Quelltext der Seite Dichtebündel

Ein '''Dichtebündel''' ist ein Spezialfall eines [[Vektorbündel|Vektorbündels]] und wird im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Differentialgeometrie]] untersucht. Mit Hilfe dieser Bündel kann man einige aus der [[Analysis]] bekannte Objekte auf [[Mannigfaltigkeit|Mannigfaltigkeiten]] verallgemeinern. So kann man ähnlich wie mit [[Differentialform|Differentialformen]] einen Koordinaten-invarianten Integralbegriff auf Mannigfaltigkeiten definieren. Man findet mit Hilfe dieser Bündel Verallgemeinerungen der [[Lp-Raum|L<sup>p</sup>-Räume]] und der [[Distribution (Mathematik)|Distributionenräume]] auf Mannigfaltigkeiten.

== Definition ==
=== r-Dichte ===
Sei <math>V</math> ein reeller, <math>n</math>-dimensionaler [[Vektorraum]] und mit <math>\Lambda^n V</math> wird die [[äußere Algebra|n-te äußere Potenz]] des Vektorraums <math>V</math> notiert. Für jedes <math>r \in \R</math> definiert man eine r-Dichte als eine Funktion <math>f \colon \Lambda^n V \to \R</math>, so dass
:<math>f(\lambda u) = |\lambda|^r f(u)</math>
für alle <math>u \in \Lambda^n V \backslash \{0\}</math> und für alle <math>\lambda \neq 0</math> gilt. Der Vektorraum der <math>r</math>-Dichten wird mit <math>|V|^r</math> notiert.

=== r-Dichtebündel ===
Sei <math>M</math> eine [[Glatte Mannigfaltigkeit|glatte]], <math>n</math>-dimensionale Mannigfaltigkeit und <math>r \in \R</math> eine reelle Zahl. Mit <math>\Gamma^\infty</math> wird der Raum der globalen [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitte]] auf einem [[Vektorbündel]] notiert.

Analog zur obigen Definition ist eine <math>r</math>-Dichte auf einer Mannigfaltigkeit eine Abbildung
:<math>\mu \colon \Gamma^\infty(\Lambda^n(M)) \to C^\infty(M)</math>
mit
:<math>\mu(\lambda u) = |\lambda|^r \mu(u)</math>
für alle <math>u \in \Lambda^n TM \backslash \{0\}</math> und für alle glatten Funktionen <math>\lambda \colon M \to \R\backslash\{0\}</math>.

Das Vektorbündel der <math>r</math>-Dichten ist dann definiert durch
:<math>|\Lambda^n(M)|^r := |\Lambda^n(TM)|^r.</math>
Mit <math>TM</math> wird das [[Tangentialbündel]] bezeichnet.

== Pullback ==
{{Hauptartikel|Rücktransport}}

Für <math>r\geq 0</math> induziert eine [[glatte Abbildung]] <math>\phi \colon M \to N</math> zwischen zwei glatten <math>n</math>-dimensionalen Mannigfaltigkeiten einen Pullback
:<math>\phi^* \colon \Gamma^\infty(|\Lambda^n(N)|^r) \to \Gamma^\infty(|\Lambda^n(M)|^r),</math>
welcher für alle <math>e \in C^\infty(\Lambda^n TM)</math> durch
:<math>(\phi^* \mu)(e) = \mu(\det (\phi_*) \cdot e) = |\det(\phi_*)|^r \mu(e)</math>
definiert ist. Dabei ist <math>\phi_*</math> der [[Pushforward]] von <math>\phi</math>, sind <math>M</math> und <math>N</math> [[Untermannigfaltigkeit]]en so ist <math>\phi_*</math> die [[Jacobi-Matrix]] von <math>\phi</math>.

== Dualraum ==
# Sei <math>M</math> wieder eine glatte Mannigfaltigkeit. Da der Vektorraum der 0-Dichten <math>|\Lambda^n T_pM|^0</math> nur aus den konstanten Funktionen besteht, gilt für das entsprechende Dichtebündel
#:<math>|\Lambda^n (M)|^0 \cong M \times \R.</math>
# Für <math>\alpha, \beta \in \R</math> gilt die Isomorphie
#:<math>|\Lambda^n(M)|^\alpha \otimes |\Lambda^n(M)|^\beta \cong |\Lambda^n(M)|^{\alpha + \beta}.</math>
# Aus den Eigenschaften 1. und 2. folgt<br /><math style="margin-left:2em">|\Lambda^n(M)|^\alpha \otimes |\Lambda^n(M)|^{-\alpha} \cong M \times \R</math><br /> und daher ist <math>|\Lambda^n(M)|^{\alpha}</math> der [[Dualraum]] von <math>|\Lambda^n(M)|^{-\alpha}</math> und man schreibt<br /><math style="margin-left:2em">(|\Lambda^n(M)|^{\alpha})' \cong |\Lambda^n(M)|^{-\alpha}.</math>

== Integration auf Mannigfaltigkeiten ==
Eins-Dichten sind insbesondere deshalb wichtig, weil sie (koordinatenunabhängig) auf Mannigfaltigkeiten integriert werden können. Ihr Vorteil gegenüber Differentialformen, welche auch diese Eigenschaft haben, ist, dass man Dichten auch auf nicht [[Orientierung (Mathematik)|orientierbaren]] Mannigfaltigkeiten integrieren kann.

=== Definition ===
Sei also <math>M</math> eine glatte Mannigfaltigkeit und sei <math>\mu \in \Gamma^\infty_c(|\Lambda^n(M)|^1)</math> eine 1-Dichte. Dann ist das Integral <math>\textstyle \int_M \mu</math> von <math>\mu</math> über <math>M</math> wie folgt definiert. Sei <math>(U_i,\kappa_i)_{i \in I}</math> eine endliche Familie von Karten, welche <math>\operatorname{supp}(\mu)</math> [[Überdeckung (Mathematik)|überdecken]]. Und sei <math>(\phi_i)_{i \in I}</math> eine subordinierte [[Zerlegung der Eins]]. Dann setze
:<math>\int_M \mu := \sum_{i} \int_{\kappa_i(U)} \kappa^*_i(\phi_i \mu)</math>.
Die rechte Seite ist unabhängig von der Wahl der Karte und der Wahl der Zerlegung der Eins.

=== Eigenschaften ===
* Das Integral ist invariant bezüglich [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]]. Das heißt, für alle glatten Mannigfaltigkeit <math>M</math> und <math>N</math> der gleichen Dimension <math>n</math> und jeden Diffeomorphismus <math>\phi \colon M \to N</math> und jede 1-Dichte <math>\mu \in \Gamma^\infty_c(|\Lambda^n(N)|^1)</math> gilt<br /><math style="margin-left:2em">\int_M \phi^* \mu = \int_N \mu.</math>
* Das Integral ist lokal, das heißt, für jede Teilmenge <math>U \subset M</math> und jede 1-Dichte <math>\mu \in \Gamma^\infty_c(|\Lambda^n(M)|^1)</math> mit <math>\operatorname{supp}(\mu) \subset U</math> gilt<br /><math style="margin-left:2em">\int_M \mu = \int_U \mu.</math>
* Für jedes <math>\rho \in C^\infty_c(\R^n)</math> gilt<br /><math style="margin-left:2em">\int_{\R^n} \rho|\mathrm{d}v| = \int_{\R^n} \rho \mathrm{d} x.</math><br />Das rechte Integral ist ein normales [[Lebesgueintegral]] einer glatten Funktion mit kompaktem Träger.

=== L<sup>1</sup>-Raum ===
Sei <math>\mu \in |\Lambda^n(M)|^1</math> eine messbare 1-Dichte mit kompaktem Träger. Existiert das Integral <math>\textstyle \int_M |\mu|</math>, so nennt man <math>\mu</math> einen <math>L^1</math>-Schnitt dessen Norm durch
:<math>\|\mu\|_{L^1} := \int_M |\mu|</math>
gegeben ist. Die Vervollständigung dieser Menge bezüglich der gegebenen Norm liefert den Raum <math>L^1(M,|\Lambda^n(M)|^1).</math> Ist die Mannigfaltigkeit kompakt, so bewirkt die Vervollständigung nichts.

=== L<sup>p</sup>-Räume ===
Seien nun <math>\mu \in |\Lambda^n(M)|^r</math> und <math>\nu \in |\Lambda^n(M)|^{1-r}</math> und eine der beiden Dichten habe kompakten Träger. Dann ist aufgrund der Eigenschaft zwei aus dem Abschnitt Dualraum <math>\mu \otimes \nu = \mu \cdot \nu \in |\Lambda^n(M)|^1</math> und hat kompakten Träger. Somit ist <math>\mu \cdot \nu</math> integrierbar.

Ist <math>\int_M |\mu|^p</math> integrierbar so spricht man analog von einem <math>L^p</math>-Schnitt dessen Norm durch
:<math>\|\mu\|_{L^p} := \int_M |\mu|^p</math>
gegeben ist. Die Vervollständigung liefert den Raum <math>L^p(M,|\Lambda^n(M)|^{\frac{1}{p}}).</math> Ebenfalls wieder wegen Eigenschaft zwei aus dem Abschnitt Dualraum ist der Raum <math>L^q(M,|\Lambda^n(M)|^{\frac{1}{q}})</math> mit <math>\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1</math> der Dualraum zu <math>L^p(M,|\Lambda^n(M)|^{\frac{1}{p}}).</math>

== Beispiele ==
=== Dichtebündel über dem reellen Raum ===
Sei <math>M=\R^n</math> die zu betrachtende Mannigfaltigkeit. Das [[Tangentialbündel]] <math>T\R^n</math> ist ein [[triviales Vektorbündel]], daher existieren in <math>T\R^n</math> und im Dichtebündel <math>\Lambda^n(\R^n)</math> globale Schnitte. Sei <math>e_1, \ldots, e_n</math> die kanonische [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>\R^n</math>, dann ist <math>e_1 \wedge \cdots \wedge e_n</math> eine Basis des eindimensionalen Raums <math>\Lambda^n(\R^n)</math>. Es gibt dann einen glatten nirgends verschwindenden Schnitt <math>\textstyle |\mathrm{d} \nu_n| \in |\Lambda^n(\R^n)|^1</math>, der durch
:<math>|\mathrm{d} \nu_n|(e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) = 1</math>
definiert ist. Für jede glatte Abbildung <math>f \colon \R^n \to \R</math> ist <math>\mu = f|\mathrm{d} \nu_n|</math> eine glatte 1-Dichte. Das Objekt <math>|\mathrm{d} \nu_n|</math> kann als das [[Lebesgue-Maß]] verstanden werden.<ref name="Nicolaescu108">Liviu I. Nicolaescu: ''Lectures on the geometry of manifolds.'' 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270-853-3, S. 108.</ref>

Sei <math>\phi = (\phi_1, \ldots , \phi_n) \colon \R^n \to \R^n</math> ein glatter [[Diffeomorphismus]], dann gilt
:<math>\phi^*(|\mathrm{d} \nu_n|) = \left|\det\left(\frac{\partial \phi_i}{\partial x^j}\right)\right| \cdot |\mathrm{d} \nu_n|.</math>
Dabei bezeichnet <math>\textstyle \left(\frac{\partial \phi_i}{\partial x^j}\right)</math> die [[Jacobi-Matrix]] von <math>\phi</math>.<ref name="Nicolaescu108" /> Diesen Zusammenhang findet man auch bei der Koordinatentransformation von Integralen. Vergleiche dazu auch [[Transformationssatz]].

=== Riemannsche Dichte ===
Sei <math>(M,g)</math> eine n-dimensionale [[riemannsche Mannigfaltigkeit]], dann existiert für das Tangentialbündel ein [[orthonormaler Rahmen]] <math>e_1, \ldots e_n</math> bezüglich der riemannschen Metrik. Der eindeutig bestimmte globale Schnitt <math>|\mathrm{d} x| \in \Gamma(M, |\Lambda^n(M)|)</math> mit
:<math>|\mathrm{d} x|(e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) = 1</math>
heißt riemannsche Dichte. Dieser Schnitt existiert ohne weitere Voraussetzungen immer.<ref>Nicole Berline, [[Ezra Getzler]], [[Michèle Vergne]]: ''Heat kernels and Dirac operators'' (= ''Grundlehren der mathematischen Wissenschaften'' 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 33.</ref>

=== Tensordichte ===
{{Hauptartikel|Tensordichte}}

Ersetze in der Definition von <math>|\Lambda^n(M)|^r := |\Lambda^n(TM)|^r</math> das Tangentialbündel <math>TM</math> durch das [[Tensorbündel]] <math>T^r_s(TM).</math> Dann heißt das davon induzierte Dichtebündel <math>|\Lambda^n(T^r_s(TM))|^r</math> das <math>r</math>-Tensordichtebündel. Im Fall <math>r=0</math> heißen die Elemente [[Tensorfeld|Tensorfelder]].

=== Distributionen ===
Da man wie weiter oben im Artikel beschrieben 1-Dichten über Teilmengen einer Mannigfaltigkeit integrieren kann, erlaubt dies nun Distributionen auf Mannigfaltigkeiten zu definieren. Sei <math>\Gamma_c^\infty(|\Lambda^n(M)|^1)</math> der Raum der glatten Schnitte <math>M \to |\Lambda^n(M)|^1</math> mit kompaktem [[Träger (Mathematik)|Träger]]. So kann man eine von <math>f</math> induzierte Distribution
:<math>T_f \colon \Gamma_c^\infty(|\Lambda^n(M)|^1) \to C^\infty(\R)</math>
definieren durch
:<math>\omega \mapsto \int f \omega.</math>
Aus diesem Grund setzt man
:<math>\mathcal{D}(M,|\Lambda^n(M)|^1) := \Gamma_c^\infty(|\Lambda^n(M)|^1).</math>
Dies ist der Raum der glatten Schnitte mit kompaktem Träger, welcher analog zum Raum der Testfunktionen mit kompaktem Träger definiert ist. Der Raum der Distributionen ist dann analog zur reellen Analysis als topologischer Dualraum definiert. Man setzt also
:<math>\mathcal{D}'(M) := (\mathcal{D}(M,|\Lambda^n(M)|^1))'.</math>

== Literatur ==
* Liviu I. Nicolaescu: ''Lectures on the geometry of manifolds.'' 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270-853-3.
* S. R. Simanca: ''Pseudo-differential operators'' (= ''Pitman Research Notes in Mathematics Series'' 236). Longman Scientific & Technical u. a., Harlow u. a. 1990, ISBN 0-582-06693-X.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Dichtebundel}}
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]