Quelltext der Seite Dichte Teilmenge

Im [[Mathematik|mathematischen]] Fachgebiet [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] ist eine '''dichte Teilmenge''' eines [[Metrischer Raum|metrischen]] oder [[Topologischer Raum|topologischen Raumes]] eine Teilmenge dieses Raumes mit besonderen Eigenschaften. Der Begriff ''dichte Teilmenge'' wird in seiner allgemeinen Form in der Topologie definiert. Er wird auch in vielen anderen Teildisziplinen der Mathematik, etwa der [[Analysis]], der [[Funktionalanalysis]] und der [[Numerik]] angewandt, zum Beispiel bei der [[Satz von Stone-Weierstraß|Approximation von stetigen Funktionen durch Polynome]].

Man sagt von einer Teilmenge, sie liege dicht in einem metrischen Raum, wenn man jeden Punkt des Gesamtraums beliebig genau durch einen Punkt aus der Teilmenge approximieren kann. So bilden die [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>\mathbb{Q}</math> eine dichte Teilmenge in der Menge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\mathbb{R}</math>. Das bedeutet, dass man [[irrationale Zahl]]en beliebig genau durch rationale [[Bruchrechnung|Brüche]] beziehungsweise durch endliche [[Kommazahl|Dezimalzahlen]] approximieren kann.
Allgemeiner sagt man von einer Teilmenge <math>A</math>, sie liege dicht in einem topologischen Raum <math>X</math>, wenn jede [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] eines beliebigen Punktes <math>x</math> aus <math>X</math> immer auch ein Element aus <math>A</math> enthält.

== Definition in metrischen Räumen ==
Gegeben sei ein [[metrischer Raum]] <math> (X, d) </math> (wie beispielsweise ein [[normierter Raum]] <math> (X, \| \cdot \| ) </math> mit der Metrik <math> d(x,y)=  \| x-y \| </math>).

Dann heißt eine Menge <math> M \subseteq X</math> dicht in <math> X </math>, wenn eine der folgenden äquivalenten Aussagen zutrifft:
* Zu jedem <math> x \in X </math> und jedem <math> r > 0 </math> existiert ein Punkt <math> y \in M </math>, so dass <math> d(x,y)< r </math> ist.
* Zu jedem <math> x \in X </math> und jedem <math> r > 0 </math> existiert ein Punkt <math> y \in M </math>, so dass <math> y \in B_r(x) </math> ist. Dabei bezeichnet <math>B_r(x) </math> die [[offene Kugel]] um <math> x </math> mit Radius <math> r </math>.
* Zu jedem <math> x \in X </math> existiert eine Folge <math> (x_n)_{n \in \N} </math> von Punkten aus <math> M </math>, so dass <math>\textstyle \lim_{n \to \infty} x_n = x </math> ist.
* Die [[abgeschlossene Hülle]] der Menge <math> M </math> ist der ganze Raum, also <math>\overline M = X </math>.

Die obige Definition durch den Grenzwert einer Folge ist so nicht auf allgemeine topologische Räume übertragbar. Die Konvergenz von Folgen muss hierfür durch die [[Filterkonvergenz]] oder die Konvergenz von [[Netz (Topologie)|Netzen]] verallgemeinert werden.

== Beispiele ==
* Die Menge der [[rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>\mathbb{Q}</math> liegt dicht in der Menge der [[reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\mathbb{R}</math>.
* Die Menge der [[irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]] liegt dicht in der Menge der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math>.
* Die Menge der [[Polynom]]e liegt dicht in der Menge der [[stetig]]en Funktionen auf einem kompakten Intervall.
* Die Menge der [[Testfunktion]]en liegt dicht in der Menge der [[Lebesgue-Integral|Lebesgue-integrierbaren]] Funktionen.
* Sei <math>M</math> eine Teilmenge eines mittels <math>\|\cdot\|</math> [[Normierter Raum|normierten Raums]] <math>X</math>. Bezeichnet man mit <math>\overline{M}</math> die [[abgeschlossene Hülle]] dieser Menge bezüglich der [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot\|</math>, so liegt <math>M</math> dicht in <math>\overline{M}</math>.
* Die Menge der [[natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>\mathbb{N}</math> liegt ''nicht'' dicht in der Menge der rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q}</math>, sie ist sogar nirgends dicht in <math>\mathbb{Q}</math>.
* Die [[Cantor-Menge]] ist eine überabzählbare, abgeschlossene und nirgends dichte Teilmenge der reellen Zahlen.
* Das Intervall <math>[-1,1]</math> liegt nicht dicht in den reellen Zahlen, ist aber auch nicht nirgends dicht, denn es liegt dicht in <math>[-1,1]</math>, was eine Umgebung der Null ist.
* Der Raum <math>C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)</math> der auf <math>\mathbb{R}^n</math> [[Testfunktion|glatten Funktionen mit kompaktem Träger]] liegt dicht im Raum <math>L^2(\mathbb{R}^n)</math> der [[Lp-Raum#Der Hilbertraum L2|quadratintegrierbaren Funktionen]].

== Definition in topologischen Räumen ==
Gegeben sei ein [[topologischer Raum]] <math> (X, \mathcal O) </math>. Dann ist eine Menge <math> M </math> genau dann dicht (in <math> X </math>), wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
* Der [[Abgeschlossene Hülle|Abschluss]] von <math> M </math> entspricht der [[Obermenge]], es gilt also <math>\overline M=X</math>.
* Die Menge <math> M </math> schneidet jede nichtleere offene Menge, es ist also <math> M \cap O \neq \emptyset </math> für alle <math> O \in \mathcal O </math>.
* Jede [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] in <math>X</math> enthält einen Punkt aus <math>M</math>.

Eine Menge <math> M </math> heißt dicht in <math> Y \subset X </math>, wenn sie dicht bezüglich der [[Teilraumtopologie]] <math> \mathcal O_Y </math> ist. Teils werden dann die in der Obermenge <math> X </math> dichten Mengen auch ''überall dicht'' genannt.<ref> {{EoM| Autor = M.I. Voitsekhovskii| Titel = Dense set| Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Dense_set| id = }}</ref>

== Eigenschaften ==
* Inklusion: Ist <math>A</math> dicht in <math>X</math> und <math>A\subseteq B\subseteq X</math>, so liegt auch <math>B</math> dicht in <math>X</math>.
* Transitivität: Ist <math>X</math> dicht in <math>Y</math> und <math>Y</math> dicht in <math>Z</math>, so liegt <math>X</math> schon dicht in <math>Z</math>.
* Erhaltung unter stetigen Abbildungen: Ist <math>A</math> dicht in <math>X</math> und <math>f\colon X\to Y</math> eine stetige Abbildung, so liegt <math>f(A)</math> dicht in <math>f(X)</math>.

In der letzten Eigenschaft wird <math>f(X)</math> mit der [[Unterraumtopologie]] von <math>Y</math> versehen; der Begriff der ''dichten Teilmenge'' ist dann bezüglich dieser Unterraumtopologie zu verstehen.

== Linear geordnete Mengen ==
Ein Spezialfall des topologischen Begriffes ''dicht'' ergibt sich durch die Anwendung auf geordnete Mengen. Eine Teilmenge <math>S</math> einer streng totalgeordneten Menge <math>(M, <)</math> heißt [[Dichte Ordnung|dicht]] (in <math>M</math>), wenn es zu allen <math>x</math> und <math>y</math> aus <math>M</math> mit <math>x < y</math> ein <math>z</math> aus <math>S</math> gibt, so dass <math>x < z < y</math>. Dieser Spezialfall ergibt sich durch die [[Ordnungstopologie]] auf <math>M</math> und wird dort näher erläutert.

== Partiell geordnete Mengen ==

In partiell geordneten Mengen, die in der [[Forcing]]-Theorie verwendet werden, ist eine andere Topologie üblich.  Für eine partiell geordnete Menge <math>(P,\le)</math> bilden die Mengen <math>U_p:= \{q\in P\mid q\le p\}</math> (für <math>p\in P</math>) die Basis einer Topologie <math>\tau_\le</math>.  Eine Menge <math>D\subseteq P</math> genau dann dicht bezüglich <math>\tau_\le</math>, wenn es für jedes Element <math>p</math> von <math>P</math> ein Element <math>d\in D</math> gibt, welches <math>d\le p</math> erfüllt.

== Weiterführende Begriffe ==
=== Nirgends dichte Mengen ===
{{Hauptartikel|Nirgends dichte Menge}}
Eine nirgends dichte Menge ist eine Teilmenge <math> A </math> eines topologischen Raumes, bei der das [[Innerer Punkt|Innere]] ihres [[Abgeschlossene Hülle|Abschlusses]] leer ist. Es gilt also
:<math> \operatorname{Int}( \overline A )= \emptyset </math>.

Entgegen ihrem Namen sind nirgends dichte Mengen ''nicht'' das Gegenteil oder Komplement von dichten bzw. überall dichten Mengen. Genauer ist eine Menge genau dann nirgends dicht, wenn sie in keiner (nichtleeren) offenen Menge dicht ist. Somit sind dichte Mengen nie nirgends dicht, da sie immer in der offenen Menge <math> X </math> dicht sind. Umgekehrt gibt es aber sowohl nicht dichte Mengen, die nirgends dicht sind (wie die ganzen Zahlen <math> \Z </math> in <math> \R </math>) als auch nicht dichte Mengen, die nicht nirgends dicht sind (wie das Intervall <math> [2,3] </math> in <math> \R </math>.)

=== Separable und polnische Räume ===
Ein topologischer Raum heißt ein [[separabler Raum]], wenn er eine [[Abzählbare Menge|abzählbare]], dichte Menge enthält. Dies erleichtert häufig die Beweisführung, somit sind separable Räume „leichter“ zu handhaben. Noch stärker ist der Begriff des [[Polnischer Raum|polnischen Raumes]], dies ist ein topologischer Raum, der eine abzählbare dichte Teilmenge enthält und [[Vollständiger Raum|vollständig]] [[Metrisierbarer Raum|metrisierbar]] ist.

== Weblinks ==
* {{MathWorld| id = Dense| title = Dense| author = }}

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=[[Boto von Querenburg]]|Titel=Mengentheoretische Topologie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Datum=2001|ISBN=9783540677901|DOI=10.1007/978-3-642-56860-2}}
* Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: ''Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie'' (= ''Berliner Studienreihe zur Mathematik.'' Bd. 15). Heldermann, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X.
* {{Literatur|Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]|Titel=Funktionalanalysis|Auflage=7., korrigierte und erweiterte Auflage|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Heidelberg Dordrecht London New York|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-21016-7|DOI=10.1007/978-3-642-21017-4}}

== Einzelnachweise ==
<references />{{Normdaten|TYP=s|GND=4371245-9}}
[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]