Quelltext der Seite Defekt (Mathematik)

Der '''Defekt''' ist innerhalb der [[Mathematik]] ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]]. Es handelt sich um eine [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]], die man einer [[Lineare Abbildung|linearen Abbildung]] oder einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] [[Funktion (Mathematik)|zuordnet]].

== Definition für lineare Abbildungen ==

Seien <math>V</math> und <math>W</math> zwei endlichdimensionale [[Vektorraum|Vektorräume]], die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] von <math>V</math> sei <math>n</math>, die Dimension von <math>W</math> sei <math>m</math>. Sei weiter <math> f\colon V \to W</math> eine lineare Abbildung. Dann ist der Defekt dieser Abbildung als die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] des [[Kern (Algebra)|Kerns]] der Abbildung definiert, kurz 
:<math>\operatorname{def}(f) = \operatorname{dim} (\operatorname{ker}(f))</math>.<ref>Michael Artin: ''Algebra.'' Birkhäuser, Basel u. a. 1998, ISBN 3-7643-5938-2, S. 123 ({{Google Buch |BuchID=3AKfV7g2CiAC |Seite=123}}).</ref>

== Defekt bei Matrizen ==
Eine [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A\in\mathbb{K}^{m\times n}</math> mit Elementen aus einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> kann als lineare Abbildung <math>f_A: \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^m,  x\mapsto Ax</math> interpretiert werden.
In diesem Sinne wird der Defekt der Matrix <math>A</math> durch
:<math>\operatorname{def}(A):=\operatorname{def}(f_A)</math>
definiert. Der Defekt von <math>A</math> ist also gleich der Dimension des [[Lösungsraum]]s des [[Homogene Gleichung|homogenen]] [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] <math>A x = 0</math>.

Ist&nbsp;<math>A</math> die [[Nullmatrix]], so ist&nbsp;<math>\operatorname{def}(A)</math> gleich der Spaltenzahl von <math>A</math>. Andernfalls ist <math>\operatorname{def}(A)</math> gleich der maximalen Anzahl von Spalten, die man so aus <math>A</math> streichen kann, dass die verkleinerte Matrix das gleiche [[Bild (Mathematik)|Bild]] wie <math>A</math> hat. Die gestrichenen Spalten sind dann von den in der verkleinerten Matrix verbleibenden Spalten linear abhängig.

=== Berechnung ===

Vor allem für die Handrechnung bei kleinen Matrizen eignet sich das [[Gaußsches Eliminationsverfahren|gaußsche Eliminationsverfahren]] mit Zeilen- und Spaltentausch zur Bestimmung des Defektes.
Jede Matrix <math>A\in\mathbb{K}^{m\times n}</math> lässt sich mit diesem Verfahren in eine äquivalente Matrix <math>\bar A</math> mit <math>\bar A_{i,j}=0</math> für <math>i>j</math> umformen, bei der mit einem <math>r\in\{0,\ldots,m\}</math> die Diagonalelemente der ersten <math>r</math> Zeilen mit Nichtnullelementen besetzt sind und die übrigen Zeilen Nullzeilen sind (<math>r</math> ist der [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] der Matrix <math>A</math>). Der Defekt dieser Matrix ist dann <math>\operatorname{def}(A) = n-r</math> (das ist die Aussage des [[Rangsatz]]es).

Sei vorausgesetzt, dass <math>A</math> nicht die Nullmatrix ist.
Streicht man aus <math>A</math> diejenigen Spalten, die den Spalten <math>r+1,\ldots,n</math> in der Matrix <math>\bar A</math> entsprechen (hierbei sind während des gaußschen Eliminationsverfahrens erfolgte Spaltenvertauschungen zu berücksichtigen), so hat die verkleinerte Matrix das gleiche Bild wie <math>A</math>. Beim Streichen weiterer Spalten (falls das möglich ist) verkleinert sich das Bild der Matrix.

Bei quadratischen Matrizen (also für <math>m=n</math>) ist der Defekt von <math>A</math> gleich der Anzahl der Nullzeilen in <math>\bar A</math>.

Numerisch stabiler, jedoch auch aufwendiger als das gaußsche Eliminationsverfahren ist die Bestimmung des Defektes einer Matrix mittels [[Singulärwertzerlegung]].

=== Beispiele ===
:<math>A =
   \begin{pmatrix}
    1 &  2 &  3 \\
    0 &  5 &  4 \\
    0 &  10 &  2
  \end{pmatrix}
  \rightsquigarrow
    \bar A=\begin{pmatrix}
    1 &  2 &  3 \\
    0 &  5 &  4 \\
    0 &  0 &  -6
  \end{pmatrix}

 \Rightarrow n=3, r=3

 \Rightarrow \mathrm{def}(A) = 0
</math>
:<math>A =
   \begin{pmatrix}
    1 &  2 &  3 \\
    0 &  6 &  4 \\
    0 &  3 &  2
  \end{pmatrix}
\rightsquigarrow
    \bar A =
    \begin{pmatrix}
    1 &  2 &  3 \\
    0 &  6 &  4 \\
    0 &  0 &  0
  \end{pmatrix}

  \Rightarrow n=3, r=2 

 \Rightarrow \mathrm{def}(A) = 1,
</math>

Ein Spaltentausch war nicht notwendig, also hat die Matrix
:<math>\begin{pmatrix}
   1 &  2 \\
    0 &  6 \\
    0 &  3
\end{pmatrix},
</math>
die aus <math>A</math> durch Streichen der letzten Spalte entsteht, dasselbe Bild wie <math>A</math>.
:<math>
A=\begin{pmatrix}
1&2&3\\
4&5&6
\end{pmatrix}
\rightsquigarrow
\bar A =
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
0&-3&-6
\end{pmatrix}
\Rightarrow

n=3, r=2
\Rightarrow

\operatorname{def}(A) = 1
</math>
Spaltentausch war wiederum nicht notwendig, also hat diese Matrix das gleiche Bild wie
<math>
\begin{pmatrix}
1&2\\
4&5
\end{pmatrix}.
</math>

:<math>
A=\begin{pmatrix}
1&2\\
3&4\\
5&6
\end{pmatrix}
\rightsquigarrow
\bar A=\begin{pmatrix}
1&2\\
0&-2\\
0&0
\end{pmatrix}
\Rightarrow

n=2,r=2
\Rightarrow

\operatorname{def}(A)=0
</math>

== Rangsatz ==

''Hauptartikel:'' [[Rangsatz]]

Der Rangsatz stellt einen Zusammenhang zwischen dem Defekt und dem [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] <math>\operatorname{rg}(f)</math> einer linearen Abbildung <math>f \colon V \to W</math> her:
:<math>\dim V = \operatorname{def}(f) + \operatorname{rg}(f)</math>

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]