Quelltext der Seite D/q-Transformation

{{DISPLAYTITLE:d/q-Transformation}}
Die '''d/q-Transformation''', auch als '''dq-''', '''dq0-''' und als '''Park-Transformation''' bezeichnet, dient dazu, [[Dreiphasenwechselstrom|dreiphasige]] Größen wie bei einer [[Drehstrommaschine]] mit den Achsen U,V,W in ein zweiachsiges [[Koordinatensystem]] mit den Achsen ''d'' und ''q'' zu überführen.  Sie ist ein Teil der mathematischen Grundlagen zur [[Vektorregelung]] von Drehstrommaschinen und beschreibt eine von mehreren möglichen [[Raumzeigerdarstellung]]en. Im Gegensatz zur verwandten [[Clarke-Transformation]] rotiert das d/q-Koordinatensystem im stationären Fall mit dem Rotor und das Wertepaar d/q stellt dann zeitlich konstante Größen dar. Die Grundform der d/q-Transformation wurde erstmals 1929 von [[Robert H. Park]] formuliert.<ref name="park1"/>

== Allgemeines ==
[[Datei:Raumzeigerdarstellung.svg|miniatur|right|Anordnung der im Stator angebrachten Spulen im sogenannten statorfesten αβ-Koordinatensystem.]]
Ein Dreiphasensystem wird in der [[komplexe Ebene|komplexen Ebene]] durch drei Koordinaten <math>U</math>, <math>V</math> und <math>W</math>, die jeweils um einen Winkel von 120° versetzt sind, beschrieben. Sie entsprechen den drei Spulen des ruhenden Stators einer Drehfeldmaschine, wobei definitionsgemäß die Achse <math>U</math> mit der reellen Achse zusammenfällt, wie in der ersten Abbildung des statorfesten αβ-Koordinatensystems der Clarke-Transformation dargestellt. Durch diese Spulen fließende Ströme <math>I_U</math>, <math>I_V</math> und <math>I_W</math> sind bei einem symmetrischen Dreiphasensystem in Summe immer 0.

[[Datei:Raumzeigerdarstellung koordinatensysteme.svg|thumb|right|Raumzeigerdarstellung im d/q-Koordinatensystem]]
Bei der d/q-Transformation wird das Koordinatensystem mit den aufeinander rechtwinkelig stehenden Achsen d und q mit der [[Kreisfrequenz]] <math>\Omega_\text{rotor}</math> mit dem [[Rotor]] mitrotiert, wie in zweiter Abbildung dargestellt. Damit kann das Drehfeld bei konstanter Drehzahl in Form zweier zeitlich konstanter Größen d und q beschrieben werden. Der Wert d bildet die [[magnetische Flussdichte]] der [[magnetische Erregung|magnetischen Erregung]] im Rotor ab, und q ist ein Ausdruck für das vom Rotor erzeugte [[Drehmoment]]. Zeitliche Änderungen wie der Drehzahl oder Momentschwankungen resultieren in zeitlichen Änderungen von d bzw. q. Der Vorteil der Transformation besteht darin, dass Drehfeldmaschinen ähnlich einfach wie Gleichstrommaschinen mit einem [[PI-Regler]] geregelt werden können.

Um das d/q-Koordinatensystem mit korrekter Winkelgeschwindigkeit und Phasenlage mit dem Rotor mitrotieren zu lassen, ist es notwendig, die genaue Lage in Form des Winkel <math>\theta</math> des Rotors zu kennen. Diese für die Transformation wesentliche Information kann mit zusätzlich an der Maschine angebrachten Sensoren wie [[Hallsensor|Hall-]] oder optischen Sensoren, oder durch Rückkopplungen wie die Auswertung der [[Quellenspannung]] an der Statorwicklung gewonnen werden.

Die Transformation ist nicht nur auf die elektrischen Ströme beschränkt, sondern kann für alle anderen elektrischen Größen wie die dabei auftretenden [[elektrische Spannung|elektrischen Spannungen]] oder die [[magnetischer Fluss|magnetischen Flussdichte]] analog angewandt werden.

== Gleichungen ==
Die amplitudeninvariante d/q-Transformation für symmetrische Dreiphasensysteme ist definiert als:<ref name="Binder"/>
:<math>\begin{bmatrix}I_d\\I_q\end{bmatrix} =
\frac{2}{3}
\begin{bmatrix} \cos(\theta)&\cos(\theta - \frac{2\pi}{3}) & \cos(\theta - \frac{4\pi}{3}) \\
                                   -\sin(\theta)& -\sin(\theta -\frac{2\pi}{3}) & -\sin(\theta - \frac{4\pi}{3})
                   \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}I_U\\I_V\\I_W\end{bmatrix}</math>

Die inverse d/q-Transformation lautet:
:<math>\begin{bmatrix}I_U\\I_V\\I_W\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} \cos(\theta)                   & -\sin(\theta)                    \\
                                   \cos(\theta - \frac{2\pi}{3})  & -\sin(\theta - \frac{2\pi}{3})   \\
                                   \cos(\theta - \frac{4\pi}{3})  & -\sin(\theta - \frac{4\pi}{3})   
                   \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}I_d\\I_q\end{bmatrix}</math>

In einfachen [[Mikrocontroller]]n, insbesondere ohne [[Fließkomma-Arithmetik]], stellt die in Echtzeit auszuführende Berechnung der trigonometrischen Funktionen unter Umständen ein Laufzeitproblem dar. Aus Optimierungsgründen wird daher in praktischen Implementierungen die d/q-Transformation mit Hilfe einer [[Clarke-Transformation]] und den daraus gewonnenen Parametern <math>I_\alpha</math> und <math>I_\beta</math> mit einer Rotation in Form einer [[Drehmatrix]] ausgeführt. Diese Drehmatrix reduziert sich dabei zu:

:<math>\begin{bmatrix}I_d\\I_q\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}  \cos(\theta) & \sin(\theta) \\
                                   -\sin(\theta) & \cos(\theta)
                   \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}I_\alpha \\I_\beta\end{bmatrix}</math>

Die trigonometrischen Berechnungen müssen so nur für einen Drehwinkel berechnet werden, und die gleichzeitige Berechnung der Werte von Sinus und Cosinus kann durch optimierte Routinen ausgeführt werden.<ref> S. Okur, E. Cohen: [https://www.ti.com/lit/an/sprad27a/sprad27a.pdf Optimized Trigonometric Functions on TI Arm Cores]</ref>

== Erweiterung ==
Bei einem nicht im Gleichgewicht befindlichen Dreiphasensystem kann durch Hinzufügen eines dritten Parameters <math>I_0</math> im Rahmen der Theorie der [[Symmetrische Komponenten|symmetrischen Komponenten]] die d/q-Transformation zu der dq0-Transformation erweitert werden. <math>I_0</math> ist die Summe der drei Phasenströme:

:<math>I_0 = \frac{1}{3}(I_U + I_V + I_W)</math>

mit der dann auch die sich nicht im Gleichgewicht befindlichen Dreiphasensysteme durch die amplitudeninvariante dq0-Transformation beschreiben lassen:

:<math>\begin{bmatrix}I_d\\I_q\\I_0\end{bmatrix} =
\frac{2}{3} \begin{bmatrix} \cos(\theta)         &\cos(\theta - \frac{2\pi}{3}) & \cos(\theta - \frac{4\pi}{3}) \\
                                   -\sin(\theta)        &-\sin(\theta - \frac{2\pi}{3}) & -\sin(\theta - \frac{4\pi}{3}) \\
                                   \frac{1}{2}   &\frac{1}{2}            &\frac{1}{2}
                   \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}I_U\\I_V\\I_W\end{bmatrix}</math>

Die inverse dq0-Transformation lautet:
:<math>\begin{bmatrix}I_U\\I_V\\I_W\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} \cos(\theta)                   & -\sin(\theta)                   & 1 \\
                      \cos(\theta - \frac{2\pi}{3})  & -\sin(\theta - \frac{2\pi}{3})  & 1 \\
                      \cos(\theta - \frac{4\pi}{3})  & -\sin(\theta - \frac{4\pi}{3})  & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}I_d\\I_q\\I_0\end{bmatrix}</math>

Die leistungsinvariante dq0-Transformation, und damit auch die vereinfachte dq-Transformation, beinhaltet den Vorfaktor <math>\sqrt{\tfrac{2}{3}}</math> anstatt <math>\tfrac{2}{3}</math>. Die Inversen zur Rücktransformation müssen im leistungsinvarianten Fall jeweils mit dem Faktor <math>\sqrt{\tfrac{2}{3}}</math> multipliziert werden.

== Literatur ==
*{{Literatur |Autor=Padmaraja Yedamale |Titel=Feldorientierte Steuerung ohne Sensor - Leiser und effizienter per BLDC-Motor |Sammelwerk=elektronik industrie |Nummer=12 |Jahr=2008 |Seiten=38 bis 41}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="park1">{{Literatur |Autor=R. H. Park |Titel=Two Reaction Theory of Synchronous Machines generalized Method of Analysis-Part I |Sammelwerk=AIEE Transactions |Band=Vol. 48 |Jahr=1929 |Seiten=716 bis 727 |DOI=10.1109/T-AIEE.1929.5055275}}</ref>
<ref name="Binder">{{Literatur |Autor=A. Binder |Titel=Elektrische Maschinen und Antriebe |Verlag=Springer-Verlag |Jahr=2012 |Seiten=1016 f. |ISBN=978-3-540-71849-9}}</ref>
</references>

[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]]
[[Kategorie:Elektromaschinenbau]] 
[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Transformation]]