Quelltext der Seite Diagonaler Schnitt

Im mathematischen Teilgebiet der [[Mengenlehre]] ist der '''diagonale Schnitt''' eine dem Durchschnitt verwandte Konstruktion, einer Familie von Mengen eine neue, nämlich ihren diagonalen Schnitt, zuzuordnen. Die Elemente des diagonalen Schnitts der Familie <math>(X_\alpha)_\alpha</math> sind gewisse [[Index (Mathematik)|Indizes]] <math>\alpha</math>, die ihrerseits wieder gewissen der Mengen <math>X_\xi</math> angehören. Die hier zu besprechende Begriffsbildung ist daher nur dann sinnvoll, wenn die Indizes selbst als Elemente der Mengen auftreten, daher betrachtet man mit [[Ordinalzahl]]en indizierte Mengen von Ordinalzahlen.

== Definition ==
Es sei <math>\kappa</math> eine [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] und <math>(X_\alpha)_{\alpha<\kappa}</math> eine Familie von Mengen <math>X_\alpha \subset \kappa</math>. Dann heißt
:<math>\Delta_{\alpha< \kappa}X_\alpha \,=\, \{\xi < \kappa;\, \xi \in \bigcap_{\alpha < \xi}X_\alpha\} </math>
der diagonale Schnitt der Familie <math>(X_\alpha)_{\alpha<\kappa}</math>.

== Eigenschaften ==

[[Bild:DiagonalerSchnitt.PNG|thumb|300px|right|Der diagonale Schnitt enthält genau die Elemente der Diagonalen, die auch in der Relation <math>R</math> liegen.]]

Es mögen die Daten obiger Definition vorliegen. Natürlich ist der Durchschnitt im diagonalen Schnitt enthalten, das heißt, es gilt <math>\bigcap_{\alpha < \kappa}X_\alpha \subset \Delta_{\alpha< \kappa}X_\alpha </math>, denn ist <math>\xi< \kappa</math> in jeder der Mengen <math>X_\alpha</math> enthalten, so erst recht in <math>\bigcap_{\alpha < \xi}X_\alpha</math>, und das ist genau die definierende Bedingung für die Zugehörigkeit von <math>\xi</math> zu <math>\Delta_{\alpha< \kappa}X_\alpha</math>.

Setzt man <math>Y_\xi := \bigcap_{\alpha < \xi}X_\alpha</math>, so ist <math>\xi \mapsto Y_\xi</math> eine fallende Funktion <math>\kappa \rightarrow P(\kappa)</math>, wobei <math>P</math> für die [[Potenzmenge]] steht, das heißt, aus <math>\xi < \eta</math> folgt <math>Y_\xi \supset Y_\eta</math>. Nach Definition ist <math>\xi \in Y_\xi</math> äquivalent zu <math>\xi \in \Delta_{\alpha< \kappa}X_\alpha</math>. Auf dem [[Kartesisches Produkt|kartesischen Produkt]] <math>\kappa \times \kappa</math> definiere die [[Relation (Mathematik)|Relation]] <math>R:=\{(\xi,\eta);\, \xi \in Y_\eta\}</math> und die ''Diagonale'' <math>d:\kappa \rightarrow \kappa \times \kappa,\, \xi \mapsto (\xi,\xi)</math>. Dann ist der diagonale Schnitt genau die Menge derjenigen Ordinalzahlen <math>\xi</math>, für die das Diagonalelement <math>(\xi,\xi)</math> in <math>R</math> liegt:
: <math>\Delta_{\alpha< \kappa}X_\alpha = d^{-1}(R) = \{\xi < \kappa;\, \xi\in Y_\xi\}</math>.
Die Mitgliedschaft von <math>\xi</math> zum diagonalen Durchschnitt hängt nur von der Mitgliedschaft in den ersten <math>X_\alpha, \alpha < \xi</math> ab. Das wird in der folgenden Formel besonders deutlich:
:<math>\Delta_{\alpha< \kappa}X_\alpha = \bigcap_\alpha (X_\alpha\cup\{\xi; \xi\le\alpha\})</math>

== Beispiel ==
Um zu demonstrieren, wie der hier vorgestellte Begriff funktioniert, soll folgende einfache Aussage bewiesen werden:
* Es sei <math>\kappa</math> eine Kardinalzahl und für eine Ordinalzahl <math>\alpha < \kappa</math> sei <math>X_\alpha := \{\xi < \kappa;\, \alpha + 1 < \xi < \kappa\}</math>. Dann gilt
: <math>\Delta_{\alpha< \kappa}X_\alpha = \{\xi < \kappa;\, \xi \text{ ist eine Limes-Ordinalzahl}\}</math>

Beweis: „<math>\subset</math>“: Ist <math>\xi\in \Delta_{\alpha< \kappa}X_\alpha</math>, so ist <math>\xi \in \bigcap_{\alpha < \xi}X_\alpha</math>, also <math>\xi \in X_\alpha</math> für alle <math>\alpha < \xi</math>. Für alle <math>\alpha < \xi</math> gilt also <math>\alpha +1 < \xi</math>, daher ist <math>\xi = \sup_{\xi<\alpha}\alpha</math> eine [[Limes-Ordinalzahl]].

„<math>\supset</math>“: Ist umgekehrt <math>\xi = \sup_{\alpha < \xi}\alpha </math> eine Limes-Ordinalzahl, so ist <math>\alpha + 1 < \xi</math> für alle <math>\alpha < \xi</math> und daher <math>\xi \in \bigcap_{\alpha < \xi}X_\alpha</math>, was genau die definierende Bedingung für <math>\xi\in \Delta_{\alpha< \kappa}X_\alpha</math> ist.

== Verwendung ==

Der diagonale Schnitt findet besonders in der Untersuchung [[Überabzählbarkeit|überabzählbarer]] [[Reguläre Kardinalzahl|regulärer Kardinalzahlen]] Anwendung. 
Ein [[Filter (Mathematik)|Filter]] auf einer Kardinalzahl <math>\kappa</math> heißt ''normal'', wenn er gegenüber der Bildung diagonaler Schnitte abgeschlossen ist, das heißt, <math>\Delta_{\alpha< \kappa}X_\alpha</math> ist wieder Element des Filters, wenn alle <math>X_\alpha</math> es sind.
So ist etwa der [[club-Filter]] auf einer überabzählbaren regulären Kardinalzahl normal. 
Diese Tatsache wird zum Beispiel im [[Satz von Fodor]] verwendet.

== Diagonale Vereinigung ==
Der zum diagonalen Schnitt duale Begriff ist die ''diagonale Vereinigung''. Ist <math>\kappa</math> eine Kardinalzahl und <math>(X_\alpha)_{\alpha<\kappa}</math> eine Familie von Mengen <math>X_\alpha \subset \kappa</math>, so heißt
: <math>\Sigma_{\alpha < \kappa}X_\alpha := \{\xi < \kappa;\, \xi \in \bigcup_{\alpha<\xi} X_\alpha \}</math>
die diagonale Vereinigung der [[Mengenfamilie]] <math>(X_\alpha)_{\alpha<\kappa}</math>.

Die Definition ist gerade so angelegt, dass
<math>\kappa \setminus \Sigma_{\alpha < \kappa}X_\alpha = \Delta_{\alpha< \kappa}(\kappa \setminus X_\alpha)</math>
gilt.

== Literatur ==
* [[Thomas Jech]]: ''Set Theory.'' 3. millenium edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2, Kapitel 8.

[[Kategorie:Mengenlehre]]