Quelltext der Seite Differenzenmenge

Eine '''Differenzenmenge der Ordnung''' ''n''<ref name="Beutelspacher">Beutelspacher & Rosenbaum (2004)</ref> (englisch: ''perfect difference set''<ref name="Singer">Singer (1938)</ref>) ist in der [[Endliche Geometrie|endlichen Geometrie]] eine Menge von <math>n+1</math> [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]]<ref>Im vorliegenden Artikel wird die 0 stets zu den natürlichen Zahlen <math>\N_0=\{0,1,2,3,\ldots\}</math> gezählt.</ref>, aus der sich eine eindeutige [[projektive Ebene]] erzeugen lässt. [[James Singer]] konnte in den 1930er Jahren beweisen, dass jede endliche [[Satz von Desargues|desarguessche]] Ebene von einer Differenzenmenge abstammt.<ref name="Singer" /> Diese Tatsache ist eine der Aussagen des '''Satzes von Singer''', der darüber hinaus besagt, dass jede endliche desarguessche [[projektive Geometrie]] einen '''Singer-Zyklus''' besitzt. Es wird vermutet, ist aber (2012) noch nicht bewiesen, dass ''genau'' die desarguesschen endlichen Ebenen von einer Differenzenmenge abstammen.<ref name="Beutelspacher" />

== Definitionen ==
Es sei ''n'' eine natürliche Zahl. Eine Menge <math>\mathcal{D}</math> von natürlichen Zahlen heißt eine Differenzenmenge der Ordnung ''n'', falls gilt<ref name="Beutelspacher" />
# <math>\mathcal{D}</math> enthält genau <math>n+1</math> Elemente,
# jede natürliche Zahl <math>m\in \{1,2,3,\ldots, n^2+n\}</math> lässt sich auf genau eine Weise schreiben als <math>m\equiv d_1-d_2 \mod (n^2+n+1)</math> mit <math>d_1,d_2\in\mathcal{D}.</math>

Die zweite Bedingung lässt sich formal abschwächen. Sei <math>\Delta(\mathcal{D})=\{ (d,d) | d\in \mathcal{D}\}</math> die ''Diagonale'' in <math>\mathcal{D}^2</math>. Dann ist die 2. Bedingung zunächst gleichwertig zu der abstrakter formulierten Bedingung
:(2a) Die Abbildung <math>\delta: \mathcal{D}^2 \setminus \Delta(\mathcal{D})\rightarrow \{1,2,3,\ldots, n^2+n\}: (d_1,d_2)\mapsto d_1-d_2 \mod (n^2+n+1)</math> ist [[Bijektion|bijektiv]].<ref>Man beachte dazu, dass <math>\delta</math> aufgrund der Eigenschaften der [[Division mit Rest|Modulo-Funktion]] mod stets eine Abbildung ist.</ref>
Da für eine Menge <math>\mathcal{D}</math>, die der 1. Bedingung gemäß <math>n+1</math> Elemente enthält, die Menge <math>\mathcal{D}^2 \setminus \Delta(\mathcal{D})</math> der Paare ''unterschiedlicher'' Zahlen immer <math>(n+1)^2-(n+1)=n^2+n</math> Elemente enthält, ist die Definitionsmenge von <math>\delta</math> immer gleichmächtig zur Zielmenge, daher sind für diese Abbildung [[Surjektivität]], [[Injektivität]] und Bijektivität gleichwertige Forderungen und die 2. Bedingung kann durch
:(2b) „Für <math>d_1,d_2\in\mathcal{D}, d_1\neq d_2</math> sind die Differenzen <math>d_1-d_2\mod (n^2+n+1)</math> paarweise verschiedene Zahlen (mit anderen Worten: <math>\delta</math> ist injektiv).“ oder durch
:(2c) „Jede natürliche Zahl <math>m\in \{1,2,3,\ldots,n^2+n\}</math> tritt modulo <math>n^2+n+1</math> als Differenz <math>d_1-d_2\;(d_1,d_2\in\mathcal{D})</math> auf (mit anderen Worten: <math>\delta</math> ist surjektiv).“
ersetzt werden.

=== Reduzierte Differenzenmenge ===
* Ist <math>\mathcal{D}</math> eine Differenzenmenge der Ordnung <math>n</math>, dann sind auch die <math>n^2+n+1</math> verschiedenen Mengen <math>\mathcal{D}+i =\{d+i \mod (n^2+n+1) | d\in \mathcal{D}\}</math> für beliebige <math>i\in \{ 0,1,2,\ldots, n^2+n\}</math> solche Differenzenmengen.
* Jede Differenzenmenge <math>\mathcal{D}</math> der Ordnung <math>n</math> enthält genau zwei verschiedene Elemente <math>d_1,d_2</math> mit <math>d_1+1\equiv d_2 \mod (n^2+n+1).</math> Dann ist <math>\mathcal{D}-d_1=\{0,1,\ldots k_{n+1}\}</math> ebenfalls eine solche Differenzenmenge.
Singer verwendet Differenzenmengen, die 0 und 1 enthalten und deren Elemente alle in <math>\{0,1,2,\ldots, n^2+n-1\}</math> liegen, als Normalformen für Differenzenmengen und  bezeichnet eine solche Differenzenmenge dann als '''reduzierte Differenzenmenge''' (englisch: ''reduced perfect difference set'').<ref name="Singer" /> Beutelspacher und Rosenbaum verwenden als Normalenform Mengen, die 1 und 2 enthalten und deren Elemente alle in <math>\{1,2,3,\ldots, n^2+n\}</math> liegen, ohne dafür eine gesonderte Bezeichnung einzuführen.<ref name="Beutelspacher" /> Es gilt:
: Falls eine Differenzenmenge der Ordnung <math>n</math> existiert, dann existiert auch eine solche, die 0 und 1 enthält (also eine ''reduzierte'' Differenzenmenge), der Ordnung <math>n</math>.

== Eigenschaften und Bedeutung ==
=== Projektive Ebene ===
Ist <math>\mathcal{D}</math> eine Differenzenmenge der Ordnung <math>n\geq 2</math>, dann ist die folgendermaßen definierte Geometrie <math>\mathop{\mathrm P}(\mathcal{D})</math> eine projektive Ebene der Ordnung <math>n</math>:<ref name="Beutelspacher" />
# Die Punktmenge ist die Menge <math>\mathfrak{P}= \{0,1,2,3,\ldots, n^2+n\}\subseteq \N_0</math> von natürlichen Zahlen,
# die Geradenmenge <math>\mathfrak{G}</math> besteht aus den Teilmengen <math>\mathcal{D}+i\subseteq\mathfrak{P},\quad i\in \{0,1,2,\ldots, n^2+n\}</math>,
# die [[Inzidenz (Geometrie)|Inzidenzrelation]] <math>I\subseteq (\mathfrak{P}\times \mathfrak{G})\cup (\mathfrak{G}\times \mathfrak{P})</math> von <math>\mathop{\mathrm P}(\mathcal{D})</math> ist die mengentheoretische [[Element (Mathematik)|Enthaltenrelation]] zusammen mit ihrer Umkehrung: <math> I={\in \cup \ni}.</math>

Man sagt dann: Die so definierte projektive Ebene <math>\mathop{\mathrm P}(\mathcal{D})=(\mathfrak{P},\mathfrak{G},I)</math> „stammt von der Differenzenmenge <math>\mathcal{D}</math>“ ab.

=== Singer-Zyklus, Satz von Singer {{Anker|Singer-Zyklus}}{{Anker|Satz von Singer}} ===

Sei <math>\kappa</math> eine [[Kollineation]] auf einer endlichen projektiven Geometrie. Wenn <math>\kappa</math> die Punkte und Hyperebenen der Geometrie zyklisch permutiert, das heißt im Falle einer endlichen ''Ebene'' <math>(\mathfrak{P},\mathfrak{G},I)</math> der Ordnung <math>n</math>: wenn für beliebige <math>A\in \mathfrak{P}, g\in \mathfrak{G}</math> gilt
:<math>
\begin{array}{rrclcl}
(1)\quad &\mathfrak{P}&=&\{ \kappa^i(A) &|& i\in\{1,2,3,\ldots, n^2+n+1\} \}\quad {\mathrm{und}}\\
(2)\quad &\mathfrak{G}&=&\{ \kappa^i(g) &|& i\in\{1,2,3,\ldots, n^2+n+1\} \}
\end{array}
</math>
dann heißt die von <math>\kappa</math> erzeugte Kollineationsgruppe <math>\langle \kappa \rangle</math> ein ''Singer-Zyklus'' der Geometrie, speziell der Ebene.<ref>Zu Ehren von ''James Singer'' siehe Literatur, Beutelspacher & Rosenbaum (2004), 2.8</ref>

Der [[Satz von Dembowski-Hughes-Parker]] besagt, dass eine Gruppe von Kollineationen einer projektiven Geometrie genau dann auf der ''Punkt''menge [[Gruppenoperation#Transitive Gruppenoperation|transitiv operiert]], wenn sie auf der Menge der [[Hyperebene]]n transitiv operiert.<ref>Hughes & Piper (1973)</ref> Daraus folgt, dass die geforderten Eigenschaften (1) und (2) für [[Zyklische Gruppe|zyklische]] Kollineationsgruppen auf einer ''Ebene'' äquivalent sind.

Die folgenden Aussagen werden als ''Satz von Singer'' bezeichnet:
# Jede endliche, desarguessche, projektive Geometrie besitzt einen Singer-Zyklus. Dieser kann so gewählt werden, dass er sogar nur aus [[Projektivität]]en besteht.<ref>Beutelspacher & Rosenbaum (2004), Kapitel 6</ref>
# Eine endliche projektive ''Ebene'' besitzt genau dann einen Singer-Zyklus, wenn sie isomorph zu einer von einer Differenzenmenge abstammenden Ebene ist.<ref>Beutelspacher & Rosenbaum (2004), Sätze 2.8.4, 2.8.5</ref>

Ist <math>\mathop{\mathrm P}(\mathcal{D})=(\mathfrak{P},\mathfrak{G},I)</math> eine solche Ebene in ihrer oben beschriebenen Darstellung durch die Differenzenmenge <math>\mathcal{D}</math>, dann ist
:<math> \kappa: \mathfrak{P}=\{0,1,2,3,\ldots, n^2+n\}\rightarrow \mathfrak{P};\quad x\mapsto x+1 \mod (n^2+n+1)</math>
eine Kollineation der [[Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnung]] <math>n^2+n+1</math>, die somit einen Singer-Zyklus erzeugt.

=== Konstruktion von Singer-Zyklen auf einer desarguesschen Geometrie ===
Jede desarguessche projektive Geometrie endlicher Ordnung ist isomorph zu einem <math>d</math>-[[Dimension (Mathematik)|dimensionalen]] [[Projektiver Raum|projektiven Raum]] <math>\mathbb{P}^d(K)</math> über einem [[Endlicher Körper|endlichen Körper]] <math>K=\mathbb{F}_q</math>. Der Koordinatenvektorraum <math>V</math> von <math>\mathbb{P}^d(K)</math> ist als <math>K</math>-Vektorraum isomorph zu dem endlichen Körper <math>L=\mathbb{F}_{q^{d+1}}</math>. Die multiplikative Gruppe <math>(L^\ast,\cdot)</math> ist [[Zyklische Gruppe|zyklisch]], also existiert ein erzeugendes („primitives“) Element <math>\xi\in L</math> dieser Gruppe, mit dem <math>\langle \xi \rangle=L^\ast</math> gilt. Die Abbildung
:<math>\Xi: K^{d+1}\rightarrow K^{d+1}:\quad v\mapsto \xi\cdot v</math>
ist ein <math>K</math>-Vektorraumautomorphismus. Nach Wahl einer Punktbasis in <math>\mathbb{P}^d(K)</math> kann dieser Automorphismus als [[Abbildungsmatrix|Koordinatendarstellung]] einer [[Projektivität]] angesehen werden. Da <math>\Xi</math> transitiv auf <math>V^{\ast}\cong \left(K^{d+1}\right)^{\ast}</math> operiert,  operiert auch die dadurch dargestellte Projektivität transitiv auf der Punktmenge von <math>\mathbb{P}^d(K)</math> und erzeugt daher einen Singer-Zyklus dieser projektiven Geometrie.

== Beispiele ==
[[Datei:Fanosingercycle.svg|mini|Die Abbildung zeigt die ''Fano-Ebene'' und eine Projektivität ''c'' der Ordnung 7 (rot), die einen Singer-Zyklus erzeugt. Die Punkte (schwarz) sind so nummeriert, dass dieses Modell der Fano-Ebene von der Differenzenmenge <math>\mathcal{D}_2=\{1,2,4\}</math> abstammt, die Nummern der Geraden (blau) sind ''i'' aus der Geradendarstellung <math>g_i=\mathcal{D}_2+i.</math>]]
* Die Menge <math>\mathcal{D}_2=\{1,2,4\}</math> ist eine Differenzenmenge der Ordnung 2, denn die sämtlichen Differenzen von verschiedenen Elementen <math>d_1,d_2\in \mathcal{D}_2</math> lauten (modulo 7):
::<math>\begin{array}{rcl|rcl|rcl}
  1-2 & \equiv & 6 &
  1-4 & \equiv & 4 &
  2-4 & \equiv & 5 \\
  2-1 & \equiv & 1 &
  4-1 & \equiv & 3 &
  4-2 & \equiv & 2
  \end{array}
</math>
: Die 7 Geraden der projektiven Ebene zu dieser Differenzenmenge lauten, vergleiche auch die Abbildung rechts:
::<math>\begin{array}{rcl|rcl|rcl}
  \mathcal{D}_2+0 & = & \{1,2,4\} &
  \mathcal{D}_2+1 & = & \{2,3,5\} &
  \mathcal{D}_2+2 & = & \{3,4,6\} \\
  \mathcal{D}_2+3 & = & \{4,5,0\} &
  \mathcal{D}_2+4 & = & \{5,6,1\} &
  \mathcal{D}_2+5 & = & \{6,0,2\} \\
  \mathcal{D}_2+6 & = & \{0,1,3\} &
  \end{array}
</math>
:Die Ebene ist isomorph zur [[Fano-Ebene]].
* Die Mengen <math>\mathcal{D}_3=\{1,2,4,10\}</math> bzw. <math>\mathcal{D}_4=\{1,2,5,15,17\}</math> sind Differenzenmengen der Ordnung 3 bzw. 4.
* Die Menge <math>\mathcal{D}_5=\{0,1,3,8,12,18\}</math> ist eine reduzierte Differenzenmenge der Ordnung 5.
* Da zu den Ordnungen 6, 10, 12 und 14 keine projektiven Ebenen existieren, gibt es auch keine Differenzenmengen dieser Ordnungen.
* Der [[Satz von Bruck-Ryser-Chowla]] liefert notwendige Bedingungen an die Ordnungen projektiver Ebenen. Natürliche Zahlen, die nach diesem Satz ausgeschlossen sind ({{OEIS|A046712}}), können auch nicht Ordnungen einer Differenzenmenge sein.

== Literatur ==
*{{Literatur
   |Autor=[[Albrecht Beutelspacher]], Ute Rosenbaum
   |Titel=Projektive Geometrie
   |TitelErg=Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen
   |Reihe=Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik
   |Auflage=2., durchgesehene und erweiterte
   |Verlag=Vieweg
   |Ort=Wiesbaden
   |Datum=2004
   |ISBN=3-528-17241-X
   |Online=[http://d-nb.info/972794298/04 Inhaltsverzeichnis]
   |Abruf=2012-04-01}}
*{{Literatur
   |Autor=Daniel Hughes, Fred Piper
   |Titel=Projective planes
   |Reihe=Graduate texts in mathematics
   |BandReihe=6
   |Verlag=Springer
   |Ort=Berlin/Heidelberg/New York
   |Datum=1973
   |ISBN=3-540-90044-6}}
*{{Literatur
   |Autor=James Singer
   |Titel=A theorem in projective geometry and some applications to number theory
   |Sammelwerk=Transactions of the American Mathematical Society
   |Band=43
   |Nummer=3
   |Datum=1938
   |Seiten=377–385
   |Online=[http://www.ams.org/journals/tran/1938-043-03/S0002-9947-1938-1501951-4/S0002-9947-1938-1501951-4.pdf Volltext, PDF]
   |Abruf=2012-04-01}}
== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Endliche Geometrie]]