Quelltext der Seite Epimorphismus

'''Epimorphismus''' (von {{grcS|ἐπί|epi|prefix=nein}} „auf“ und {{lang|grc|μορφή|morphē}} „Gestalt, Form“) ist ein Begriff aus den [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebieten der [[Algebra]] und der [[Kategorientheorie]]. In der [[Universelle Algebra|universellen Algebra]] bezeichnet er einen [[Homomorphismus]], der [[surjektiv]] ist. In der Kategorientheorie ist ''Epimorphismus'' der duale Begriff zu ''[[Monomorphismus]]'' und verallgemeinert den (mengentheoretischen) Begriff der surjektiven [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]].

Äquivalent sind die beiden Begriffe zumindest in den folgenden Fällen:
* [[Vektorraum|Vektorräume]] oder allgemeiner [[Modul (Mathematik)|Moduln]]
* ([[Abelsche Gruppe|abelsche]]) [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]]

== Epimorphismus in der Kategorientheorie ==
=== Definition ===
In der [[Kategorientheorie]] ist ein ''Epimorphismus'' ein [[Morphismus]] <math>f\colon X \to Y </math> mit folgender Eigenschaft:
:Sind <math>g,h\colon Y \to Z</math> beliebige Morphismen mit <math>g\circ f=h\circ f</math>, dann ist stets <math>g=h</math>. (Man sagt auch: <math>f</math> ist „rechts[[kürzbar]]“.)<ref>{{Literatur |Autor=Steve Awodey |Titel=Category theory |Verlag=Clarendon Press |Ort=Oxford |Datum=2010 |ISBN=978-0-19-923718-0 |Seiten=25}}</ref>
<math>Y</math> (zusammen mit <math>f</math>) heißt dann ein ''Quotientenobjekt'' von <math>X</math>.

In den Pfeildiagrammen der [[Homologische Algebra|homologischen Algebra]] wird ein Epimorphismus <math>f</math> als kurze [[exakte Sequenz]]
:<math>X \; \overset{f}{\longrightarrow} \; Y \longrightarrow 0</math>
oder unter Verwendung eines Zweispitzenpfeils mit zwei Termen als
:<math>X \;\overset{f}{\twoheadrightarrow} \; Y</math>
notiert.

=== Spezielle Epimorphismen ===
{{Hauptartikel|Extremer Monomorphismus und Epimorphismus}}
Ein Epimorphismus <math>f</math> heißt ''extremal'', wenn er Epimorphismus ist und zusätzlich folgende Extremaleigenschaft erfüllt:
:Ist <math>f=m\circ g</math>, wobei <math>m</math> ein Monomorphismus ist, dann muss <math>m</math> ein [[Isomorphismus (Kategorientheorie)|Isomorphismus]] sein.

=== Beispiele ===

Epimorphismen von [[Vektorraum|Vektorräumen]] oder allgemein [[Modul (Mathematik)|Moduln]] sowie ([[Abelsche Gruppe|abelschen]]) [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] sind genau die surjektiven Homomorphismen.

Epimorphismen von Ringen sind im Allgemeinen nicht surjektiv, siehe unten.

In den Kategorien <math>\mathbf{Set}</math>, <math>\mathbf{Grp}</math> sind die Epimorphismen genau die extremalen Epimorphismen, und zwar die surjektiven Morphismen.

In der Kategorie der topologischen Räume sind die Epimorphismen die surjektiven stetigen Abbildungen und die extremalen Epimorphismen die [[Quotiententopologie|Quotientenabbildungen]].

In der Kategorie <math>\mathbf{Top}_2</math> der [[Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räume]] sind die extremalen Epimorphismen die gleichen wie in <math>\mathbf{Top}</math>, jedoch ''die Epimorphismen sind die stetigen Abbildungen mit [[Dichte Teilmenge|dichtem]] Bild''. Diese Tatsache wird häufig ausgenutzt bei so genannten „Dichteschlüssen“: Um zu zeigen, dass zwei stetige Funktionen mit gemeinsamen Definitionsbereich <math>\mathrm{dom}</math> (ein Hausdorff-Raum) gleich sind, genügt es zu zeigen, dass sie auf einer dichten Teilmenge <math>D</math> des Definitionsbereichs übereinstimmen. Die [[Inklusionsabbildung]] <math>D\to\mathrm{dom}</math> ist ein Epimorphismus, woraus die Gleichheit auf dem gesamten Definitionsbereich folgt.

In der Kategorie <math>\mathbf{BanSp}_1</math> sind die Epimorphismen die linearen stetigen Abbildungen mit dichtem Bild ([[Banachraum|Banachräume]] sind Hausdorffsch) und die extremalen Epimorphismen sind die surjektiven stetigen linearen Abbildungen.

== Epimorphismus in der universellen Algebra ==

In der [[Universelle Algebra|universellen Algebra]] ist ein Epimorphismus definiert als [[Surjektivität|surjektiver]] [[Homomorphismus]].

=== Beispiele ===

Ist <math>f\colon A\to B</math> ein Homomorphismus, so ist <math>f'\colon A\to\mathrm{im}\,f, a \mapsto f(a)</math>
surjektiv, also ein Epimorphismus.

Zu jedem [[Normalteiler]] <math>N</math> einer Gruppe <math>G</math> gibt es einen ''kanonischen Epimorphismus'' <math>p \colon G \to G/N</math>, der ein Element <math>g</math> von <math>G</math> auf seine Restklasse <math>gN</math> abbildet.

Bekannteste Beispiele für kanonische Epimorphismen sind die Abbildungen, die einer [[Ganze Zahl|ganzen Zahl]] ihren [[Division mit Rest|Rest bei Division]] durch eine natürliche Zahl <math>m</math> zuordnen, wobei dieser Rest als Element des [[Restklassenring]]es <math>\Z / m\Z</math> aufgefasst wird.

Die [[Parallelprojektion]] ist in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] ein [[Vektorraum-Homomorphismus]], der einen Vektorraum surjektiv auf einen [[Untervektorraum]] abbildet.

== Nicht-surjektive Monoid-Epimorphismen ==
Betrachtet sei der Einbettungs-Morphismus <math>i</math> der natürlichen Zahlen <math>\N_0</math> einschließlich der Null in die ganzen Zahlen <math>\Z</math> (beide sind [[Monoid]]e mit der Addition <math>+</math> als Verknüpfung und <math>0</math> als neutralem Element):
:<math>i \colon \quad \N_0 \to \Z, \quad n \mapsto n</math>.
Er ist nicht surjektiv und somit kein Epimorphismus im Sinne der universellen Algebra. Er ist jedoch ein Epimorphismus in der Kategorie der Monoide.

''Beweis:''
Es sei <math>M</math> ein Monoid mit der Operation <math>+_{_{\!M}}</math> und dem neutralen Element <math>0_{_M}</math>. Weiter seien <math>g , h \colon \, \Z \to M</math> zwei ansonsten beliebige Monoid-Homomorphismen mit <math>g\circ i = h\circ i .</math>
Zu zeigen ist, dass <math>g = h</math> auf ganz <math>\Z .</math>

Da <math>i</math> eingeschränkt auf die nicht-negativen ganzen Zahlen umkehrbar (und die [[Identische Abbildung|Identität]]) ist, stimmen dort <math>g</math> und <math>h</math> überein.
Dass sie auch auf den negativen Zahlen übereinstimmen, zeigt folgende Gleichungskette, die für ein beliebiges negatives <math>z \in \Z</math> gilt
(dabei sei <math>\bar z := -z</math> eine Notation für die additive Inverse von <math>z ,</math> so dass <math>\bar z </math> dann positiv ist):
:{|
|-
|<math>g(z)</math>||<math>=</math>||<math>g(z) +_{_{\!M}} 0_{_M}</math>||Definition der <math>0_{_M} \in M</math>
|-
| ||<math>=</math>||<math>g(z) +_{_{\!M}} h(0) </math>||<math>h</math> ist Monoid-Homomorphismus
|-
| ||<math>=</math>||<math>g(z) +_{_{\!M}} h(\bar z + z) </math>||Eigenschaft in <math>\Z</math>
|-
| ||<math>=</math>||<math>g(z) +_{_{\!M}} h(\bar z) +_{_{\!M}} h(z) </math>||<math>h</math> ist Monoid-Homomorphismus
|-
| ||<math>=</math>||<math>g(z) +_{_{\!M}} g(\bar z) +_{_{\!M}} h(z) </math> &nbsp;  &nbsp; ||<math>g,h</math>  stimmen auf den positiven Zahlen überein
|-
| ||<math>=</math>||<math>g(z + \bar z) +_{_{\!M}} h(z)</math>||<math>g</math> ist Monoid-Homomorphismus
|-
| ||<math>=</math>||<math>g(0) +_{_{\!M}} h(z)</math>||Eigenschaft in <math>\Z</math>
|-
| ||<math>=</math>||<math>0_{_M} +_{_{\!M}} h(z)</math>||<math>g</math>  ist Monoid-Homomorphismus
|-
| ||<math>=</math>||<math>h(z)</math>||Definition der <math>0_{_M} \in M </math>
|}
Damit ist <math>g = h</math> auf dem ganzen Definitionsbereich <math>\Z</math>, also <math>i</math> ein Epimorphismus. &nbsp;  &nbsp;  <math>\square</math>

Übrigens gilt schon die wesentlich stärkere Aussage:<br />Stimmen zwei Monoid-Homomorphismen <math>g , h \colon \, \Z \to M</math> auf zwei konsekutiven Zahlen überein, dann stimmen sie überhaupt überein.

== Siehe auch ==
* [[Monomorphismus]]
* [[Isomorphismus]]
* [[Homomorphiesatz]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Kategorientheorie}}

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Morphismus]]