Quelltext der Seite De-Rham-Kohomologie

Die '''De-Rham-Kohomologie''' (nach [[Georges de Rham]]) ist eine mathematische Konstruktion aus der [[Algebraische Topologie|Algebraischen Topologie]], welche die [[Kohomologie]] für [[glatte Mannigfaltigkeit]]en entwickelt, also für Kurven, Flächen und andere geometrische Objekte, die aus der Sicht der Analysis lokal aussehen wie ein euklidischer Raum. Diese Kohomologie benutzt den [[Satz von Stokes]] in seiner verallgemeinerten Form, der den [[Fundamentalsatz der Analysis]] erweitert und eine Verbindungslinie von der [[Differentialgeometrie]] zur Algebraischen Topologie eröffnet. Das Analogon der De-Rham-Kohomologie für [[Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexe Mannigfaltigkeiten]] ist die [[Dolbeault-Kohomologie]].

== {{Anker|De-Rham-Komplex}} De-Rham-Komplex ==
=== Definition ===
Sei <math>X</math> eine [[glatte Mannigfaltigkeit]] und <math>\Omega^p(X)</math> die Menge der [[Differentialform|p-Formen]] auf <math>X</math>. Der De-Rham-Komplex <math>\left(\Omega^p(X) , d^p\right)</math> ist der [[Kokettenkomplex]]
: <math>0\longrightarrow C^\infty(X) \cong \Omega^0(X) \stackrel{\mathrm{d}^0}{\longrightarrow} \Omega^1(X) \stackrel{\mathrm{d}^1}{\longrightarrow} \Omega^2(X)\stackrel{\mathrm{d}^2}{\longrightarrow} \ldots</math>.
Die Abbildungen <math>\mathrm{d}^p \colon \Omega^p(X)\to\Omega^{p+1}(X)</math> sind durch die [[Cartan-Ableitung]] gegeben.

=== De-Rham-Komplex im dreidimensionalen Raum ===
Wählt man den <math>\R^3</math> als zugrundeliegende Mannigfaltigkeit so hat der De-Rham-Komplex eine besondere Form. In diesem Fall entsprechen die Cartan-Ableitungen <math>\mathrm{d}^p</math> den aus der [[Vektoranalysis]] bekannten Differentialoperatoren [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] <math>\mathrm{grad}</math>, [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] <math>\mathrm{div}</math> und [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] <math>\mathrm{rot}</math>. Konkret heißt es, dass das Diagramm

:<math>\begin{array}{rcccccccccl}
0 & \longrightarrow & \Omega^0(\R^3)   & \stackrel{\mathrm{d}^0}{\longrightarrow} & \Omega^1(\R^3) & \stackrel{\mathrm{d}^1}{\longrightarrow} & \Omega^2(\R^3) & \stackrel{\mathrm{d}^2}{\longrightarrow} & \Omega^3(\R^3) & \longrightarrow 0\\
  &  & \big\downarrow = &  & \big\downarrow \sharp &  & \big\downarrow \sharp \circ \star & &  \big\downarrow \star\\
0 & \longrightarrow & C^\infty(\R^3) & \stackrel{\mathrm{grad}}{\longrightarrow} & C^\infty(\R^3,\R^3) & \stackrel{\mathrm{rot}}{\longrightarrow} & C^\infty(\R^3,\R^3) & \stackrel{\mathrm{div}}{\longrightarrow} & C^\infty(\R^3) & \longrightarrow 0
\end{array}</math>

[[Kommutatives Diagramm|kommutiert]], man also das gleiche Ergebnis erhält egal welchen Pfeilen man folgt. Die Abbildungen <math>\sharp</math> und <math>\star</math> sind [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]]. So ist <math>\sharp</math> der [[Cartan-Ableitung#Be- und Kreuz- .28Flat- und Sharp-.29 Isomorphismus|Sharp-Isomorphismus]] und <math>\star</math> der [[Hodge-Stern-Operator]].

== Definition der De-Rham-Kohomologie ==
Sei <math>X</math> eine glatte Mannigfaltigkeit. Die <math>k</math>-te De-Rham-Kohomologie-Gruppe <math>\mathrm H^k_{\mathrm{dR}}(X)</math> ist definiert als die <math>k</math>-te [[Kohomologie|Kohomologie-Gruppe]] des De-Rham-Komplexes. Insbesondere gilt <math>\mathrm H^k_{\mathrm{dR}}(X)=0</math> für <math>k>\dim X.</math>

== Geschichte ==
In seiner Pariser Dissertation (1931) bewies [[Georges de Rham]] mit seinem Satz eine Vermutung von [[Élie Cartan]], die ihrerseits auf Überlegungen von [[Henri Poincaré]] zurückging. Da die Kohomologie eines topologischen Raumes erst einige Jahre später thematisiert wurde, arbeitete er tatsächlich mit der Homologie und dem (aufgrund des [[Satz von Stokes|Satzes von Stokes]]) dualen Komplex der ''n''-Ketten.

== Homotopieinvarianz ==
Seien <math>M</math> und <math>N</math> zwei [[Homotopieäquivalenz|homotopieäquivalente]] glatte Mannigfaltigkeiten, dann gilt für jedes <math>p \in \N \cup \{0\}</math>
:<math> \mathrm H^p_{\mathrm{dR}}(M) \cong \mathrm H^p_{\mathrm{dR}}(N)</math>.
Da also zwei homotope, glatte Mannigfaltigkeiten bis auf Isomorphie die gleiche De-Rham-Kohomologie besitzen, ist diese Kohomologie eine topologische Invariante einer glatten Mannigfaltigkeit. Das ist bemerkenswert, da bei der Definition der De-Rham-Gruppe die differenzierbare Struktur der Mannigfaltigkeit eine wichtige Rolle spielt. Man hat also erstmal keinen Grund anzunehmen, dass eine topologische Mannigfaltigkeit mit unterschiedlichen differenzierbaren Strukturen dieselben De-Rham-Gruppen hat.

== Satz von de Rham ==
Die zentrale Aussage in der Theorie der De-Rham-Kohomologie wird Satz von de Rham genannt. Er besagt, dass die De-Rham-Kohomologie <math>H^*_{\mathrm{dR}}(X)</math> glatter Mannigfaltigkeiten [[Kategorientheorie|natürlich]] [[isomorph]] zur [[singuläre Kohomologie|singulären Kohomologie]] <math>\mathrm H^*_{\mathrm{sing}}(X,\mathbb R)</math> mit Koeffizienten in den reellen Zahlen ist. Mit <math>H_*^{\mathrm{sing}}(X)</math> wird die [[singuläre Homologie]] bezeichnet. Es gilt also
: <math>\mathrm H^*_{\mathrm{sing}}(X,\mathbb R)\cong\mathrm H^*_{\mathrm{dR}}(X).</math>
Sei <math>[c] \in H_p^{\mathrm{sing}}(X)</math> ein Element der p-ten singulären Homologiegruppe. Dann wird der Isomorphismus durch die Abbildung
:<math>\omega \in H^p_{\mathrm{dR}}(X) \mapsto \left(c \mapsto \int_c \omega \right) \in \operatorname{Hom}\left(H_p^{\mathrm{sing}}(X), \R\right)</math>
beschrieben, wobei <math>c</math> ein glatter [[Zykel (Topologie)|Zykel]] aus der Homologieklasse <math>[c]</math> ist. Dabei wurde <math>H^*_{\mathrm{sing}}(X,\mathbb R)</math> mit <math>\operatorname{Hom}\left(H_p^{\mathrm{sing}}(X), \R\right)</math> identifiziert (siehe auch [[Universelles Koeffiziententheorem]]). Diese Abbildung heißt De-Rham-Homomorphismus oder De-Rham-Isomorphismus.<ref>John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 298.</ref>

== Beispiele einiger De-Rham-Gruppen ==
Das Berechnen der De-Rham-Gruppen ist oftmals schwierig, darum folgen nun wenige Beispiele. Es sei immer vorausgesetzt, dass die betrachteten Mannigfaltigkeiten glatt sind.
* Sei <math>X</math> eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit, dann ist <math>\mathrm H^0_{\mathrm{dR}}(X)</math> gleich der Menge der konstanten Funktionen und hat Dimension eins.
* Sei <math>X</math> eine null-dimensionale Mannigfaltigkeit, dann ist die Dimension von <math>\mathrm H^0_{\mathrm{dR}}(X)</math> gleich der Mächtigkeit von <math>X</math> und alle anderen Kohomologiegruppen verschwinden.
* Sei <math> U \subset \R^n</math> ein offenes [[Sterngebiet]], dann gilt <math>\mathrm H^p_{\mathrm{dR}}(U) = 0</math> für alle <math>p \geq 1</math>. Dies ist das [[Poincaré-Lemma|Lemma von Poincaré]], welches besagt, dass auf einem Sterngebiet jede ''geschlossene'' [[Differentialform]], d&omega;=0, sogar ''exakt'' ist (das heißt, es gibt eine „Potentialform“ &chi;, so dass &omega;=d&chi; gilt). 
* Insbesondere gilt <math>\mathrm H^p_{\mathrm{dR}}(\R^n) = 0</math>, da der euklidische Raum ein Sterngebiet ist.
* Sei <math>X</math> eine [[einfach zusammenhängend|einfach-zusammenhängende]] Mannigfaltigkeit, dann gilt <math>\mathrm H_{\mathrm{dR}}^1(X) = 0</math>.

== Literatur ==
* [[Raoul Bott]], Loring W. Tu: ''Differential forms in algebraic topology.'' Springer,  New York NY u. a. 1982, ISBN 0-387-90613-4 (''Graduate Texts in Mathematics'' 82).
* [[Klaus Jänich]]: ''Vektoranalysis.'' 5. Auflage. Springer Verlag, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-23741-0 (''Springer-Lehrbuch'').
* [[Georges de Rham]]: ''Sur l'analysis situs des variétés  à n dimensions.'' In: ''Journal de Mathématiques pures et appliquées.'' 10, 1931, {{ISSN|0021-7824}}, S. 115–200, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k107623s/f123.tableDesMatieres online].
* [[André Weil]]: ''Sur les théorèmes de de Rham.'' In: ''Commentarii mathematici Helvetici.'' 26, 1952, S. 119–145, [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN358147735_0026 online], (Wiederabdruck in: André Weil: ''Œuvres Scientifiques.'' Band 2: ''1951–1964.'' Reprinted edition. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-87735-6, S. 17–43).

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Differentialtopologie]]
[[Kategorie:Kohomologietheorie]]