin v\\-r \sin u\end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}-r \sin u \sin v\\r \sin u \cos v\\0\end{pmatrix} = 0</math>

:<math>G = X_v (u,v) \cdot X_v (u,v)
= \begin{pmatrix}-r \sin u \sin v\\r \sin u \cos v\\0\end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}-r \sin u \sin v\\r \sin u \cos v\\0\end{pmatrix} = r^2 \sin^2 u</math>

Die erste Fundamentalform ist demnach

:<math>ds^2 = r^2 \, du^2 + r^2 \sin^2(u)  \, dv ^2</math>.

== Spezialfall Graph einer Funktion ==
Ist die betrachtete Fläche der Graph einer Funktion <math>f</math> über dem Parameterbereich <math>U</math>, also <math>X(u,v) = (u,v,f(u,v))</math> für alle <math>(u,v) \in U</math>, so gilt:<ref>{{Internetquelle |autor=A. Hartmann |url=http://www.uni-math.gwdg.de/pape/1.pdf#page=6 |titel=Flächen, Gauß-Krümmung, erste und zweite Fundamentalform, theorema egregium |format=PDF; 1,1&nbsp;MB |titelerg=Seite 6, Beweis zu Satz 3.4 |werk=uni-math.gwdg.de |datum=2011-04-12 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20170517071625/http://www.uni-math.gwdg.de/pape/1.pdf#page=6|archiv-datum=2017-05-17 |offline=ja |abruf=2024-04-07}}</ref>
:<math>X_u(u,v) = (1,0,f_u), \quad X_v(u,v) = (0,1,f_v)</math>
und damit
:<math>E = 1 + f_u^2, \quad F = f_u f_v, \quad G = 1 + f_v^2</math>
und
:<math>EG-F^2 = (1 + f_u^2)\,(1 + f_v^2)-(f_u f_v)^2 = 1 + f_u^2 + f_v^2</math>.
Hierbei bezeichnen <math>f_u</math> und <math>f_v</math> die partiellen Ableitungen von <math>f</math> nach <math>u</math> bzw. <math>v</math>.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* Manfredo Perdigão do Carmo: ''Differential Geometry of Curves and Surfaces.'' Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.

[[Kategorie:Elementare Differentialgeometrie]]