Quelltext der Seite Ebene Kreisgeometrien

'''Ebene Kreisgeometrien''' oder '''Benz-Ebenen''' ist ein Sammelbegriff für die drei hier beschriebenen Geometrien:
[[Möbius-Ebene]], [[Laguerre-Ebene]] und [[Minkowski-Ebene]]. Grundlegende Arbeiten stammen von dem deutschen Mathematiker
[[Walter Benz]].<ref>W. Benz, ''Vorlesungen über Geometrie der Algebren'', Springer (1973) ISBN 3-540-05786-2</ref><ref>F. Buekenhout (ed.), ''Handbook of Incidence Geometry'', Elsevier (1995) ISBN 0-444-88355-X, S. 1327</ref>

== Möbius-Ebene ==
{{Hauptartikel|Möbius-Ebene}}
[[Datei:Moebius-2d3d-model.svg|miniatur|Klassische Möbius-Ebene: 2d/3d-Modell]]
Wir gehen von der reellen [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] aus und fassen die Menge der Geraden
und die Menge der Kreise zu einer Blockmenge zusammen. Diese Konstruktion liefert eine
sehr inhomogene [[Inzidenzstruktur]]. Denn durch je zwei Punkte gehen genau eine Gerade
und beliebig viele Kreise. Der Trick, mit dem man diese Inzidenzstruktur in eine
homogene Geometrie einbettet, ist die folgende Idee: Man füge der Punktmenge einen
weiteren Punkt <math>\infty</math> hinzu, der mit jeder Gerade inzidieren soll. Jetzt ist ein Block durch genau drei Punkte eindeutig
bestimmt. Diese "homogenisierte" Geometrie nennt man
'''klassische Möbius-Ebene''' (nach [[August Ferdinand Möbius]]). Die noch bestehende Inhomogenität der Beschreibung
(Geraden, Kreise) lässt sich durch ein räumliches Modell beseitigen. Denn mittels
einer [[Stereografische Projektion|stereografischen Projektion]] zeigt man, dass die klassische Möbius-Ebene zur Geometrie der ebenen Schnitte (Kreise) einer Kugel (im 3-dimensionalen Raum) isomorph ist.
Analog zu den axiomatischen projektiven Ebenen nennt man eine Inzidenzstruktur,
die im Wesentlichen dasselbe Inzidenzverhalten hat wie die klassische Möbius-Ebene,
(axiomatische) '''Möbius-Ebene'''. Wie zu erwarten, gibt es sehr viele Möbius-Ebenen,
die von dem klassischen Modell verschieden sind.

== Laguerre-Ebene ==
{{Hauptartikel|Laguerre-Ebene}}
[[Datei:Laguerre-2d3d-model.svg|miniatur|Klassische Laguerre-Ebene: 2d/3d-Modell]]
Geht man wieder von <math>\textstyle \R^2 </math> aus und nimmt zunächst die Kurven der
Form <math>y=ax^2+bx+c</math> (Parabeln und Geraden) als Blöcke, so erweist sich
folgende Homogenisierung als nützlich: Man nimmt zur Kurve <math>y=ax^2+bx+c</math>
den neuen Punkt <math>(\infty,a)</math> hinzu,
d.&nbsp;h. die Punktmenge besteht jetzt aus <math>(\R\cup{\infty})\times\R</math>.
Diese Geometrie der Parabeln nennt man '''klassische Laguerre-Ebene''' (nach [[Edmond Laguerre]]). (Sie wurde
ursprünglich als die Geometrie der gerichteten Geraden und Kreise formuliert. Beide
Geometrien sind zueinander isomorph.)
Wie bei der klassischen Möbius-Ebene gibt es auch hier ein räumliches Modell:
Die klassische Laguerre-Ebene ist zur Geometrie der ebenen Schnitte auf einem senkrechten
Kreiszylinder (im <math>\R^3</math>) isomorph.
Eine Abstraktion wie bei der Möbius-Ebene führt zur (axiomatischen) '''Laguerre-Ebene'''.

== Minkowski-Ebene ==
{{Hauptartikel|Minkowski-Ebene}}
[[Datei:Minkowski-2d3d-model.svg|miniatur|Klassische Minkowski-Ebene: 2d/3d-Modell]]
Geht man schließlich von <math>\R^2 </math> aus und nimmt zu den Geraden
<math>y=mx+d, m\ne0</math> noch die Hyperbeln <math>y=\tfrac{a}{x-b}+c, a\ne0</math>
als Blöcke hinzu, so führt die folgende Idee zu einer homogenen Inzidenzstruktur:
Man füge jeder Gerade den Punkt <math>(\infty,\infty)</math> und zu jeder
Hyperbel <math>y=\tfrac{a}{x-b}+c, a\ne0</math> die Punkte <math>(b,\infty), (\infty,c)</math>
hinzu, d.&nbsp;h. die Punktmenge besteht in diesem Fall aus <math>(\R\cup{\infty})^2</math>.
Diese Geometrie der Hyperbeln nennt man die '''klassische Minkowski-Ebene''' (nach [[Hermann Minkowski]]).
Wie bei den klassischen Möbius- und Laguerre-Ebenen gibt es auch hier
ein räumliches Modell: Die klassische Minkowski-Ebene ist zur Geometrie
der Ebenenschnitte auf einem [[Einschaliges Hyperboloid|einschaligen Hyperboloid]] (nicht ausgeartete Quadrik vom Index 2)
im 3-dimensionalen [[Reeller projektiver Raum|reellen projektiven Raum]] isomorph. Wie bei Möbius- und Laguerre-Ebene
gelangt man durch Abstraktion zur (axiomatischen) '''Minkowski-Ebene'''.

== Ebene Kreisgeometrien ==
Da die Blöcke in jedem der drei Fälle projektiv Kreise (nicht ausgeartete Kegelschnitte)
sind, benutzt man die Sammelbezeichnung ''ebene Kreisgeometrien''. Das Wort ''eben'' soll
andeuten, dass es auch höherdimensionale Möbius-, Laguerre- und Minkowski-Geometrien
gibt. In der englischen Literatur werden die ebenen Kreisgeometrien auch ''Benz-Ebenen''
(''Benz planes'') nach dem deutschen Mathematiker [[Walter Benz]] genannt.

== Siehe auch ==
* [[Quadrik]]
* [[projektive Ebene]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Benz_plane Benz plane] in der [[Encyclopedia of Mathematics]]
* [https://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/circlegeom.pdf Lecture Note '''''Planar Circle Geometries''''', an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes] (PDF; 870&nbsp;kB)

[[Kategorie:Inzidenzstruktur]]
[[Kategorie:Geometrie]]