Quelltext der Seite Eigenleitungsdichte

Die '''Eigenleitungsdichte''' (auch '''[[intrinsisch]]e Ladungsträgerdichte''') ist die charakterisierende Materialeigenschaft eines [[Halbleiter]]s in Blick auf seine [[elektrische Leitfähigkeit]]. Sie bezeichnet die [[Ladungsträgerdichte]] eines idealen, in seinem [[Kristallgitter]] ungestörten Halbleiters. Der zugehörige Leitungsmechanismus wird [[Eigenleitung]] genannt.

Die Eigenleitungsdichte bestimmt den ''Mindestwert'' der elektrischen Leitfähigkeit. Die tatsächliche Leitfähigkeit des Halbleiters kann durch Verunreinigung höher liegen oder durch [[Dotierung]] auf einen höheren Wert eingestellt werden. Die dadurch verursachte [[Störstellenleitung]] übersteigt bei [[Raumtemperatur]] die Eigenleitung in der Regel um mehrere Größenordnungen; sie überdeckt damit die Eigenschaft des Basismaterials.

== Physikalische Beschreibung ==
Bei Halbleitern sind am [[Absoluter Nullpunkt|absoluten Nullpunkt]] sämtliche [[Elektron]]en an den [[Kristall]][[atom]]en gebunden. Erst mit steigender Temperatur steht eine ausreichende [[thermische Energie]] zur Verfügung, um einzelne Elektronen auf das [[Energieniveau]] des [[Leitungsband]]es anzuheben. Die frei gewordenen Elektronen und die zurückbleibenden [[Defektelektron]]en&nbsp;(''Löcher'') stehen zum [[Elektrischer Strom|Ladungstransport]] zur Verfügung (Generation von [[Elektron-Loch-Paar]]en); diesem Effekt entgegengerichtet ist die [[Rekombination (Physik)|Rekombination]] von Elektron-Loch-Paaren unter Freiwerdung von [[Energie]].

Im [[Thermodynamisches Gleichgewicht|thermodynamischen Gleichgewicht]] stellt sich ein Gleichgewicht aus Generation und Rekombination ein: Die [[Anzahldichte]] an frei beweglichen [[Ladungsträger (Physik)|Ladungsträgern]] ist im zeitlichen Mittel konstant. Die Eigenleitungsdichte <math>n_\mathrm i</math> setzt sich somit zusammen aus der durchschnittlichen Anzahldichte an freien Elektronen <math>n</math> und Löchern <math>p</math> bei der jeweiligen Temperatur:

{| class="wikitable float-right"
|+ Eigenleitungsdichte für einige wichtige Halbleiter bei <math>T=300\;\mathrm K</math>
|- class="hintergrundfarbe6"
!Halbleiter
!<math>n_\mathrm i</math> in cm<sup>−3</sup>
|-
|[[Germanium]] (Ge)
|{{ZahlExp|2,33|13}}<ref>Collaboration: Authors and Editors of the LB Volumes III/17A-22A-41A1b: ''Germanium (Ge), intrinsic carrier concentration.'' In: O. Madelung, U. Rössler, M. Schulz (Hrsg.): ''SpringerMaterials – The Landolt-Börnstein Database.'' {{DOI|10.1007/10832182_503}}.</ref><br />{{ZahlExp|2,3|13}}<ref name="Stiny" />
|-
|[[Silizium]] (Si)
|{{ZahlExp|1,0|10}}<ref>Collaboration: Authors and Editors of the LB Volumes III/17A-22A-41A1b: ''Silicon (Si), intrinsic carrier concentration.'' In: O. Madelung, U. Rössler, M. Schulz (Hrsg.): ''SpringerMaterials – The Landolt-Börnstein Database.'' {{DOI|10.1007/10832182_455}}.</ref><ref>{{Literatur |Autor=Pietro P. Altermatt, Andreas Schenk, Frank Geelhaar, Gernot Heiser |Titel=Reassessment of the intrinsic carrier density in crystalline silicon in view of band-gap narrowing |Sammelwerk=Journal of Applied Physics |Band=93 |Nummer=3 |Datum=2003-02 |ISSN=0021-8979 |Seiten=1598–1604 |DOI=10.1063/1.1529297}}</ref><br />{{ZahlExp|1,5|10}}<ref name="Stiny" />
|-
|[[Galliumarsenid]] (GaAs)
|{{ZahlExp|2,1|6}}<ref>Collaboration: Authors and Editors of the LB Volumes III/17A-22A-41A1b: ''Gallium arsenide (GaAs), intrinsic carrier concentration.'' In: O. Madelung, U. Rössler, M. Schulz (Hrsg.): ''SpringerMaterials – The Landolt-Börnstein Database.'' {{DOI|10.1007/10832182_196}}.</ref><br />{{ZahlExp|1,3|6}}<ref name="Stiny" />
|}
:<math>n_\mathrm{i}^2 = n \cdot p</math> ([[Massenwirkungsgesetz]])
[[Datei:Eigenleitungsdichte Si.png|mini|[[Arrheniusgraph]] für die Eigen&shy;leitungs&shy;dichte von Silizium in Abhängigkeit von der Temperatur gemäß der angegebenen Gleichung]]
Für schwach dotiertes Material kann, anstatt der [[Fermi-Verteilung]], die [[Boltzmann-Verteilung]] angewendet werden,<ref name="Eichler" /> dann ergeben sich die Ladungsträgerdichten zu:
::<math>n = N_\mathrm L \cdot \exp \left( -\frac{E_\mathrm L - \mu}{k_{\mathrm{B}} \,T} \right)</math>
::<math>p = N_\mathrm V \cdot \exp \left( +\frac{E_\mathrm V - \mu}{k_{\mathrm{B}} \,T} \right)</math>
mit
* <math>n</math> :&nbsp; [[Elektronendichte]]
* <math>p</math> :&nbsp; Löcherdichte
* <math>N_\mathrm L</math>, <math>N_\mathrm V</math>: effektive [[Zustandsdichte]] in [[Leitungsband|Leitungs-]] und [[Valenzband]]
* <math>E_\mathrm L</math>: Energie der Unterkante Leitungsband
* <math>E_\mathrm V</math>: Energie der Oberkante Valenzband
* <math>E_\mathrm L - E_\mathrm V =E_\mathrm g</math>: [[Bandlücke]]
* <math>\mu</math> :&nbsp; [[chemisches Potential]]
* <math>k_\mathrm B</math>: [[Boltzmannkonstante]]
* <math>T</math> :&nbsp; absolute Temperatur

Somit ergibt sich die Eigenleitungsdichte:
:<math>\begin{align}
n_\mathrm i
& = \sqrt{n \cdot p{\color{White}|}}\\
& = \sqrt{N_\mathrm L \,N_\mathrm V} \cdot \exp \left( -\frac{E_\mathrm L - E_\mathrm V}{2\,k_\mathrm B\,T} \right)\\
& = \sqrt{N_\mathrm L \,N_\mathrm V} \cdot \exp \left( -\frac{E_\mathrm g}{2\,k_\mathrm B\,T}\right)\\
\end{align}</math>
Dieses Ergebnis ist erheblich von der [[Temperatur]] abhängig. Das zugehörige Diagramm berücksichtigt nicht, dass <math>N_\mathrm L</math>, <math>N_\mathrm V</math> und <math>E_\mathrm g</math> ebenfalls von der Temperatur abhängen, allerdings nicht so ausgeprägt. Im Bereich der Raumtemperatur verdoppelt sich <math>n_\mathrm i</math> ungefähr, wenn sich die Temperatur um 10&nbsp;K erhöht.<ref>Wolfgang Böge, Wilfried Plaßmann (Hrsg.): ''Vieweg Handbuch Elektrotechnik: Grundlagen und Anwendungen für Elektrotechniker.'' 3. Auflage. Vieweg, 2004, S. 320.</ref>

== Zustand in realen Kristallen ==
Es ist zu beachten, dass es keinen perfekten Kristall gibt ([[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]]<nowiki/>argument der [[Thermodynamik]]).
Bei einer Atomdichte von etwa {{ZahlExp|5|22}}&nbsp;cm<sup>−3</sup> (Richtwert für Silizium und Germanium)<ref name="Eichler">Jürgen Eichler: ''Physik: Grundlagen für das Ingenieurstudium.'' 2. Auflage. Vieweg, 2004, S. 273 f.</ref> würde eine [[Störstelle]]n<nowiki/>dichte von {{ZahlExp|5|13}}&nbsp;cm<sup>−3</sup> bedeuten, dass auf eine Milliarde Atome des Halbleiters eine einzige Störung im Kristallgitter kommt. Aber selbst ein derart störstellenarmer Kristall ist für den Zustand der Eigenleitung noch nicht arm genug. Umgekehrt lässt sich durch [[extrinsisch]]e Störstellen (Dotierung) die Ladungsträgerdichte und damit die Leitfähigkeit steigern. Die typische Dichte der eingebrachten Fremdatome liegt bei 10<sup>14</sup>−10<sup>18</sup>&nbsp;cm<sup>−3</sup>.<ref>H. Hartl, E. Krasser, W. Pribyl, P. Söser, G. Winkler: ''Elektronische Schaltungstechnik.'' Pearson, 2008, S. 104.</ref>

Da der [[Ionisation]]s<nowiki/>grad der Störstellen mit der Temperatur steigt, nimmt die Ladungsträgerdichte zunächst mit der Temperatur zu ([[Störstellenreserve]]). Bei [[Raumtemperatur]] sind (bei Silizium) normalerweise alle Störstellen ionisiert ([[Störstellenerschöpfung]]), und die Ladungsträgerdichte hängt nicht mehr von der Temperatur, sondern von der Dotierkonzentration ab.<ref>Helmut Lindner: ''Grundriss der Festkörperphysik.'' Vieweg, 1979, S. 111.</ref> Dieser Fall wird als [[extrinsische Leitfähigkeit]] bezeichnet.

Wird die Temperatur weiter erhöht, verliert der Halbleiter seinen Charakter als n-dotiert oder p-dotiert, da zunehmend mehr Ladungsträger durch die intrinsische Ladungsträgergeneration erzeugt werden. Das Halbleitermaterial wird [[Intrinsische Leitfähigkeit|intrinsisch leitend]], weil die [[thermische Energie]] nun ausreicht, in größerem Umfang Elektronen vom Valenzband ins Leitungsband anzuregen. Der praktische Einsatz dotierter Halbleiter-Bauelemente reicht deshalb für Germanium nur bis 70&nbsp;°C und für Silizium bis etwa 170&nbsp;°C<ref>Leonhard Stiny: ''Aktive elektronische Bauelemente.'' 4. Auflage. Springer Vieweg, 2019, S. 37.</ref> oder in einem Temperaturbereich typisch −40&nbsp;°C&nbsp;<&nbsp;<math>\vartheta</math>&nbsp;<&nbsp;160&nbsp;°C.<ref>Joachim Specovius: ''Grundkurs Leistungselektronik: Bauelemente, Schaltungen und Systeme.'' 3. Auflage. Vieweg+Teubner, 2009, S. 7.</ref> Eine Rechnung für die Eigenleitungsdichte von Silizium bei 700&nbsp;K kommt auf {{ZahlExp|6,3|15}}&nbsp;cm<sup>−3</sup>.<ref name="Stiny">Leonhard Stiny: ''Aktive elektronische Bauelemente.'' 4. Auflage. Springer Vieweg, 2019, S. 28–30.</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Festkörperphysik]]