Quelltext der Seite Dissipativer Operator

In der linearen Theorie sind '''dissipative Operatoren''' [[Linearer Operator|lineare Operatoren]], die auf reellen oder komplexen [[Banachraum|Banachräumen]] definiert sind und gewisse Normabschätzungen erfüllen. Durch den [[Satz von Lumer-Phillips]] spielen sie eine wichtige Rolle bei der Betrachtung [[stark stetige Halbgruppe|stark stetiger Halbgruppen]].

== Definition ==

Seien <math>X</math> ein Banachraum und <math>D(A)\subset X</math>. Ein linearer Operator <math>A \colon D(A)\rightarrow X</math> mit
:<math>\|(\lambda-A)x\|\geq \lambda\|x\|</math>
für alle <math>\lambda>0</math> und <math>x\in D(A)</math> wird ''dissipativ'' genannt.<ref name="Werner375">[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 375.</ref> Diese Bezeichnung geht auf [[Ralph Phillips]] zurück.

Ist <math>A</math> ein linearer Operator und <math>-A</math> dissipativ, so wird <math>A</math> ''akkretiv'' genannt.<ref name=Werner375 /> Diese Bezeichnung wurde von [[Tosio Kato]] und [[Kurt Friedrichs]] eingeführt.

== Hilbertraum ==

Wenn <math>X</math> ein [[Hilbertraum]] ist, ist ein linearer Operator <math>A \colon D(A)\rightarrow X</math> genau dann dissipativ, falls
:<math>\operatorname{Re}\,\langle Ax,x\rangle\leq 0</math>
für alle <math>x\in D(A)</math> gilt, wobei <math>\operatorname{Re}</math> den [[Realteil]] bezeichnet.<ref name=Werner375 />

== Folgerungen ==

Sei <math>(A,D(A))</math> ein dissipativer Operator auf einem Banachraum <math>X</math>.

* <math>\lambda - A</math> ist für ein <math>\lambda>0</math> [[surjektiv]] genau dann, wenn <math>\lambda-A</math> für alle <math>\lambda>0</math> surjektiv ist. Alsdann heißt <math>(A,D(A))</math> m-dissipativ und erzeugt eine stark stetige Operatorhalbgruppe.<ref>[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 376–377.</ref>
* <math>A</math> ist [[Abgeschlossener Operator|abgeschlossen]] genau dann, wenn das Bild von <math>\lambda-A</math> für ein <math>\lambda>0</math> [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist.

== Beispiel ==

Betrachtet man auf einem beschränkten [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>\Omega\subset\R^n</math> den [[Laplace-Operator]] <math>\Delta</math> mit [[Dirichlet-Randbedingung]] auf <math>L^2(\Omega)</math> (siehe [[Lp-Raum|<math>L^p</math>-Raum]]), also <math>D(\Delta)=H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)</math>, erhält man:
:<math>\langle\Delta u,u\rangle=-\langle \nabla u, \nabla u\rangle=-\|\nabla u\|^2\leq 0</math>.
Der [[Satz von Lax-Milgram]] beweist, dass <math> \Delta:D(\Delta)\rightarrow L^2(\Omega) </math> m-dissipativ ist und somit eine stark stetige Operatorhalbgruppe erzeugt.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Lineare Abbildung]]