Quelltext der Seite Endliche einfache Gruppe

'''Endliche einfache Gruppen''' gelten in der [[Gruppentheorie]] (einem Teilgebiet der [[Mathematik]]) als die Bausteine der [[endliche Gruppe|endlichen Gruppen]].

Die endlichen einfachen Gruppen spielen für die endlichen Gruppen eine ''ähnliche'' Rolle wie die [[Primzahl]]en für die [[natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]]: Jede endliche Gruppe lässt sich in ihre einfachen Gruppen „zerteilen“ (für die Art der Eindeutigkeit siehe den [[Satz von Jordan-Hölder]]). Die Rekonstruktion einer endlichen Gruppe aus diesen ihren „Faktoren“ ist aber nicht eindeutig. Es gibt jedoch keine „noch einfacheren Gruppen“, aus denen sich die endlichen einfachen Gruppen konstruieren lassen.

== Definition ==
Eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>G</math> heißt '''einfach''', wenn sie nur <math>\left\{1\right\}</math> und sich selbst als [[Normalteiler]] besitzt. Hierbei bezeichnet <math>1</math> das neutrale Element der Gruppe. Oft wird zusätzlich <math>G\neq\left\{1\right\}</math> gefordert.

Da die Normalteiler einer Gruppe genau die Untergruppen sind, die als [[Kern (Algebra)|Kern]] eines [[Gruppenhomomorphismus]] auftreten, ist eine Gruppe <math>G</math> genau dann einfach, wenn jedes homomorphe Bild von <math>G</math> [[Gruppenisomorphismus|isomorph]] zu <math>G</math> oder zu <math>\left\{1\right\}</math> ist. Eine weitere äquivalente Definition ist: Eine Gruppe ist genau dann einfach, wenn die Operation der Gruppe auf sich selbst [[Gruppenoperation#Moduln und Vektorräume|als Gruppe]] mittels [[Konjugation (Gruppentheorie)|Konjugation]] irreduzibel ist (das heißt, die einzigen unter dieser Operation invarianten Untergruppen sind <math>\left\{1\right\}</math> und {{nowrap|<math>G</math>).<ref>[[Michael Aschbacher]]: ''Finite group theory'', Cambridge University Press, 1986, ISBN 0-521-45826-9, S. 9&nbsp;ff. (englisch; [http://media.obvsg.at/AC00871714-1001 Inhaltsverzeichnis], [[PDF]]-Datei, 75,4 kB; [http://www.zentralblatt-math.org/zbmath/search/?q=an:0583.20001 Zentralblatt-Rezension])</ref>}}

== Klassifikation ==

Seit 1962 ist bekannt, dass alle nicht-abelschen endlichen einfachen Gruppen eine gerade Ordnung haben müssen, denn der [[Satz von Feit-Thompson]] besagt, dass Gruppen ungerader Ordnung sogar [[Auflösbare Gruppe|auflösbar]] sind. Bis zur vollständigen Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen, das heißt bis zur Aufzählung sämtlicher endlicher einfacher Gruppen bis auf Isomorphie, war es aber noch ein weiter Weg.

Anfang der 1980er Jahre verkündeten die Leiter des Klassifikationsprogramms einen vorläufigen Abschluss, größere Lücken mussten aber auch danach noch geschlossen werden und nicht alle Schritte waren veröffentlicht worden. Es wurde ein neues Programm aufgelegt, um die Klassifikation zu vereinfachen und lückenlos zu dokumentieren. Die endlichen einfachen Gruppen lassen sich einteilen in
* [[zyklische Gruppe]]n von Primzahlordnung,
* [[alternierende Gruppe]]n <math>A_n</math> mit <math>n > 4</math>,
* [[Gruppe vom Lie-Typ|Gruppen vom Lie-Typ]] über einem [[endlicher Körper|endlichen Körper]]<!--Eine Lie-Gruppe ist eine Gruppe vom Lie-Typ, aber nicht umgekehrt!--> (16 jeweils unendliche Familien),
* 26 [[sporadische Gruppe]]n.

== Zum Beweis des Klassifikationssatzes ==

Die Herleitung des Satzes war eines der umfangreichsten Projekte der Mathematikgeschichte:
* Der Beweis verteilt sich auf über 500 Fachartikel mit zusammen fast 15.000 gedruckten Seiten. Es sind aber nicht alle Beweise auch publiziert worden.
* Über 100 Mathematiker waren von Ende der 1920er bis Anfang der 1980er Jahre daran beteiligt.
Da Teile des Beweises nur mit Hilfe von Computern geführt werden konnten, wird er jedoch nicht von allen Mathematikern anerkannt. Nach der „Fertigstellung“ des Beweises um 1980 ist von führenden Mathematikern des Klassifikationsprogramms wie [[Michael Aschbacher]] und [[Daniel Gorenstein]] ein Programm aufgenommen worden, den Beweis zu vereinfachen und lückenlos zu dokumentieren. Dabei sind auch Lücken entdeckt worden, von denen die meisten ohne größere Komplikationen geschlossen werden konnten. Eine Lücke erwies sich allerdings als so hartnäckig, dass erst 2002 von Aschbacher und anderen ein Beweis erbracht werden konnte, der immerhin 1200 Seiten lang war<ref>Aschbacher, Smith: ''The classification of quasithin groups'', AMS</ref> – ein Grund war allerdings, dass sich die Autoren bemühten, möglichst ohne Verweise auszukommen.

[[Derek John Scott Robinson]] drückte sich 1996 in seinem Lehrbuch zur Gruppentheorie etwas vorsichtiger aus. Er schrieb, es werde allgemein geglaubt, dass die angegebene Klassifikation vollständig ist, aber ein vollständiger Beweis sei noch nicht niedergeschrieben.<ref>D.J.S. Robinson: ''A Course in the Theory of Groups'', Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Seite 79: ''More Simple Groups''</ref>

[[Ronald Solomon]], [[Richard Lyons (Mathematiker)|Richard Lyons]] und Daniel Gorenstein<ref>Ronald Solomon: ''The Classification of finite simple groups: A progress report'', Notices AMS, Juni/Juli 2018, [https://www.ams.org/cgi-bin/notices/nxg-issue?year=2018&issue=06 Online]</ref> begannen 1994 eine auf zwölf Bände angelegte Darstellung des Beweises (GLS-Projekt), das bei der [[American Mathematical Society]] erscheint und 2024 noch im Gange ist.<ref>Solomon, Notices AMS, Juni/Juli 2018. Band&nbsp;10 erschien 2023. An dem Projekt sind auch andere Mathematiker wie [[Gernot Stroth]], [[Richard Foote]] und Inna Capdeboscq beteiligt.</ref>

== Familien endlicher einfacher Gruppen ==
Die 16 Familien von Gruppen vom Lie-Typ ergeben zusammen mit den zyklischen Gruppen von Primzahlordnung und den alternierenden Gruppen die 18 (unendlichen) Familien des Klassifikationssatzes.

=== Zyklische Gruppen mit Primzahlordnung ===
Die [[Zyklische Gruppe|zyklischen Gruppen]] <math>C_p</math> mit <math>p = 2, 3, 5, 7, 11, \dots</math> bilden eine Familie einfacher Gruppen.

Bei den endlichen einfachen Gruppen fallen die Eigenschaften zyklisch und [[kommutativ]] zusammen, denn jede zyklische Gruppe ist kommutativ und jede endliche einfache kommutative Gruppe ist zyklisch.

Bei den endlichen einfachen Gruppen fallen die Eigenschaften zyklisch und ungerade Ordnung ''beinahe'' zusammen:
* Jede endliche einfache zyklische Gruppe außer <math>C_2</math> besitzt eine ungerade Anzahl von Elementen.
* Jede endliche einfache Gruppe mit ungerader Ordnung ist zyklisch.

=== Alternierende Permutationsgruppen ===
Die [[Alternierende Gruppe|alternierenden Permutationsgruppen]] <math>A_n</math> mit <math>n>4</math> bilden eine Familie einfacher Gruppen. Die Gruppe [[A5 (Gruppe)|A<sub>5</sub>]] hat 60 Elemente und ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe.

=== Gruppen vom Lie-Typ ===
Auf Basis der [[Halbeinfache Lie-Algebra|Klassifikation der einfachen komplexen Lie-Algebren]] lassen sich 16 Familien einfacher Gruppen konstruieren, die nach den entsprechenden Typen der Lie-Algebren benannt sind. Diese sind
:<math>A_n(q)</math>, <math>B_n(q)</math>, <math>C_n(q)</math>, <math>D_n(q)</math>, <math>E_6(q)</math>, <math>E_7(q)</math>, <math>E_8(q)</math>, <math>F_4(q)</math>, <math>G_2(q)</math>,<br/> <math>{}^2A_n\!\left(q^2\right)</math>, <math>{}^2B_2\!\left(2^{2m+1}\right)</math>, <math>{}^2D_n\!\left(q^2\right)</math>, <math>{}^3D_4\!\left(q^3\right)</math>, <math>{}^2E_6\!\left(q^2\right)</math>, <math>{}^2F_4\!\left(2^{2m+1}\right)</math>, <math>{}^2G_2\!\left(3^{2m+1}\right)</math>.
Für nähere Einzelheiten siehe [[Gruppe vom Lie-Typ]]. Die Gruppen <math>A_n(q)</math> stimmen mit den [[Projektive lineare Gruppe|speziellen projektiven linearen Gruppen]] <math>\operatorname{PSL}_n(q)</math> überein, die mit Ausnahme von <math>\operatorname{PSL}_2(2)</math> und <math>\operatorname{PSL}_2(3)</math> einfach sind.

Da die Mitglieder der Familie <math>{}^2\!F_4\!\left(2^{2m+1}\right)</math>, der [[Gruppe vom Lie-Typ#Tabellarische Übersicht|Ree-Gruppen vom Typ <sup>2</sup>F<sub>4</sub>]], für <math>m \ge 1</math> einfach sind, stimmen sie mit ihren [[Kommutatorgruppe]]n <math>{}^2\!F_4\!\left(2^{2m+1}\right)'</math> überein. Für <math>m=0</math> ist die Gruppe <math>{}^2\!F_4(2)</math> zwar nicht einfach, aber ihre Kommutatorgruppe {{nowrap|<math>{}^2\!F_4(2)'</math>,}} die [[Tits-Gruppe]], ist einfach. Betrachtet man nun die (leicht geänderte) Familie <math>{}^2\!F_4\!\left(2^{2m+1}\right)'</math> von Kommutatorgruppen als eine eigenständige unendliche Familie, dann sind ihre Mitglieder alle einfach und die Tits-Gruppe als eines ihrer Mitglieder nicht sporadisch, und das, obwohl die Mitglieder (wegen der Ausnahme Tits-Gruppe) nicht alle vom Lie-Typ sind.

== Sporadische Gruppen ==
Eine endliche einfache Gruppe wird ''sporadisch'' genannt, wenn sie zu keiner Familie mit unendlich vielen Mitgliedern gehört.

Die ersten 5 der insgesamt 26 [[sporadische Gruppe|sporadischen Gruppen]] (siehe dort zu einer tabellarischen Übersicht) wurden von [[Emile Leonard Mathieu|Émile Mathieu]] bereits in den Jahren 1862 und 1873 entdeckt.

Die 21 „jüngeren“ Gruppen wurden ab 1964 gefunden; meist erfolgte die Entdeckung im Rahmen der Beweissuche zum Klassifikationssatz. Da diese Gruppen zum Teil recht groß sind, vergingen zwischen ihrer gruppentheoretischen Entdeckung und dem praktischen Beweis ihrer Existenz oft mehrere Jahre. Die größte aller 26 sporadischen Gruppen, die sogenannte [[Monstergruppe]] <math>F_1</math> mit rund <math>8\times10^{53}</math>&nbsp;Elementen, wurde bereits 1973 von [[Bernd Fischer (Mathematiker)|Bernd Fischer]] und [[Robert Griess (Mathematiker)|Robert Griess]] entdeckt, ihre endgültige Konstruktion gelang Griess jedoch erst 1980.

{{Anker|Tits}}Von einigen Autoren wird auch die Tits-Gruppe {{nowrap|<math>{}^2\!F_4\!(2)'</math>}} mit <math>17971200 = 2^{11}\cdot3^{3}\cdot5^{2}\cdot13</math> Elementen zu den sporadischen Gruppen gezählt, womit sich eine Gesamtzahl von 27 ergäbe. Sie gehört aber (mit <math>m=0</math>) zur unendlichen Familie der {{nowrap|<math>{}^2\!F_4\!\left(2^{2m+1}\right)'</math>-Gruppen}} von Kommutatorgruppen der {{nowrap|<math>{}^2\!F_4\!\left(2^{2m+1}\right)</math>-Gruppen}} (die für <math>m>0</math> als einfache nicht-abelsche Gruppen mit ihrer [[Kommutatorgruppe]] übereinstimmen) und ist somit nicht als sporadisch anzusehen.

== Weblinks und Literatur ==
* Dieter Held: [http://www.staff.uni-mainz.de/leinen/AG%20Gruppentheorie/Held/klassifi.pdf ''Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen'' (PDF, 131&nbsp;kB)]
* Gerhard Hiß: [http://www.math.rwth-aachen.de/homes/Gerhard.Hiss/Preprints/giessen.ps ''Die sporadischen Gruppen'' (PostScript, 460&nbsp;kB)]
* [http://mathworld.wolfram.com/ClassificationTheoremofFiniteGroups.html Classification Theorem of Finite Groups] bei Mathworld
* Michael Aschbacher: [http://www.ams.org/notices/200407/200407-toc.html ''The Status of the classification of the finite simple groups''. Notices AMS 2004, PDF, englisch]
* Daniel Gorenstein: ''Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen''. In…
** der Zeitschrift ''Spektrum der Wissenschaft'', Februar 1986.
** und dem Sammelband ''Moderne Mathematik'', Heidelberg 1996, ISBN 3-8274-0025-2.
* Daniel Gorenstein ''Finite Simple Groups'', Plenum Press 1982
* Ronald Solomon: [http://www.ams.org/bull/2001-38-03/S0273-0979-01-00909-0/S0273-0979-01-00909-0.pdf ''A brief history of the classification of finite simple groups''. BAMS, Bd.&nbsp;38, 2001, Heft&nbsp;3, PDF]
* Mark Ronan: ''Symmetry and the Monster''. Oxford University Press 2006 (populärwissenschaftlich)
* [[Bernd Stellmacher]], Hans Kurzweil: ''Theorie der endlichen Gruppen – eine Einführung''. Springer 1998, ISBN 354060331X.

GLS-Projekt Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon: ''The classification of the finite simple groups'', AMS, Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 40.<ref>[https://www.ams.org/publications/authors/books/postpub/surv-40 AMS]</ref>, Band 1, 1994, Band 2, 1995, Band 3, 1997, Band 4, 1999 (Part II, Chapters 1–4: Uniqueness Theorems), Band 5, 2002, Band 6, 2004 (Part IV: The special odd case), Band 7, 2018 (Part III, Chapters 7–11: The Generic Case, Stages 3b and 4a), Band 8, 2018 (Part III, Chapters 12–17: The Generic Case, Completed), Band 9, 2021 (Part V, Chapters 1–8: Theorem C<sub>5</sub> and Theorem C<sub>6</sub>, Stage 1), Band&nbsp;10, 2023 (Part&nbsp;V, Chapters 9–17: Theorem&nbsp;C<sub>6</sub> and Theorem&nbsp;C<sub>4</sub>*, Case&nbsp;A)

== Quellen ==
<references/>

== Siehe auch ==
* [[Liste kleiner Gruppen]]

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