Quelltext der Seite Einbettungssatz von Mitchell

Der '''Einbettungssatz von Mitchell''' ist ein mathematisches Resultat über [[abelsche Kategorie]]n.
Es sagt aus, dass diese zunächst sehr abstrakt definierten Kategorien sich durchaus als [[konkrete Kategorie]]n von [[Modul (Mathematik)|Moduln]] auffassen lassen.
Als Folge hiervon darf etwa das Beweisverfahren durch elementweise [[Diagrammjagd]] in beliebigen abelschen Kategorien verwendet werden. Der Satz ist nach [[Barry Mitchell (Mathematiker)|Barry Mitchell]] benannt.

== Aussage des Satzes ==
Die genaue Aussage lautet: Sei <math>\mathbf A</math> eine kleine abelsche Kategorie. Dann gibt es einen [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>R</math> und einen [[Volltreuer Funktor|voll treuen]] und [[Exakter Funktor|exakten Funktor]] <math>F\colon\mathbf A\to R\mbox{-}Mod</math> von <math>\mathbf A</math> in die Kategorie <math>R\mbox{-}Mod</math> der Links-Moduln über <math>R</math>.

Der Funktor <math>F</math> induziert eine [[Äquivalenz von Kategorien|Äquivalenz]] zwischen <math>\mathbf A</math> und einer [[Unterkategorie]] von <math>R\mbox{-}Mod</math>. In <math>\mathbf A</math> berechnete [[Kern (Algebra)|Kerne]] und [[Kokern]]e entsprechen über diese Äquivalenz den gewöhnlichen Kernen und Kokernen in <math>R\mbox{-}Mod</math>.

== Beweisidee ==
Die Beweisidee orientiert sich am [[Yoneda-Lemma]].
Angenommen <math>\mathbf A</math> läge bereits in <math>R\mbox{-}Mod</math>.
Dann liefert jedes Objekt <math>X</math> einen [[Linksexakter Funktor|linksexakten Funktor]] <math>\mathrm{Hom}_\mathbf A(X,-):\mathbf A\to\mathbf {Ab}</math>.
Die Zuordnung <math>X\to \mathrm{Hom}_\mathbf A(X,-)</math> liefert dann eine [[Dualität (Mathematik)|Dualität]] zwischen <math>R\mbox{-}Mod</math> und der Kategorie der linksexakten Funktoren von <math>\mathbf A</math> nach <math>\mathbf {Ab}</math>.
Um <math>R</math> aus <math>\mathbf A</math> zurückzugewinnen, geht man daher wie folgt vor:
In der Kategorie <math>{\mathbf D}</math> der linksexakten Funktoren von <math>\mathbf A</math> nach <math>\mathbf {Ab}</math> konstruiert man einen gewissen injektiven [[Kogenerator]] <math>H</math>, dessen Endomorphismenring man als <math>R</math> wählt.
Indem man für <math>X</math> in <math>\mathbf A</math> jeweils <math>F(X)=\mathrm{Hom}_{\mathbf D}(\mathrm{Hom}_\mathbf A(X,-),H)</math> setzt, erhält
man dann einen Funktor <math>F</math> mit den gewünschten Eigenschaften.

== Anwendung auf große Kategorien ==
Unmittelbar scheint der Einbettungssatz von Mitchell das Verfahren der Diagrammjagd nur für alle kleinen abelschen Kategorien
zu rechtfertigen.
Ist jedoch ein Diagramm zu einer beliebigen abelschen Kategorie <math>\mathbf A</math> gegeben, so betrachte man die kleinste abelsche volle Unterkategorie <math>{\mathbf B}</math> von <math>\mathbf A</math>, die alle im Diagramm auftretenden Objekte enthält. Dies ist eine kleine abelsche Kategorie.
Anschaulich formuliert nimmt man die Menge(!) der im Diagramm verwendeten Objekte als Objekte von <math>\mathbf A</math> und fügt dann wiederholt noch fehlende [[Kern (Algebra)|Kerne]] und [[Kokern]]e von Morphismen sowie [[Produkt (Kategorientheorie)|Biprodukte]] von Objekten hinzu.

== Literatur ==
* {{Internetquelle |url=http://planetmath.org/encyclopedia/MitchellsEmbeddingTheorem.html |titel=Mitchell’s embedding theorem |werk=PlanetMath |sprache=en |abruf=2010-10-10}}
* {{Literatur
   |Autor=B. Mitchell
   |Titel=The Full Embedding Theorem
   |Sammelwerk=American Journal of Math
   |Band=86
   |Datum=1964
   |Seiten=619–637
   |Sprache=en}}

{{Navigationsleiste Kategorientheorie}}

[[Kategorie:Kategorientheorie]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Mitchell, Einbettungssatz von]]